(30)2018中考真题汇编 切线的性质和判定

2018中考数学真题汇编：切线的性质和判定一．选择题（共11小题）1.（2018・哈尔滨）如图，点P为©0外一点，PA为©0的切线，A为切点，PO交©0于点B,ZTOC\o"1-5"\h\zP=30°,0B=3，则线段BP的长为（）A.3B.3士C.6D.92.（2018•眉山）如图所示，AB是©0的直径，PA切©0于点A，线段P0交©0于点C，连结BC,若ZP=36°，则ZB等于（）A.27°B.32°C.36°D.54°3.（2018•重庆）如图，已知AB是©0的直径，点P在BA的延长线上，PD与©0相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若©0的半径为4，BC=6，则PA的长为（）A.4B.2士C.3D.2.54.（2018・福建）如图，AB是©0的直径，BC与©0相切于点B，AC交©0于点D，若ZACB=50°,则ZB0D等于（）

A．40°B．50°C．60°D．80°5.（2018・泸州）在平面直角坐标系内，以原点0为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=方廿呂迟上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A,则PA的最小值为（）A.3B.2C..方D.'互6.（2018•泰安）如图，BM与©0相切于点B，若ZMBA=140°，则ZACB的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°7.（2018・深圳）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3,则光盘的直径是（）ABA.3B.3込C.6D.6込&（2018•重庆）如图，AABC中，ZA=30°，点0是边AB上一点，以点0为圆心，以OB为半径作圆，①0恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分ZABC，AD=2士，则线段CD的长是（）

A.2B•厅C•号D.y亏9.（2018・湘西州）如图，直线AB与©0相切于点A,AC、CD是©0的两条弦，且CD〃AB,若©0TOC\o"1-5"\h\z的半径为5,CD=8,则弦AC的长为（）A.10B.8C.4■远D.4■疋10.（2018・宜昌）如图，直线AB是©0的切线，C为切点，0D〃AB交©0于点D,点E在©0上,连接0C,EC,ED,则ZCED的度数为（）A.30°B.35°C.40°D.45°11.（2018・无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆0与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆0的圆心；（2）AF与DE的交点是圆0的圆心；（3）BC与圆0相切，其中正确说法的个数是（）A.0B.1C.2D.3二.填空题（共14小题）12.（2018・安徽）如图，菱形AB0C的边AB,AC分别与©0相切于点D,E.若点D是AB的中点,则ZD0E=°.13.（2018・连云港）如图，AB是©0的弦，点C在过点B的切线上，且0C丄0A,OC交AB于点P,已知ZOAB=22°,则Z0CB=514.（2018・泰州）如图，AABC中，ZACB=90°,sinA=,AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A®上的动点，以点P为圆心，PA'长为半径作©P,当©P与厶ABC的边相切时，①P的半径为.15.（2018・宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以点P为圆心，PM长为半径作©P.当©P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4'£.16.（2018・台州）如图，AB是©0的直径，C是©0上的点，过点C作©0的切线交AB的延长线于

17.（2018・长沙）如图，点A,B,D在©0上，ZA=20°,BC是©0的切线，B为切点，0D的延长线交BC于点C,则Z0CB=50度.18.（2018・香坊区）如图，BD是©0的直径，BA是©0的弦，过点A的切线父BD延长线于点C,0E丄AB于E，且AB=AC，若CD=2■.迈，则0E的长为.19.（2018•山西）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作©0,©0分别与AC,BC交于点E,F,过点F作©0的切线FG,交AB于点G,则FG的长为20.（2018・包头）如图，AB是©0的直径，点C在©0上，过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在眈上（不与点B,C重合），连接BE,CE.若ZD=40°,则ZBEC=115度.21.（2018・湘潭）如图，AB是©0的切线，点B为切点，若ZA=30°,则ZA0B=60°22.（2018•徐州）如图，AB是©0的直径，点C在AB的延长线上，CD与©0相切于点D.若ZC=18°,则ZCDA=则ZCDA=126度.AC23.（2018•青岛）如图，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,O为AC上一点，OA=2，以0为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是£Z24.（2018・广东）如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为n.（结果保留n）【分析】连接0E,如图，利用切线的性质得0D=2,0E丄BC,易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S0ECD-SE0D计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的正方形0ECD扇形E0D面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积.【解答】解：连接0E,如图，•・•以AD为直径的半圆0与BC相切于点E,・・・0D=2,0E丄BC,易得四边形OECD为正方形，2・•・由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S0ecd-SEOD=22-=4-n,正方形0ECD扇形E0D360・•・阴影部分的面积=£X2X4-（4-n）=n.故答案为n.

