概率论与数理统计课件第3章

二维随机变量及其分布第三章

二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布边缘分布1例如

E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。

不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重2

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量3二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3)(x,y)二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，定义称为二4x1x2y1y2P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y5二维离散型随机变量

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y6（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式。。。...。7

一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.

的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，8

见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的联合分布律为yX011/301/600-101/31/1225/1200见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)9

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y10联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶11设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；

(2)求的分布函数；；

.

(4)求例设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；(2)12(1)所以解

(1)所以解13(2)当时，当时，所以，(2)当14(3)41或解(3)41或解15(4)(4)16224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率解

1224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概17续解……….x+y=3续解……….x+y=318思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率2241解答

思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率19二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为

上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为上服从均匀分布.20思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解（X,Y）的密度函数为y=2x+1-1/2（1）当时，分布函数为思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D21y=2x+1-1/2（2）当时，y=2x+1-1/2（2）当22y=2x+1-1/2（3）当时，y=2x+1-1/2（3）当23所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为240.5y=2x+1-1/20.5y=2x+1-1/225二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布

二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称26边缘分布随机变量的相互独立性边缘分布随机变量的相互独立性27边缘分布marginaldistribution二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution28边缘分布marginaldistribution设二维随机变量的分布函数为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．边缘分布marginaldistribution设二维29二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）30二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布31二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布32二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（33关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解34二维连续型随机变量的边缘分布

关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为关于二维连续型随机变量的边缘分布关于X的边缘概率密度为关35例2

设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由得当时关于X的边缘分布密度为113例2设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度36113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边缘分布密度为当时当时当时关于Y的边缘分布密度为113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边37边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为38(2)均匀分布解(1)由得当时-11(2)均匀分布解(1)由得当39当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..

当时所以40-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为-11解当时当41解（3）

解（3）42见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布43例4设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为例4设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于44所以，同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布所以，同理可得不同的联合分布，可可见，45随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j对任意x,y随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该46

在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，47设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐个验证等式设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例148证

∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y证∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/549例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤150②边缘密度函数分别为当时当时所以，同理可得②边缘密度函数分别为当时当51③所以X与Y相互独立。③所以X与Y相互独立。52例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分解53当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于X54当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y55所以所以，X与Y不独立。所以所以，X与Y不独立。56设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证X与Y独立。例4时解设（X,Y)服从矩形域上的均匀分布，求证X与Y独57于是同理所以即X与Y独立。时于是同理所以即X与Y独立。时58二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布59二维随机变量的函数的分布设

是二维随机变量,

其联合分布函数为

是随机变量

的二元函数

的分布函数问题：如何确定随机变量Z的分布呢？二维随机变量的函数的分布设是二维随机变量,其联合分布函数60二维离散型随机变量的函数的分布设

是二维离散型随机变量,其联合分布列为

则是一维的离散型随机变量其分布列为二维离散型随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,其联61例设的联合分布列为

YX-2-10-11/121/123/12½2/121/12032/1202/12分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例设的联合分布列为62解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格概率1/1263解得所求的各分布列为X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12解得所求的各分布列为X+Y-3-2-1-3/2-164二维连续型随机变量的函数的分布设

是二维连续型随机变量,其联合分布密度为

则是一维的连续型随机变量其分布函数为是二元连续函数，其分布密度函数为二维连续型随机变量的函数的分布设是二维连续型随机变量,其联65例

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的分布密度函数解例设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z66例

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的分布函数解……………所求分布函数为分布密度函数为例设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z67两个随机变量的和的分布见课本P67例1如果（X，Y）的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为或特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式

或两个随机变量的和的分布见课本P67例1如果（X，68记住结论！两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立记住结论！两个独立随机变量的和的分布69例证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），Y~B（m,p），则X+Y~B（n+m,p）证明X+Y所有可能取值为0，1，…,m+n.证毕例证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），证明70二维随机变量及其分布第三章

二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布边缘分布71例如

E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。

前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。

不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重72

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量73二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义称为二维随机变量的联合分布函数性质(3)(x,y)二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，定义称为二74x1x2y1y2P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)联合分布函数表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y75二维离散型随机变量

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y76（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式。。。...。77

一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求的联合分布列.

