2023版山西数学中考总复习第三章函数提分小专题四二次函数综合与探究课件

提分小专题四

二次函数综合与探究本节提分小专题复习目标1.能运用图形的性质，借助二次函数解决线段、三角形周长、面积的最值问题.2.能综合运用所学知识解决特殊三角形、特殊四边形的存在性问题，在“开放与探究”中发展应用意识、创新意识，体会数形结合、分类讨论等数学思想.类型一

线段问题1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法续表典例精讲

掌握通性通法

（2）如图2，若点E为y轴上一动点，且BE=CE，求点E的坐标.（3）如图3，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，过M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P.①请用含m的代数式分别表示线段MP和MN的长度.（3）如图3，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，设点M的横坐标为m，过M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P.①请用含m的代数式分别表示线段MP和MN的长度.②当点P是线段MN的三等分点时，求点M的坐标.②当点P是线段MN的三等分点时，求点M的坐标.③当线段MP取到最大值时，求点M的坐标.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（4）如图4，若点M

是直线BC上方抛物线上一动点，过M作MH⊥BC于点

H，求线段MH的最大值.（5）如图5，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM交BC于点H，过点M作x轴的平行线交直线BC于点N，设点M的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段MN的长度.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）解：如答图2，过点M作x轴垂线，垂足为点N，交BC于点P，再过点D作MN的垂线，垂足为E，∴MN∥y轴.∵AO=1，CO

=

2，BO

=3，MH∥AC，∴∠ACO=∠OHD

=∠DME.∵∠MED=

∠COA=

90°，∴△ACO∽△DME.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.（6）如图6，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，过点M作MH∥AC交y轴于点H，交BC于点D，若AC=

2MD，求点M的坐标.

二次函数线段问题方法提炼第一步：设点（用含字母的式子表示出水平或竖直线段的两个端点的坐标）.第二步：表长度（用坐标差表示出线段长度）.第三步：问题导向找方法.1.水平或竖直线段问题策略：线段长=两端点坐标差（注意不确定大小关系时添加绝对值符号来处理）.①线段定比：列方程求解即可.②最值问题：将原表达式转化为二次函数顶点式求最值.提分笔记2.

斜线段问题策略：斜线段长常转化为“竖线段”或“横线段”.具体方法：“作竖线、作横线”将斜线段放在直角三角形或相似三角形或有等角的直角三角形中，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例或三角函数等转化为“竖线段”“横线段”间的计算问题.①线段定比：找定角用三角函数或相似推出定比.②最值问题：在线段定比的基础上，转化为求二次函数顶点式.提分笔记提分训练

方法触类旁通如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y

=ax2+bx+3（a≠0）的顶点为

A，与

y

轴交于点D，与x轴交于点B（3，0），C（-1，0）.P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为m（0<m<3），过点P作直线l∥x轴．（1）求抛物线的函数表达式及点A，D的坐标.∴直线BD的函数表达式为y=-x+3.∵点P与点M纵坐标相同，

∴把y

=-m2

+2m

+3代入y=-x

+3，得-m2+2m

+3=-x

+3.∴x=

m2

-2m.∴M（m2

-2m，-m2

+2m+3）.∴PM=m

-（m2

-2m）=-m2+3m.类型二

面积问题1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法续表续表典例精讲

掌握通性通法

(原创)如图1，抛物线y=-x2

+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，直线l经过B，C两点，连接AC.（1）求点A，B，C，D的坐标和直线l的表达式.（1）解：把y=0代入y=-x2

+2x+3，得-x2+2x+3=0，解得x1

=-1，x2

=3，∴A（-1，0），B（3，0）.把x=0代入y=-x2

+2x+3，解得y=3，∴C（0，3）.（1）求点A，B，C，D的坐标和直线l的表达式.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）一题多解（2）如图2，求四边形ACDB的面积.（2）如图2，求四边形ACDB的面积.方法二，如答图2，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点H，则S四边形ACDB

=S△CDB

+S△ABC=9.（3）解：不存在.理由如下：如答图3，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点P，

∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，∴设M（m，-m2

+2m+3）.∵点P在直线y=-x+3上，∴P（m，-m+3），∴MP=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（4）在直线l上方的抛物线上，是否存在一点M，使△CMB的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（5）如图4，在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN

=S△ABC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（5）如图4，在抛物线上是否存在一点N，使S△ABN

=S△ABC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（6）在抛物线上是否存在一点N，使S△BON

=S△CON？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（7）如图5，在抛物线上找一点N，过N作NP⊥x轴于点P，交BC于点H，使BC把△BNP分成面积相等的两部分.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（7）解：存在.设N（n，-n2+2n+3）.∵NP⊥x轴于点P，∴点N，H，P的横坐标相同，点H在直线BC上.∴H（n，-n+3），P（n，0）.由题意知BH为△BNP的中线，∴NP=2HP，（7）如图5，在抛物线上找一点N，过N作NP⊥x轴于点P，交BC于点H，使BC把△BNP分成面积相等的两部分.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.当点N在直线l上方的抛物线上时，2×（-n+3）=-n2+2n+3，∴n2

-4n+3=0.∴n1=1，n2=3（舍）.∴N（1，4）.当点N在直线l下方的抛物线上时，不存在.综上所述，点N的坐标为（1，4）提分训练

方法触类旁通类型三等腰三角形及菱形存在性问题”两定一动“型1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法典型问题.