25.（2018・南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD为直径作OO.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A®与O0相切，切点为E,边CD'与O0相交于点F,则CF的长为4.【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH丄B'C，由旋转性质知ZB'=ZB'CD'=90°、AB=CD=5、BC=B'C=4，从而得出四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B'E=OH=：乔石亘注・叨-1・护=2，根据垂径定理可得CF的长.【解答】解：连接OE,延长EO交CD于点G,作OH丄B'C于点H，则ZOEB'=ZOHB'=90°,•・•矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A'B'C'D',.\ZB'=ZB'CD/=90°,AB=CD=5、BC=B'C=4,・•・四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5,・•・B'H=OE=2.5,・・.CH=B'C-B'H=1.5,••・CG=B'E=OH=t〕c泸=—・5—1.52=2,••四边形EB'CG是矩形，•ZOGC=90°,I卩OG丄CD',・・・CF=2CG=4,故答案为：4三．解答题（共25小题）26.（2018・柯桥区模拟）如图，已知三角形ABC的边AB是©0的切线，切点为B.AC经过圆心0并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分ZACE；(2)若BE=3,CE=4,求©0的半径.【分析】（1）证明：如图1,连接0B,由AB是©0的切线，得到OBIAB，由于CE丄AB，的0B〃CE，于是得到Z1=Z3,根据等腰三角形的性质得到Z1=Z2，通过等量代换得到结果.（2）如图2,连接BD通过ADBCsACBE，得到比例式，列方程可得结果.DULn.【解答】（1）证明：如图1,连接0B,VAB是©0的切线,・・.0B丄AB,VCE丄AB,・・・OB〃CE,?.Z1=Z3,V0B=0C,?.Z1=Z2?.Z2=Z3,・・・CB平分ZACE；(2)如图2,连接BD,VCE丄AB,・ZE=90°,••・BC=「be〉i<E—护十/=5,TCD是©0的直径,・・・ZDBC=90°,・・.ZE=ZDBC,.•・BC2=CD・CE,•••CD…，.••0C却玮,•©0的半径=券.27.（2018・天津）已知AB是©0的直径，弦CD与AB相交，ZBAC=38°,（I）如图①，若D为辽的中点，求ZABC和ZABD的大小；（口）如图②，过点D作©0的切线，与AB的延长线交于点P,若DP〃AC，求ZOCD的大小.cC图①医②【分析】（I）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ZABC和ZABD的大小;（口）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得Z0CD的大小.【解答】解：（I）TAB是©0的直径，弦CD与AB相交，ZBAC=38°,・・・ZACB=90°,.\ZABC=ZACB-ZBAC=90°-38°=52°,•・・D为AB的中点,ZAOB=180°,・・・ZAOD=90°,・・.ZACD=45°；（口）连接0D,•••DP切©0于点D,・・・0D丄DP，即ZODP=90°,由DP〃AC，又ZBAC=38°,AZP=ZBAC=38°,VZAOD是△ODP的一个外角，.\ZAOD=ZP+ZODP=128°,・・.ZACD=64°,VOC=OA,ZBAC=38°,AZOCA=ZBAC=38°,・•・ZOCD=ZACD-ZOCA=64°-38°=26°.28.(2018・荆门)如图，AB为©O的直径，C为©O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD丄EC交EC的延长线于点D,AD交©0于F,FM丄AB于H,分别交©0、AC于M、N,连接MB,BC.求证：AC平分ZDAE；若cosM=¥,BE=1,①求©0的半径；②求FN的长.【分析】(1)连接0C，如图，利用切线的性质得0C丄DE,则判断OC〃AD得到Z1=Z3,加上Z2=Z3,从而得到Z1=Z2；(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到匚沪蛮，则ZCOE=ZFAB，所以ZFAB=ZM=ZCOE，设©0的半径为r,然后在RtAOCE中利用余弦的定义得至【」斗产寻，从而解方程求出r即可；r+15■3.0②连接BF,如图，先在Rt^AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3,接着证明厶AFNs5△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长.【解答】(1)证明：连接OC,如图，•・•直线DE与©O相切于点C,・・・0C丄DE,又VADXDE,・・・OC〃AD.?.Z1=Z3VOA=OC,?.Z2=Z3,?.Z1=Z2,AAC平方ZDAE；(2)解：①VAB为直径，・・.ZAFB=90°,而DE丄AD,・・.BF〃DE,AOC丄BF,AC"C，.\ZCOE=ZFAB,而ZFAB=ZM,.\ZCOE=ZM,

