(完整版)北京交通大学2013-2014学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A卷)及参考答案详解

第第页共8页cov(x,Y)var(Ycov(x,Y)var(Y)18:丁：2Y1^V9P760<X-24000<760)=P—7601600400x3760760-①—Lee1600:人心1600」400xi400xM3丿V\3丿u①=2①6.645)-1=2x0.9505-1=0.901七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间（20,100）上的均匀分布,并且每位顾客的消费额是相互独立的.试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的土760元之间的概率（6分）.（附：标准正态分布的分布函数①C）的某些取值：X1.551.601.651.70O(x)0.93940.94520.95050.9554解：⑴设X表示第i位顾客的消费额，（i=1,2,A,400）.则有iX,X,A,12X相互独立，X~U(20,100)，(i=1,2,A,400)400i所以，E(X)=60，i()8021600varVX==i123再设x表示餐厅每天的营业额，则x=rX.ii=1TOC\o"1-5"\h\z所以，E（X）=E[男X]=男E（X）=400x60=24000（元）.J1丿1i=1i=1⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有760X-24000<<16001600400x400x33八．（本题满分8分）设总体X服从参数为p的几何分布，其分布律为p{x=k}=pqk-i(k=1,2,3,A).其中0<p<1是未知参数，q=1—p.(x,X,A,X)是取自该总体中的一个样本.试求参数p的12n极大似然估计量．解：似然函数为L(p)=P{X=x,X=x,A,X=x}=P{X=x}p{X=x}aP{X=x}1122nn1122nn=pG—p)xi—1•p(1—p)x2—1Ap(1—p)x”-1=pn(1—p乍xk-nk=1所以，InL所以，InL(p)=nInp+Qx—n]Ik=1k丿ln(1—p)所以，2ln所以，2lnL(p)=”—dppn乙x—”k111—=0，解方程，得p=1.因此p的极大似然估计量为p=丄1—pxg九．（本题满分8分）设总体X存在二阶矩,var设总体X存在二阶矩,var（X）=b2，（X,X,A,X）是从该总体中抽取的一2n个样本，X是其样本均值.记E（X）=卩，var（X）=c21求EG）（4分）及DG）（4分）.EG)EG)=Ef1工X]=1工E(X)=1工1TOC\o"1-5"\h\zy=_•ny=y,ninnvarG)=vari=1varG)=var=丄工varG2=—•”G2=n2in2n2ni=1i=1十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假设X与Y相互独立，都服从参数为九=5的指数分布，其密度函数为匕)=r—5xx>0XI0x<0现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止.令：T：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密度函数.解：

X的密度函数为f(x)=Fx>°，X[0x<0Y的密度函数为f(y)=严乃"y>0Y10y<0由题意，知T=X+Y，设T的密度函数为f(t)，则T—gY0—gY0作变换u=t—x，贝Udu=—dx,"CL-f5e-5(t—u)f(u)du=5e-5t"CL-f5e-5(t—u)f(u)du=5e-5tfe5uf(u)duTYY—gt当t<0时，由f(y)=0，知f(t)=0；YT当t>0时,"(t)=5e—5t/e5u-5e—5udu=25te—5tT—g综上所述，可知随机变量T的密度函数为综上所述，可知随机变量T的密度函数为；。)=代-5tt>0t<0十一．(本题满分9分)设总体X服从指数分布，其概率密度函数为f(设总体X服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=1工—eo笛0x>x<00,(X,X,A,X)是取自12n该总体中的一个样本.⑴求出统计量X()=minX的密度函数f(j)(x),并指出该分布是什么分布？⑵求1<i<ni常数a，使得T=aminX为0的无偏估计.1<i<ni解：①由于总体X的密度函数为f(x)=<oe0x>0，因此其分布函数为x<0x>00x<x<0x>0F(x)=ffC)dt=<°二1—e0

所以x0=豐~的密度函数为1_工n-nx(八)-1_工n-nx(八)-ee=eo,\x>0丿.90儿)(¥)=n(1-F(x弘-1f(x)=ne-ok丿A即随机变量X()=minX服从参数为0的指数分布.(1)1<i<nin()i<i<n1<i<n②由于随机变量X二minX服从参数为0的指数分布，所以E(X)=EminX=—((1)1<i<)nin(1i<i<n1<i<n所以，若使EG)=aEminX=a•—=0，只需取a=n即可.(1)1<i<nin即若取a=n，即T=nminX，则T是未知参数0的无偏估计量.1<i<ni十二．(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布NC,Q2).令U二X+aY,V二X-bY(a与b都是常数)，试给出随机变量U与V相互独立的充分必要条件.解：由于随机变量X与Y相互独立，而且都服从正态分布，又U=X+aY,V=X-bY，所以U与V也都是服从正态分布的随机变量.所以，U与V相互独立的充分必要条件是cov(U,V)