2019北京四中高一(上)期中数学含答案

/15所以实数k的取值范围是kW-2或k±2.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．【分析】作差，因式分解，即可得到结论.【解答】证明：(a3+b3)-(a2b+ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)•.•a>0,b>0,.•.a+b>O,(a-b)2三0,.•.(a-b)2(a+b)三0,则有a3+b3±a2b+b2a.【点评】本题考查不等式的证明,重点考查作差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.【分析】(1)将a=l代入f(x)中，根据f(x)>0,解出a的范围；(2)f(x)+g(x)20在(0,+-)上恒成立，只需，求出的最小值后，解关于a的不等式，可得a的范围.2【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=.KO•.•f(x)>0,.,・・・0VxV2,H・••不等式的解集为｛x|0Vx<2｝；TOC\o"1-5"\h\z21122(2)f(x)+g(x)==kaaxaf(x)+g(x)20在(0,+8)上恒成立，在(0,+8)上恒成立，.•.只需+2X)-•axaI血5••当x>0时,当且仅当x=1时取等号，•°・a的取值范围为（-a,0）U[*,+8）.【点评】本题考查了分式不等式的解法，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能了,属中档题.二.填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分【分析】可以求出集合N,然后进行交集的运算即可.【解答】解：•••M={0,l,2,3},N={0,2,4,6},.•・MnN={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】本题考查了列举法、描述法的定义,元素与集合的关系,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.【分析】由于|x-l|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而-3、2对应点到1和-2对应点的距离之和正好等于5,由此求得不等式|x-1|+|x+2|W5的解集.【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而-3、2对应点到1和-2对应点的距离之和正好等于5,故不等式|x-1|+|x+2|W5的解集是[-3,2],故答案为：[-3,2].【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题.【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果.【解答】解：已知x>y>z,x+y+z=0,则①x>0,y>0,zV0,②x>0,yV0,zV0,③x+z=0,y=0.所以①xzVyz正确.②xy>yz，不正确.③xy>xz，正确.④x|y|>z|y|，不正确.故答案为：①③.【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.【分析】（1）当日■时，分别求出当xW0和x>0时函数的最小值，进行比较即可.（2）先判断当x>0时，函数的最小值为2,然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可.【解答】解：(1)当诗时，当注°时「⑴"寺—寺昱,当x>0时，f(x)=x^"22.乜・丄=2，当且仅当x=1时取等号,则函数的最小值为(2)由(1)知，当x>0时，函数f(x)22，此时的最小值为2,若aVO,则当x=a时，函数f(x)的最小值为f(a)=O,此时f(0)不是最小值，不满足条件.若a±0,则当xWO时，函数f(x)=(x-a)2为减函数,则当xWO时，函数f(x)的最小值为f(0)=a2,要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)=a2W2,即0WaWl：2,即实数a的取值范围是［0,1已］,故答案为：当，［0,I2］.4【点评】本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x>0和当xW0时的最值，进行比较是解决本题的关键.注意合理分类讨论.【分析】求出集合M={xUN*|1WxW15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}，由题意列举出集合A,A,A，由此能求出X+X+X的最大值与最小值的和.123123【解答】解：解：由题意集合M={xUN*|1WxW15}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},当A1={1,4,5,6,7},A2={3,12,13,14,15},A3={2,8,9,10,11}时X+X+X取最小值123X+X+X=8+18+13=39,123当A1={1,4,5,6,15},A2={2,7,8,9,14},A3={3,10,11,12,13}时X+X+X=16+16+16=48,123当A1={1,2,3,4,15},A2={5,6,7,8,14},A3={9,10,11,12,13}时X+X+X取最大值：X+X+X=16+19+22=57,123123・•・X]+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57=96.故答案为：96.【点评】本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【分析】本题第一问，通过分类讨论去绝对值转化为一般一元二次不等式求解即可；第二问是含参函数单调性问题，分类讨论转化为二次函数单调性问题，考虑其对称轴即可，同时要注意在分段点处函数值的大小关系．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=X2+2|x-1|=2.当xVl时，X2+2(1-x)=2,X2-2x=0,得x=0；当x±l时，X2+2(x-1)=2,X2+2x-4=0,得x综上，方程f(x)=2的解为x=0或-1.(2)x±l时，f(x)=X2+a(x-1)=X2+ax-a在[1,+^)上单调递增，则沪违~£1，故a±-2；OWxV1时，f(x)=X2-ax+a,故aWO.且1-a+aW1+a-a恒成立.综上，实数a的取值范围是[-2,0].【点评】本题体现了分类讨论思想，对于含有绝对值的函数问题，通过分类讨论去绝对值，转化为一元二次方程和二次函数问题.26.【分析】(1)代入检验即可；(2)利用”k函数“定义求出；(3)换元法，设t=-cx(x-1)，根据t的范围，对g(f(x))讨论，求出c的范围.【解答】解：(1)由f(x)=x+1=O,得x=-1,所以g(f(-1))=g(0)=1,故x=-1不是g(f(x))的零点，故不满足②，所以不是一对“K函数”，设r为方程的一个根，即f(r)=0,则由题设得g(f(r))=0.于是，g(0)=g(f(r))=0,即g(0)=d=0.所以d=0,反之g(f(x))=f(x)[f4(x)+bf(x)+cf(x))=0,则f(x)=0成立，故d=0；因为d=0,由a=1,f(1)=0得b=-c,

所以f(X)=bX2+CX=-CX(X-l),g(f(x))=f(x)[f2(x)-cf(x)+c],由f(X)=0得x=o,l,可以推得g(f(x))=0,根据题意，g(f(X))的零点均为f(x)的零点,故f2(X)-Cf(X)+C=0必然无实数根设t=-Cx(x-1)，则12-ct+c设t=-Cx当c>0当c>0时,t=-c(x-寺)2+,h(t)=t2-ct+c=(t-2)2+c-4424所以h(t)=h(手)>0,min22即，解得c「。，乎当cV0时,t=-c(x-寺)2i-r,h(t)=t