2023版山西数学中考总复习第四章三角形提分小专题十四边形模型课件

提分小专题十四边形模型类型一

“弦图”模型

1本节复习目标2名师一点通3典例精讲4提分训练本节提分小专题复习目标1.理解三角形和四边形相关的概念以及它们之间的关系，掌握相关的性质定理.2.分析基本图形的结构特征，总结基本结论，积累解决四边形有关问题的经验，提升思维能力.3.能在较复杂情境中识别基本图形，并运用相关的通性通法解决问题.名师一点通

提炼基本图形模型“内弦图”模型“外弦图”模型（一线三垂直模型）基本图形提炼如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形模型“内弦图”模型“外弦图”模型（一线三垂直模型）基本图形提炼△ABE≌△DAH；AE=DH，BE=AH；EH=DH-BE△BEF≌△CFG；BE=CF，BF=CG；BC=BE+CG续表典例精讲

掌握通性通法

2018/第22题1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG.若AB=12，BC=16，则△AEG的面积是

．96

2.如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，过点B作BF⊥AE于点F，过点D作DG⊥AE于点G，过点C作CH⊥AE，交AE的延长线于点H，则线段DG，BF，CH之间的数量关系为

．

DG=BF+CH

3.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上一点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，则线段AF，AB，BC之间的数量关系满足：

.AF+AB=BC

3.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上一点，AD=BC．（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，延长DC，交线段AE于点P，∠APD的度数为

.45°点拨：如图析，作AF⊥AB于点A，使AF=BD，连接DF，CF.通过证明△AFD≌△BDC，推出△FDC是等腰直角三角形，可得∠FCD=45°.易证四边形AFCE是平行四边形，可得AE∥FC，从而得出∠APD=∠FCD=45°.4.（2018山西第22题·12分）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上.请直接回答，不必证明.（1）解：①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）.依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）.②答：点A在线段GF的垂直平分线上.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.判断一个点在一条线段的垂直平分线上的方法有哪些？（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.分析证明一个点在一条线段的垂直平分线上有两种方法：①根据线段垂直平分线的定义判断；②根据线段垂直平分线性质定理的逆定理判断.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.思路一：作垂直，证平分.如图析1，作GH⊥BC于点H.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.思路一：取中点，证平分.如图析2，取CB的中点H，连接GH.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.证明：如答图1，过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠1+∠2=90°.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°.∴∠1+∠3=90°.∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC

=BE.（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC.∵AD=2AB，BE=

AB，∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.解：点F在BC边的垂直平分线上.证明：方法一，如答图2，过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.一题多解探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°.∴四边形BENM为矩形.∴BM=EN，∠BEN=90°.∴∠1+∠2=90°.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.∴NE=BE.∴BM=BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC.∵AD=2AB，AB=BE，∴BC=2BM.∴BM=MC.∴FM垂直平分线段BC.∴点F在BC边的垂直平分线上.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.方法二，如答图3，过点F作FN⊥BE交BE的延长线于点N，连接FB，FC.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°.∴∠1+∠3

=90°.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF，∠CEF=90°.∴∠1+∠2

=90°.∴∠2

=∠3.∴△ENF≌△CBE.∴NF=BE，NE=BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC.探索发现:（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C、点B都在线段AE的垂直平分线上.除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上？请写出一个你发现的结论，并加以证明.提分训练

方法触类旁通

2020/第22题（2020山西第22题·12分）综合与实践问题情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）.延长AE交CE′于点F，连接DE.解：（1）四边形BE′FE是正方形.理由如下：由旋转可知∠E′=∠AEB=90°，∠EBE′=90°.又∵∠AEB+∠FEB=180°，∠AEB=90°，∴∠FEB=90°.∴四边形BE′FE是矩形.由旋转可知BE′=BE，∴四边形BE′FE是正方形.猜想证明：（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由.猜想证明：（2）如图2，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明.猜想证明：（2）如图2，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明.猜想证明：（2）如图2，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明.解决问题：

（3）如图1，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长.解决问题：

（3）如图1，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长.解决问题：

（3）如图1，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长.类型二“半角”模型1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

提炼基本图形模型基本图形提炼含45°角的“半角”模型正方形ABCD中，∠EAF=45°正方形ABCD中，∠EAF=45°△ABF'

≌△ADF，△AEF'

≌△AEF；EF

=

BE

+

DF，AH

=

AB；△AFF'是等腰直角三角形△ABF'≌△ADF，△AEF'≌△AEF；EF=BE-DF；△AFF'是等腰直角三角形模型基本图形提炼含45°角的“半角”模型等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC

=90°，∠EAD

=45°△ABD≌△ACD'，△AED≌△AED'；△D'CE是直角三角形；DE2=CE2+BD2续表模型基本图形提炼含60°角的“半角”模型△ABC

是等边三角形，在△BDC

中，BD

=

CD，∠BDC

=

120°，∠MDN

=60°△ABC

是等边三角形，在△BDC

中，BD

=

CD，∠BDC

=120°，∠MDN

=60°△DBH≌△DCN，△MDH≌△MDN；MN=BM+CN；△AMN的周长=2AB

；MD，ND分别是∠BMN，∠CNM的平分线△DBH≌△DCN，△MDH≌△MDN；MN=BM-CN；MD是∠BMN的平分线续表典例精讲

掌握通性通法1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°.若BE=4，CD=3，则AB的长为_______．2.如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若BE=2，DF=3，则AH的长为____．63.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N.给出如下几个结论：①若AE=2，CF