设©0的半径为r,nr4丁4在RtAOCE中，cosZCOE==三，即一〒=三，解得r=4,Ue.5r+15即©0的半径为4；②连接BF,如图,在Rt^AFB中，cosZFAB=半厂,AB.\AF=8X在Rt^OCE中，0E=5，0C=4,29.(2018•随州)如图，AB是©0的直径，点C为©0上一点，CN为©0的切线，0M丄AB于点0,分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若©0的半径为5,AC=4i号，求MC的长.【分析】（1）连接0C,利用切线的性质证明即可;•・0C丄CM,ZOCA+ZACM=90°,•PM丄AB,•・ZOAC+ZODA=90°,/OA=OC,\ZOAC=ZOCA,\ZACM=ZODA=ZCDM,•・MD=MC；(2)由题意可知AB=5X2=10,AC=4晶,•AB是©0的直径，•・ZACB=90°,:BC=¥10-(4:5〕'二却5,VZAOD=ZACB,ZA=ZA,.•.△aods^acb,•坐_坐即皿_5_可得：OD=2.5,设MC=MD=x,在Rt^OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,解得：x=-,即MC=亍.30.(2018•黄冈)如图，AD是©0的直径，AB为©0的弦，OP丄AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.求证：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=1，求线段BP的长.【分析】(1)连接OB,如图，根据圆周角定理得到ZABD=90°,再根据切线的性质得到ZOBC=90°,然后利用等量代换进行证明；(2)证明△AOPs^ABD，然后利用相似比求BP的长.【解答】(1)证明：连接OB,如图，TAD是©0的直径，・・.ZABD=90°,.\ZA+ZADB=90°,TBC为切线，・・・0B丄BC,AZOBC=90°,.\ZOBA+ZCBP=90°,而OA=OB，.\ZA=ZOBA,・•・ZCBP=ZADB；(2)解：TOP丄AD,AZPOA=90°,?.ZP+ZA=90°,?.ZP=ZD,.•.△aops^abd,•怔AO即1+BP2••疋厂丽'即’="・・・BP=7.31.（2018・襄阳）如图，AB是©0的直径，AM和BN是©0的两条切线，E为©0上一点，过点E作直线DC分别交AM,BN于点D，C,且CB=CE.（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4•厅，求图中阴影部分的面积.【分析】（1）连接0E•推知CD为©0的切线，即可证明DA=DE；2）利用分割法求得阴影部分的面积.【解答】解：（1）证明：连接OE、0C.V0B=0E，.\Z0BE=Z0EB.VBC=EC，.\ZCBE=ZCEB，AZ0BC=Z0EC.VBC为©0的切线，AZ0EC=Z0BC=90°；TOE为半径，ACD为©0的切线，TAD切©0于点A，・・.DA=DE；(2)如图，过点D作DF丄BC于点F,则四边形ABFD是矩形,・AD=BF，DF=AB=6，・・・DC=BC+AD=4.：3.・・・BC-AD=2'£,BC=3T在直角AOBC中，tanZBOE==3,dU・・・ZBOC=60°.在厶OEC与AOBC中，OE=OB«OC=OC-,、CE=CB•••△OEC竺AOBC(SSS),.\ZBOE=2ZBOC=120°.•S=SBCEO-Sobe=2^BC・OB-丄迟^^=9•方-3n.阴影部分四边形BCEO扇形OBE32.(2018・长春)如图，AB是©0的直径，AC切©0于点A,BC交©0于点D.已知©0的半径为6,ZC=40°.求ZB的度数.求AD的长•(结果保留n)【分析】（1）根据切线的性质求出ZA=90°，根据三角形内角和定理求出即可;（2）根据圆周角定理求出ZAOD，根据弧长公式求出即可.【解答】解：（1）TAC切©0于点A,ZBAC=90°,VZC=40°,・・・ZB=50°；・・.ZAOD=2ZB=100°,33.（2018・白银）如图，点0是厶ABC的边AB上一点，①0与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF.（1）求证:ZC=90°；（2）当BC=3,sinA=三时，求AF的长.【分析】（1）连接0E,BE,因为DE=EF,所以DE=EF，从而易证Z0EB=ZDBE,所以0E〃BC，从可证明BC丄AC；（2）设©0的半径为r,则A0=5-r,在R/A0E中，sinA=='■，从而可求出r的值.OA5-r5【解答】解：（1）连接0E,BE,VDE=EF,・・.ZOBE=ZDBE•.