点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形基本模型（找点）“两圆”：分别以点A，B为圆心，以线段AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；BA=BC

“一线”：作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB基本方法一（求点的坐标）几何法.

如图2，当BA=BC时，同理可得点C3和C4的坐标分别为（2，0），（6，0）续表基本方法一（求点的坐标）几何法.

续表基本方法二（求点的坐标）代数法.

A点坐标为（1，1），B点坐标为（4，3），设C点坐标为（m，0），根据勾股定理可得AB2=13，AC2=m2

-2m

+2，BC2=25-8m

+

m2，然后分情况AB=BC，AB=AC，BC=AC列方程，计算即可（注意：若有三点共线的情况，则需排除）续表典例精讲

掌握通性通法如图1，抛物线y

=x2+5x

+4与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A，B，C的坐标、直线AC的表达式及抛物线的对称轴.（2）如图2，若点D为x轴上一点，是否存在点D使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.解：方法一，几何法.存在点D，使△BCD是等腰三角形.第一步：找点（“两圆一线”）①当点B为顶角顶点时，BD=BC，以B点为圆心，BC为半径画圆，与x轴交于点D1，D2.②当点C为顶角顶点时，CD=

CB，以C点为圆心，CB为半径画圆，与x轴交于点D3.③当点D为顶角顶点时，DB=

DC，作BC的垂直平分线，与x轴交于点D4.第二步：表线段长度.∵B（-1，0），C（0，4），∴BO=1，CO=4.第三步：建立方程求点.第四步：确定存在的点.方法二，代数法，（1）设点D坐标，罗列出三角形三个顶点B，C，D的坐标；（2）根据点的坐标及勾股定理，表示出三边长度（或三边平方）；（3）分类讨论列出方程：①BC2=BD2，②CB2=CD2，③DB2=DC2；（4）解方程，得出点的坐标，并检验是否符合题意.随堂笔记拓展提升：点D为x轴上一点，点E是平面内任意一点，是否存在点E，使以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，在图1的基础上隐去AC，若点M是抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得△COM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图4，线段AC上是否存在点G，使得△COG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．提分训练

方法触类旁通（1）求A，B，C三点的坐标.（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在.由题意知，直线BC的表达式为y

=

x

-

4，AC=

5，设点Q的坐标为（m，m

-4），如答图1，当AC

=

AQ时，在Rt△AMQ中，AM2+QM2=AQ2，∴（3+m）2

+（m

-4）2=25，解得m1=1，m2=0（舍），∴Q1（1，-3）.（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值.类型四直角三角形及矩形存在性问题“两定一动”型1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法典型问题.

点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C，使得△ABC是直角三角形，求点C的坐标基本模型（找点）“两线”：分别过点A，B作AB的垂线，垂线与x轴的交点即为所求C点；“一圆”：以线段AB为直径作圆，圆与x轴的交点即为所求C点基本方法一（求点的坐标）几何法.

续表基本方法一（求点的坐标）几何法.

续表基本方法二（求点的坐标）代数法.

A点坐标为（1，1），B点坐标为（5，3），设C点坐标为（m，0），由勾股定理可得AB2=20，AC2=m2

-2m

+2，BC2=m2-10m

+

34，然后分类讨论（AB2=AC2

+

BC2，AC2

=

AB2

+BC2，BC2

=

AC2AB2.列方程，计算即可续表典例精讲

掌握通性通法如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y

=ax2+bx

+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），顶点为D.（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标.（2）如图2，连接AC，AD和CD，判断△ACD的形状，并说明理由.（3）如图3，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△CAN是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在点N，使△CAN是直角三角形.第一步：找点（“两点一圆”）.①当点N为直角顶点时，以AC为直径作圆，与对称轴的交点为N1，N2.②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线，与对称轴的交点为N3.③当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线，与对称轴的交点为N4.第三步：建立方程求点.（4）在y轴上是否存在一点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．拓展提升：在（4）的条件下，平面内是否存在一点Q，使以A，D，M，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.（5）在抛物线上是否存在一点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.解：存在.设点P的横坐标为a，∴P（a，a2–2a-3）提分训练

方法触类旁通类型五平行四边形存在性问题“三定一动”和“两定两动”型1名师一点通2典例精讲3提分训练名师一点通

提炼基本方法类型问题

构图思路找点的方法“三定一动”型在平面直角坐标系中，已知点A，B，C（三定），求一点D（一动），使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形“三条平行线”即过点A，B，C分别作BC，AC，AB的平行线，三条平行线的交点即为所求点D1.以AC为对角线，平移BA至CD1，确定点D

的坐标2.以AB为对角线，平移CB至AD2确定点D的坐标3.以BC为对角线，平移AC至BD3确定点D的坐标类型问题

构图思路找点的方法“两定两动”型在平面直角坐标系中，已知点A，B（两定），点C在x轴上，点D在y

轴上，求两点C，D（两动），使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形1.利用平行四边形对边平行且相等，构造全等三角形解决2.设点C（x，0），点D（0，y），利用平行四边形对角顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等，列方程组解决续表典例精讲

掌握通性通法（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标.（2）若点P是平面内一点，是否存在点P，使得以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（2）若点P是平面内一点，是否存在点P，使得以B，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若点G是抛物线上一点，过点G作GF∥x轴交对称轴l于点F.是否存在点G，使得以A，B，G，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.（4）若点G为抛物线上一动点，抛物线的对称轴直线l上是否存在点Q，使得以B，C，G，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理