1991年全国统一高考数学试卷(理科)

A．．C．．﹣﹣222244A．πC2π4π434、如果把两条异面直线看成一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有）A12对C36对48对．63分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ACnn4635A5C1520，那么它的焦点的极坐标为（93分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（A140种84种C70种35种）3分）、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（[n（1﹣1﹣1﹣）…（1﹣1C23133分）如果奇函数（x）在区间[3，7上是增函数且最小值为5，那么（x[﹣7，﹣3]上是（A值为﹣5值为﹣5C值为﹣5值为﹣522A1个C3个4个153分）15、设全集为R，f（x），g（x）=cosx，M={x|f（x），N={x|g（x），那么集合C．．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）163分）arctg+arctg的值是_________．183分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_________．193ax+1）x的系数是x的系数与x的系数的等差中项．若实数a＞1，那么7324203分）空间四个点P、、、C在同一球面上，PA、、PC两两垂直，且，那么这个球面的面积是_________．218分）求函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．22228分）已知复数，求复数的模和辐角的主值．2310分）已知ABCD是边长为4EF分别是ADGC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．2410分）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）﹣x+1，）上是减函数．2612分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OPOQ，，求双曲线的方程．A．．C．．﹣﹣由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．证明．本题是给值求值．222244A．πC2π4π观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即（ωx+φ）的形式．4422=cos2x，，故选B对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．434、如果把两条异面直线看成一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有）A12对24对C36对48对空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．由异面直线定义入手，分类计数即可．本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．．函数（ωx+φ）的图象变换．根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+=sin（63分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（AC等，可得结果．3底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选．本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．nn4635A5C1520考点：分析：等比数列．先由等比数列的性质求出a•a=a，a•a=a，再将aa+2aa+aa=25转化为（a+a）=2522224346524354635求解．解：由等比数列的性质得：a•a=a，a•a=a22243465243524635n35，那么它的焦点的极坐标为（A0，06303C0，030，06，）考点：0）0）0）简单曲线的极坐标方程．计算题．，求出圆锥曲线的焦距，从而确定焦点的极坐解：将原极坐标方程为ρ=0，06，0故选．本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．93分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（A140种C70种35种本题既有分类计数原理也有分步计数原理．1台与乙型电视机2台共有4•C=402台与乙型电视机1台共有C•5=30同的取法共有70种故选C注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．考点：专题：分析：，﹣，数形结合即＞0，∴故答案选C．本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题3分）、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ACD搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答．解：甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐⇐但不是甲的必要条件．甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，这种方法是解决三个以上命题好策略．1C23通过观察（1﹣1﹣1﹣（1﹣[n（1﹣1﹣1﹣1﹣==．133分）如果奇函数（x）在区间[3，7上是增函数且最小值为5，那么（x[﹣7，﹣3]上是（A值为﹣5值为﹣5C值为﹣5值为﹣5由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．解：因为奇函数（x[3，7]上是增函数，min则（x）在区间[﹣73]上有（﹣3）=﹣（3）﹣5，max故选．本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．143分）圆x+2x+y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（22A1个2个C3个4个先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．解：圆x+2x+y+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣22，圆心到直线x+y+1=0的距离是22故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．153分）15、设全集为R，f（x），g（x）=cosx，M={x|f（x），N={x|g（x），那么集合A．．C．．由f（xg（x=0可知f（x=0或g（x{x|f（xg（x=0}={x|f（x=0}{x|g（x）=0}．而{x|f（x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分或”与且．解：{x|f（x）g（x）=0}={x|f（x）=0或g（x）=0}={x|f（x）=0}{x|g（x）=0}，故选D二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）163分）arctg+arctg的值是．设出表达式为，然后两边取正切，利用两角和的正切公式求解即可．解：设arctg+arctg=α=本题考查反三角函数的运用，两角和的正切公式，考查计算能力，是基础题．一元二次不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点．计算题．把不等式右边的变为6，然后根据指数函数的增减性得到关于x的一元二次不等式，求出0=66＞1x﹣2＜0x﹣1x+2）02，解得﹣2＜x1，所以不等式的解集为﹣2＜x＜1}故答案为：﹣2＜x＜1}0183分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于．作出三棱台的高，上下底面顶点到底面中心的距离的差，以及侧棱的长，满足勾股定理，求出三棱台的高，利用公式求其体积．=本题考查棱台的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．193ax+1）x的系数是x的系数与x的系数的等差中项．若实数a＞1，那么7324a=1+先写出二项展开式的通项公式，利用通项公式分别写出xxx的系数，再用等差中项的概324Kk+177故xxx的系数分别为Ca，Ca和Ca，32477由题意2Ca=Ca+Ca解得：a=1+知识，属基本题型的考查．203分）空间四个点P、、、C在同一球面上，PA、、PC两两垂直，且，那2PAPC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点PC的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．解：空间四个点P、、、C在同一球面上，PA、、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PAPC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点PC的球，所以这个球面本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．218分）求函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．22然后根据两角和的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值把y化为一个角的三角函数，利用正弦函数的图象得到y的最小值及y取最小值时x的范围．解：y=sinx+2sinxcosx+3cosx22（sinx+cosx）+2sinxcosx+2cosx222=2+sin（2x+当sin（2x+﹣1时，y取得最小值2﹣当且仅当2x+﹣即x=kπ﹣π时取最小，取最小值的x{x|x=kπ﹣，k．式化简求值，会根据正弦函数的图象得到正弦函数的最值及取最值时角度的范围．的模和辐角的主值．值，求出辐角的主值．===．本题考查复数的运算法则，复数的模及辐角主值的求法．2310分）已知ABCD是边长为4EF分别是ADGC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．求点B到面GEF的距离，就是求C到平面EFG距离的，直接作垂线求解即可．解：如图，连接、FG、、、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故，H为AO的中点．BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知EFGBD和平面EFG的距离就是点B到平面GC，HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作HG交HG于点，由两平面垂直的性质定理知，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△．OK=．平面的转化，从而找到解题的捷径．2410分）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）﹣x+1，）上是减函数．3利用原始的定义进行证明，在（﹣，）上任取xx且xx，只要证（x）＜x）1212213121212222112121212当xx＜0时，有x+xx+xx+x）xx＞0；22212（x）﹣（x）（xxx+xx+x0．2211222131212则（x）﹣x）=xxxxx+xx+x2221121212121222又∵x+x＞（x+x）≥|xx﹣xx2122122212122212（x）﹣（x）（xxx+xx+x0．22211212213此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．计算题；压轴题；分类讨论．利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为（﹣2）•aa=a2aa＞0logx＞log（x﹣2aa=，}．＜0logx＞log（x﹣2aa{x|x＞}．}；}本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．2612分）双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OPOQ，，求双曲线的方程．计算题；压轴题．y得x根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b﹣3a，可推出矛盾；若5b﹣3a，设其两根为2222xx，则由根与系数的关系可利用、b、c表示出x+x及xx，进一步由OPOQ即