•OE=OB,.\ZOEB=ZOBE.\ZOEB=ZDBE,・・・OE〃BCVOO与边AC相切于点E,・・・OE丄AC・・.BC丄AC・・・ZC=90°3(2)在厶ABC,ZC=90°,BC=3,sinA=^5・AB=5,设OO的半径为r,则AO=5-r,在Rt^AOE中，sinA='==4OA5--r5・・・r=-34.(2018・绵阳)如图，AB是OO的直径，点D在OO上(点D不与A,B重合)，直线AD交过点B的切线于点C,过点D作OO的切线DE交BC于点E.求证：BE=CE；若DE〃AB,求sinZACO的值.在在RtAOCB中，0C==.£r,【分析】(1)证明：连接0D,如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得0D丄DE,AB丄CB，再根据等角的余角相等得到ZCDE=ZACB，则EC=ED,从而得到BE=CE；(2)作0H丄AD于H，如图，设©0的半径为r，先证明四边形0BED为正方形得DE=CE=r，再利用△A0D和厶CDE都为等腰直角三角形得到0H=DH=^r，CD「pr，接着根据勾股定理计算出0C=Wr,然后根据正弦的定义求解.【解答】(1)证明：连接0D,如图，TEB、ED为©0的切线，・・.EB=ED,0D丄DE,AB丄CB,.\ZAD0+ZCDE=90°,ZA+ZACB=90°,V0A=0D,.\ZA=ZAD0,・•・ZCDE=ZACB,EC=ED，BE=CE；(2)解：作OH丄AD于H,如图，设©0的半径为r,VDE〃AB,.\ZD0B=ZDEB=90°,・•・四边形0BED为矩形，而0B=0D,・•・四边形0BED为正方形，DE=CE=r,易得△A0D和ACDE都为等腰直角三角形，.\0H=DH^-r,CD=Er,（2018・德州）如图，AB是©0的直径，直线CD与©0相切于点C,且与AB的延长线交于点E,点C是吕F的中点.（1）求证：AD丄CD；（2）若ZCAD=30°,OO的半径为3,一只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-CB爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程（n~3.14,方~1.73,结果保留一位小数）.【分析】（1）连接0C,根据切线的性质得到0C丄CD,证明0C〃AD，根据平行线的性质证明;（2）根据圆周角定理得到ZC0E=60°,根据勾股定理、弧长公式计算即可.【解答】（1）证明：连接0C,••直线CD与©0相切，•・0C丄CD,••点C是亦的中点，\ZDAC=ZEAC,•0A=0C,\Z0CA=ZEAC,\ZDAC=Z0CA,•・0C〃AD,

・・.AD丄CD；(2)解:VZCAD=30°,・・.ZCAE=ZCAD=30°,由圆周角定理得，ZCOE=60°,・・・OE=2OC=6,EC=pOC=3空，既==n,1oU・••蚂蚁爬过的路程=3+3立+n~11.3.(2018•北京)如图，AB是©O的直径，过©O外一点P作©O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.求证：0P丄CD；连接AD,BC,若ZDAB=50°,ZCBA=70°,OA=2,求OP的长.【分析】(1)先判断出RtAODP竺RtAOCP，得出ZDOP=ZCOP,即可得出结论；(2)先求出ZCOD=60°,得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论.解答】解：(1)连接OC,OD,・OC=OD,VPD,PC是©O的切线,VZODP=ZOCP=90°,在Rt在Rt^ODP和Rt^OCP中,'0D=0C.OP二OP・•・Rt^ODP^Rt^OCP,・・・ZDOP=ZCOP,•・・OD=OC,・・・0P丄CD；（2）如图，连接OD，OC，・OA=OD=OC=OB=2,・・・ZADO=ZDAO=50°,ZBCO=ZCBO=70°,・・・ZAOD=80°,ZBOC=40°,・・・ZCOD=60°,VOD=OC,•••△COD是等边三角形，由⑴知,ZDOP=ZCOP=30°,在RtAODP中，OP==cosJU3.37.(2018・铜仁市)如图，在三角形ABC中，AB=6,AC=BC=5，以BC为直径作©0交AB于点D,交AC于点G,直线DF是©O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E.求证：DF丄AC；求tanZE的值.A【分析】(1)连接OC,CD,根据圆周角定理得ZBDC=90°,由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD〃AC,根据切线的性质可得结论；55(2)如图，连接BG,先证明EF〃BG,则ZCBG=ZE,求ZCBG的正切即可.【解答】(1)证明：如图，连接OC,CD,VBC是©0的直径,・・・ZBDC=90°,.