数值分析课件-(第7章)

第七章解非线性方程求根内容提要7.1方程求根与二分法7.2迭代法及其收敛性7.3牛顿法7.4弦截法第七章解非线性方程求根内容提要7.1方程求根与二分法一、引言非线性方程的分类7.1方程求根与二分法非线性方程的分类由此可知方程的有根区间为[1,2][3,4][5,6]求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。x

0123456f(x)的符号−−++−−+由此可知方程的有根区间为[1,2][3,4][5,6]二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1数值分析课件-(第7章)kakbkxkf(xk)符号01234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242

−+−++−−kakbkxkf(xk)符号01.01.5二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛太慢,故一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值。7.2迭代法一、不动点迭代与不动点迭代法二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收7.2迭代法上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示的过程。上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐kxkkxkkxk0121.51.357211.330863451.325881.324941.324766781.324731.324721.32472kxkkxkkxk01.531.3258861.32473继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大，不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也毫无价值。因此，迭代格式形式不同，有的收敛，有的发散，只有收敛的迭代过程才有意义，为此要研究不动点的存在性及迭代法的收敛性。继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大二、不动点的存在性与迭代法的收敛性二、不动点的存在性与迭代法的收敛性数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)kxkkxk1231.4842480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820kxkkxkkxkkxk1230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951kxkkxk三、局部收敛性与收敛阶三、局部收敛性与收敛阶kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123

׃

x0

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׃23987׃21.521.5׃21.751.734751.732631׃21.751.7321431.732051׃kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0x数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)kxk|xk-xk-1|0123

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1.4825630.0187520.0014230.000108kxk|xk-xk-1|07.3牛顿法一、牛顿法及其收敛性7.3牛顿法kxkkxk010.50.57102230.567160.56714kxkkxk00.520.56716数值分析课件-(第7章)二、牛顿法应用举例二、牛顿法应用举例数值分析课件-(第7章)kxk012341010.75000010.72383710.72380510.723805kxk010三、简化牛顿法与牛顿下山法三、简化牛顿法与牛顿下山法kxkxkxkf(xk)012341.51.347831.325201.324720.617.9发散0.6-1.3841.140625-0.6566431.361810.18661.326280.006671.324720.0000086kxkxkxk四、重根情形四、重根情形数值分析课件-(第7章)kxk(1)(2)(3)0123x0x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.4142135627.4弦截法kxk(1)(2)(3)0x01.51.51.57.4弦数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)kxkkxk0120.50.60.56532340.567090.56714kxkkxk00.530.56709知识结构图七方程近似求根基本概念（单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶）求根方法二分法及其收敛性不动点迭代法及其收敛性定理（不动点迭代法的加速技巧）牛顿迭代法及其收敛性插值型迭代法（多点迭代）弦截法抛物线法知方基本概念（单根、重根、有根区间、不动点、收敛阶）求根方法End!End!第七章解非线性方程求根内容提要7.1方程求根与二分法7.2迭代法及其收敛性7.3牛顿法7.4弦截法第七章解非线性方程求根内容提要7.1方程求根与二分法一、引言非线性方程的分类7.1方程求根与二分法非线性方程的分类由此可知方程的有根区间为[1,2][3,4][5,6]求根问题的三个方面：存在性，分布，精确化。x

0123456f(x)的符号−−++−−+由此可知方程的有根区间为[1,2][3,4][5,6]二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1二、二分法0xyX*x0aby=f(x)a1b1数值分析课件-(第7章)kakbkxkf(xk)符号01234561.01.251.31251.32031.51.3751.34381.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242

−+−++−−kakbkxkf(xk)符号01.01.5二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收敛太慢,故一般不单独将其用于求根，只用其为根求得一个较好的近似值。7.2迭代法一、不动点迭代与不动点迭代法二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点是收7.2迭代法上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示的过程。上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐kxkkxkkxk0121.51.357211.330863451.325881.324941.324766781.324731.324721.32472kxkkxkkxk01.531.3258861.32473继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大，不可能趋于某个极限。这种不收敛的迭代过程称作是发散的。一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也毫无价值。因此，迭代格式形式不同，有的收敛，有的发散，只有收敛的迭代过程才有意义，为此要研究不动点的存在性及迭代法的收敛性。继续迭代下去已经没有必要，因为结果显然会越来越大二、不动点的存在性与迭代法的收敛性二、不动点的存在性与迭代法的收敛性数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)kxkkxk1231.4842480341.4727057301.4688173144561.4670479731.4662430101.465876820kxkkxkkxkkxk1230.10.0894829080.0906391354560.0905126160.0905264680.090524951kxkkxk三、局部收敛性与收敛阶三、局部收敛性与收敛阶kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123

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׃23987׃21.521.5׃21.751.734751.732631׃21.751.7321431.732051׃kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0x数值分析课件-(第7章)数值分析课件-(第7章)kxk|xk-xk-1|0123

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1.4825630.0187520.0014230.000108kxk|xk-xk-1|07.3牛顿法一、牛顿法及其收敛性7.3牛顿法kxkkxk010.50.57102230.567160.56714kxkkxk00.520.56716数值分析课件-(第7章)二、牛顿法应用举例二、牛顿法应用举例数值分析课件-(第7章)kxk012341010.75000010.72383710.72380510.723805kxk010三、简化牛顿法与牛顿下山法三、简化牛顿法与牛顿下山法kxkxkxkf(xk)012341.51.347831.325201.324720.617.9发散0.6-1.3841.140625-0.6566431.361810.18661.326280.006671.324720.0000086kxkxkxk四、重根情形四、重根情形数值分析课件-(第7章)kxk(1)(2)(3)0123x0x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.4142135627.4弦截法kxk