的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，78

见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的联合分布律为yX011/301/600-101/31/1225/1200见书P69，习题1的可能取值为例解(0，0)79

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y80联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶柱体的体积联合概率密度函数的性质非负性几何解释..随机事件的概率=曲顶81设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；

(2)求的分布函数；；

.

(4)求例设二维随机变量的概率密度为(1)确定常数k；(2)82(1)所以解

(1)所以解83(2)当时，当时，所以，(2)当84(3)41或解(3)41或解85(4)(4)86224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率解

1224例已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概87续解……….x+y=3续解……….x+y=388思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率2241解答

思考已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为求概率89二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为

上服从均匀分布.在，则称是平面上的有界区域，其面积为其中二维均匀分布设二维随机变量的概率密度为上服从均匀分布.90思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）解（X,Y）的密度函数为y=2x+1-1/2（1）当时，分布函数为思考已知二维随机变量（X，Y）服从区域D91y=2x+1-1/2（2）当时，y=2x+1-1/2（2）当92y=2x+1-1/2（3）当时，y=2x+1-1/2（3）当93所以，所求的分布函数为所以，所求的分布函数为940.5y=2x+1-1/20.5y=2x+1-1/295二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称服从参数为的二维正态分布

二维正态分布设二维随机变量的概率密度为其中均为参数则称96边缘分布随机变量的相互独立性边缘分布随机变量的相互独立性97边缘分布marginaldistribution二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution98边缘分布marginaldistribution设二维随机变量的分布函数为，依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．边缘分布marginaldistribution设二维99二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二维离散型R.v.的边缘分布如果二维离散型随机变量（X,Y）100二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布101二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布关于X的边缘分布关于Y的边缘分布102二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（103关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的联合分布列关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解104二维连续型随机变量的边缘分布

关于X的边缘概率密度为关于Y的边缘概率密度为的边缘分布函数为关于的边缘分布函数为关于二维连续型随机变量的边缘分布关于X的边缘概率密度为关105例2

设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度函数解由得当时关于X的边缘分布密度为113例2设（X,Y）的联合密度为求k值和两个边缘分布密度106113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边缘分布密度为当时当时当时关于Y的边缘分布密度为113解所以，关于X的边缘分布密度为所以，关于Y的边107边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为（1）求k值(2)求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)边缘分布密度和概率的计算例3设（X,Y)的联合分布密度为108(2)均匀分布解(1)由得当时-11(2)均匀分布解(1)由得当109当时所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..

当时所以110-11解当时当时所以，关于Y的边缘分布密度函数为-11解当时当111解（3）

解（3）112见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布则两个边缘分布分别服从正态分布与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布见课本P59例3如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布113例4设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于X，Y的边缘分布密度函数解关于X的分布密度函数为例4设（X，Y）的联合分布密度函数为求关于114所以，同理可得不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布所以，同理可得不同的联合分布，可可见，115随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于★★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意i,j对任意x,y随机变量的相互独立性特别，对于离散型和连续型的随机变量，该116

在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，117设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐个验证等式设（X，Y）的概率分布（律）为证明：X、Y相互独立。例1118证

∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y证∵X与Y的边缘分布律分别为∴X、Y相互独立2/5119例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的边缘密度，（3）判断X、Y是否独立。解①设A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11例2设（X，Y)的概率密度为求(1)P（0≤X≤1120②边缘密度函数分别为当时当时所以，同理可得②边缘密度函数分别为当时当121③所以X与Y相互独立。③所以X与Y相互独立。122例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。解（X,Y）的密度函数为例3已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分解123当时，所以，关于X的边缘分布密度为关于X的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于X124当时，所以，关于Y的边缘分布密度为关于Y的边缘分布密度为当或时当时，所以，关于Y125所以