•.CD丄AB,VAC=BC,・・.AD=BD,V0B=0C,・・・0D是厶ABC的中位线・・・0D〃AC,VDF为©0的切线，・・.0D丄DF,・・.DF丄AC；(2)解：如图，连接BG,VBC是©0的直径，AZBGC=90°,VZEFC=90°=ZBGC,・・・EF〃BG,AZCBG=ZE,Rt^BDC中,VBD=3,BC=5,・CD=4,6X4=5BG,BG=眷由勾股定理得:由勾股定理得:・•・tanZCBG=tanZE=寻詁舟-38.(2018•昆明)如图，AB是©0的直径，ED切©0于点C,AD交©0于点F,ZAC平分ZBAD,连接BF．求证：AD丄ED；若CD=4,AF=2,求©0的半径.【分析】(1)连接0C，如图，先证明0C〃AD，然后利用切线的性质得0C丄DE，从而得到AD丄ED；(2)0C交BF于H，如图，利用圆周角定理得到ZAFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4,ZCHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到©0的半径.【解答】(1)证明：连接0C,如图，VAC平分ZBAD,?.Z1=Z2,0A=0C,?.Z1=Z3,?.Z2=Z3,・・・0C〃AD,VED切©0于点C,・・・0C丄DE,・・.AD丄ED；(2)解：0C交BF于H,如图，AB为直径，・・.ZAFB=90°,易得四边形CDFH为矩形，・・.FH=CD=4,ZCHF=90°,・・.0H丄BF,BH=FH=4,BF=8,在RtAABF中，AB='；a严十bf护十八=2'订,aoo的半径为E39.(2018•陕西)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作©0,分别与AC、BC交于点M、N．过点N作©0的切线NE与AB相交于点E,求证：NE丄AB；连接MD,求证：MD=NB.【分析】(1)连接ON,如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则Z1=ZB，再证明Z2=ZB得到ON〃DB,接着根据切线的性质得到ON丄NE,然后利用平行线的性质得到结论；(2)连接DN,如图，根据圆周角定理得到ZCMD=ZCND=90°,则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN,然后证明CN=BN,从而得到MD=NB.【解答】证明：(1)连接0N,如图，TCD为斜边AB上的中线，・CD=AD=DB,.\Z1=ZB,•・PC=ON,?.Z1=Z2,?.Z2=ZB,・・.ON〃DB,•・・NE为切线,.•.ON丄NE,・・.NE丄AB；(2)连接DN,如图，TAD为直径，・•・ZCMD=ZCND=90°,而ZMCB=90°,・四边形CMDN为矩形DM=CN,VDN±BC,Z1=ZB,CN=BN,MD=NB．C40.(2018・曲靖)如图，AB为©O的直径，点C为©O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作ZMPB=ZADC.判断PM与©O的位置关系，并说明理由；若PC=±，求四边形OCDB的面积.【分析】（1）连接DO并延长交PM于E,如图，利用折叠的性质得OC=DC,BO=BD，贝何判断四边形OBDC为菱形，所以OD丄BC,^OCD和厶OBD都是等边三角形，从而计算出ZCOP=ZEOP=60°,接着证明PM〃BC得到OE丄PM，所以OE=^OP，根据切线的性质得到0C丄PC，则OC=*OP，从而可判定PM是©O的切线；（2）先在RtAOPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积.【解答】解：（1）PM与©O相切.理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，•・•弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，・・.OC=DC，BO=BD，・・.OC=DC=BO=BD，・•・四边形OBDC为菱形，・・・0D丄BC，•••△OCD和厶OBD都是等边三角形，?.ZCOD=ZBOD=60°，•ZCOP=ZEOP=60°，VZMPB=ZADC，而ZADC=ZABC，・•・ZABC=ZMPB，・・.PM〃BC，・・.0E丄PM，・・.oe=£op，•・・pc为©0的切线，/.OCXPC，・・・0C今OP,・・・OE=OC,而OE丄PC,APM是©O的切线；(2)在RtAOPC中，OC=PC=>1,Jo・•・四边形OCDB的面积=2S©cd=2X丰X12=#.41.（2018・邵阳）如图所示，AB是©O的直径，点C为©O上一点，过点B作BD丄CD,垂足为点D,连结BC.BC平分ZABD.求证：CD为©0的切线.【分析】先利用BC平分ZABD得到ZOBC=ZDBC,再证明OC〃BD,从而得到0C丄CD，然后根据切线的判定定理得到结论.【解答】证明：TBC平分ZABD,AZOBC=ZDBC,VOB=OC,・ZOBC=ZOCB,・ZOCB=ZDBC,・・・OC〃BD,TBD丄CD,・・・0C丄CD,・・・CD为©0的切线.42.（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是©0上五点，①0的直径BE=2•叼，ZBCD=120°,A为皿的中点，延长BA到点P,使BA=AP，连接PE.（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是©0的切线.【分析（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得ZDEB=60°，再根据圆周角定理得到ZBDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；（2）连接EA,如图，根据圆周角定理得到ZBAE=90°，而A为血的中点，贝0ZABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到ABEP为等腰直角三角形，所以ZPEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论.【解答】（1）解：连接DB，如图，VZBCD+ZDEB=180°，.\ZDEB=180°-120°=60°，VBE为直径，・・.ZBDE=90°，在RtABDE中，DE今BE今X2力=厲，BD=.：pDE=厅X<3=3；（2）证明：连接EA，如图，VBE为直径，・・.ZBAE=90°，VA为Re的中点，・・.ZABE=45°，•/BA=AP，而EA丄BA,•••△BEP为等腰直角三角形,・・.ZPEB=90°,•PE丄BE,・•・直线PE是©0的切线.43.(2018・怀化)已知：如图，AB是©0的直径，AB=4,点F,C是©0上两点，连接AC,AF,0C,弦AC平分ZFAB,ZBOC=60°,过点C作CD丄AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.求扇形0BC的面积(结果保留)；求证：CD是©0的切线.【分析】(1)由扇形的面积公式即可求出答案.(2)易证ZFAC=ZAC0,从而可知AD〃0C,由于CD丄AF,所以CD丄0C,所以CD是©0的切线.【解答】解：(1)TAB=4,・0B=2VZC0B=60°,扇形B(='g&Q='3(2)VAC平分ZFAB,.•ZFAC=ZCA0,VA0=C0,•ZAC0=ZCA0・・.ZFAC=ZACO・・.AD〃OC,TCD丄AF,・・・CD丄OCVC在圆上，ACD是©O的切线44.(2018•新疆)如图，PA与©O相切于点A,过点A作AB丄OP,垂足为C,交©O于点B.连接PB,AO,并延长AO交©O于点D,与PB的延长线交于点E.求证：PB是©0的切线；若0C=3,AC=4,求sinE的值.【分析】(1)要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB丄PE即可.(2)要求sinE,首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可.而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题【解答】(1)证明：连接OBVPO丄AB,AC=BC,PA=PB在APAO和厶PBO中AO=BO、PO=PO.•.△PAO和竺APBO.\ZOBP=ZOAP=90°APB是©O的切线.(2)连接BD,则BD〃PO，且BD=2OC=6在RtAACO中，0C=3,AC=4

・・.A0=5在Rt^ACO与Rt^PAO中,ZAPO=ZAPO,ZPAO=ZACO=90°.•.△aco△PAOC0=A0・・・P0詈…3・・.PB=PA=¥在AEPO与AEBD中,BD〃PO.•.△EPOs^EBDBD=EB解得eb=¥^PA=7sinE=PA=7sinE=45.(2018・安顺)如图，在△ABC中，AB=AC,0为BC的中点，AC与半圆0相切于点D.求证：AB是半圆0所在圆的切线；若cosZABC=|>AB=12，求半圆0所在圆的半径.【分析】（1）先判断出ZCAO=ZBA0,进而判断出0D=0E,即可得出结论；（2）先求出0B,再用勾股定理求出0A,最后用三角形的面积即可得出结论.【解答】解：（1）如图，作0E丄AB于E,连接0D,0A,•・・AB=AC，点0是BC的中点，.\ZCA0=ZBA0,VAC与半圆0相切于D,・・・0D丄AC,V0E丄AB,・・・0D=0E,VAB径半圆0的半径的外端点，・AB是半圆0所在圆的切线；（2）VAB=AC，0是BC的中点，・・・A0丄BC,2在Rt^AOB中，OB=AB・cosZABC=12X牙=8,根据勾股定理得，0A=■■乔石异=4•育,由三角形的面积得，S如詰如吨二訓心,・0E=业生=墮,即：半圆0所在圆的半径为等.46.（2018•衡阳）如图，①0是厶ABC的外接圆，AB为直径，ZBAC的平分线交©0于点D,过点D作DE丄AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.

求证：EF是©0的切线；若AC=4,CE=2,求ED的长度.(结果保留n)【分析】(1)连接0D,由0A=0D知Z0AD=Z0DA,由AD平分ZEAF知ZDAE=ZDA0，据此可得ZDAE=ZAD0，继而知0D〃AE，根据AE丄EF即可得证；(2)作0G丄AE，知AG=CG=^AC=2，证四边形0DEG是矩形得0A=0B=0D=CG+CE=4,再证△ADEs△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及ZBAD的度数，利用弧长公式可得答案.【解答】解：(1)如图，连接0D，V0A=0D,.\Z0AD=Z0DA,VAD平分ZEAF,.\ZDAE=ZDA0,・・・ZDAE=ZAD0,・・・0D〃AE,VAE±EF,・・.0D丄EF,・・・EF是©0的切线;(2)如图，作0G丄AE于点G,连接BD,则AG=CG=*AC=2,ZOGE=ZE=ZODE=90°,・•・四边形0DEG是矩形，・0A=0B=0D=CG+CE=2+2=4,ZD0G=90°,VZDAE=ZBAD,ZAED=ZADB=90°,.•.△ADEs^ABD,.怔AL即&AP••而=丽，即而=1T，.AD2=48，在Rt^ABD中，BD=」昭一盒酹=4,在Rt^ABD中，TAB=2BD,・・.ZBAD=30°,・・.ZBOD=60°,47.(2018・孝感)如图，AABC中，AB=AC，以AB为直径的©O交BC于点D,交AC于点E,过点D作DF丄AC于点F,交AB的延长线于点G.求证：DF是©0的切线；已知BD=2■.运，CF=2，求AE和BG的长.GS3AU2GS3AU2FC【分析】(1)连接0D,AD,由圆周角定理可得AD丄BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据0A=0B知0D〃AC,从而由DG丄AC可得0D丄FG，即可得证；(2)连接BE.BE〃GF，推出△AEBs^AFG，可得器=器，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：(1)连接0D，AD，VAB为©0的直径，・・.ZADB=90°,即卩AD丄BC,VAB=AC,・BD=CD，又・.・0A=0B,・・・0D〃AC,•/DG丄AC,・・・0D丄FG,・•・直线FG与©0相切;(2)连接BE.TBD=2兀,•CD二二昭'5,CF=2,-DF={(.師泸_2匚4,BE=2DF=8,°cosZC=cosZABC,CFBD*CD^B，2一師•師=^T，AB=10，・AE=\h/—/=6,•BE丄AC,DF丄AC,・BE〃GF,・△AEBs^AFG,AB_A£忑益，10=6WB'G=2+648.(2018・江西)如图，在厶ABC中，0为AC上一点，以点0为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C,过点A作AD丄BO交B0的廷长线于点D,且ZAOD=ZBAD.(1)求证：AB为©0的切线；44(2)若BC=6,tanZABC=〒，求AD的长.【分析】（1）作0E丄AB,先由ZAOD=ZBAD求得ZABD=ZOAD，再由ZBOC=ZD=90°及ZBOC=ZAOD求得ZOBC=ZOAD=ZABD,最后证ABOC竺ABOE得OE=OC,依据切线的判定可得；（2）