=3，则EF

=4；②∠EFN

+

∠EMN

=180°；③若AM

=2，CN

=3，则MN=4.其中正确的结论的序号为____．②1.“半角”模型的特征：共端点的等线段，共顶点的倍半角.2.基本方法：“见半角模型，必旋转”.在已知的半角情况下，利用旋转，将一个图形旋转到另一个位置，构造相应的另一个半角.注意：旋转角一般是共顶点的两条等线段所成的角；旋转后，往往需要证三点共线问题；旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全等（SAS）.提分笔记提分训练

方法触类旁通1.如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交边AB，AC边于点M，N，连接MN.若AB=2，则△MND的周长为_____.42.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.若BG=2，DE=3，则AG的长为_____.类型三“十”字模型名师一点通

提炼基本图形“十”字模型，多出现在正方形或者矩形等特殊图形中，由垂直我们可以得到全等或相似，从而得到线段之间的数量关系.模型基本图形提炼正方形中的“十”字模型在正方形ABCD中，点E，F分别是CD，AD边上的点，AE⊥BF在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，CD，BC，AD边上的点，EF⊥GH△ABF≌△DAE，BF=AE（反之，若AE

=

BF，则AE⊥BF）△EFM

≌△GHN，EF=GH

（反之，若EF=GH，则EF⊥GH不一定成立）模型基本图形提炼矩形中的“十”字模型在矩形ABCD

中，点E

是

AD上一点，CE⊥BD在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AD，BC，AB，CD

边上的点，EF⊥GH模型基本图形提炼在直角三角形和其他四边形中的“十”字模型在Rt△ACB中，点D为边AC上一点，E

为边AB上一点，连接BD，CE，CE⊥BD

在▱ABCD中，M

为边AD

上一点，N为边BC上一点，MN⊥BD说明：直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形的结论可沿用至直角三角形中.同样的，一般的平行四边形也可以补成矩形典例精讲

掌握通性通法1.正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形折叠使点A与点E重合，折痕为GF，展开，连接AF，AE，GE，EF，则四边形AGEF的面积为()D2.矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，若点B恰好落在AD边上的F点，连接BF.若AD=5，AB=3，则折痕CE的长为____．4.（1）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，则EG与FH的数量关系为________．EG

=

FH4.（2）拓展延伸：如图2，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究（1）中EG与FH的数量关系是否成立，并说明理由.

解：成立.理由如下：如答图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N.∵四边形ABCD是菱形，∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB.∵S菱形ABCD

=AB·GM=BC·HN，∴GM=HN.∵GM⊥AB，HN⊥BC，∴∠GME=∠HNF=90°.∵∠ADC=∠HOE，∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°.

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°.∵AD∥BC，DC∥AB，∴∠NFH+∠DHF=180°，∠DGE=∠GEM.∴∠GEM=∠HFN.∴△GME≌△HNF（AAS）.∴EG=FH.提分笔记基本图形基本作法过点H作HN⊥BC，过点G作GM⊥AB基本结论△HFN

≌△GEMGE⊥

HF⇔GE=HF△HFN∽△GEM△HFN≌△GEM△HFN∽△GEM提分训练

方法触类旁通1.如图，四边形ABCD是菱形，∠C

=60°，点E，F分别是AB，AD边上的动点，且AE=DF，DE与BF交于点P，则∠BPE=_____.60°2类型四“对角互补”模型名师一点通

提炼基本图形“对角互补”模型特指在四边形中，存在一对对角互补的几何模型.常见的四边形对角互补模型含90°与90°对角互补模型、120°与60°对角互补模型，对角互补模型的实质是构造手拉手全等或相似模型.模型基本图形提炼含90°的“对角互补”全等型如图，已知∠AOB

=∠DCE=90°，OC平分∠AOB模型基本图形提炼含90°的“对角互补”相似型如图，已知∠AOB

=∠DCE

=90°，∠FOC=α模型基本图形提炼含90°的“对角互补”变形如图，∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB模型基本图形提炼含120°的“对角互补”四边形如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB典例精讲

掌握通性通法1.如图，∠AOB=90°，OC

为∠AOB

内部的一条射线且∠BOC=60°.点D为射线OA上一点，作CE⊥CD交OB于点E.若CE=3，则CD=____.2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，在Rt△MPN

中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交

BC于点F.当PE=2PF

时，则AP

=____．33.如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED

=90°.若DE

=2，则EO的长为__________.4.综合与实践问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE

的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和GC的数量关系，并说明理由．数学思考：（1）请回答上述问题.解：BF=CG.理由如下：∵四边形ABCD

是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，AB=CB=CD=AD.∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ACD=∠DAC=45°.∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°.∴∠EFB=90°-∠ACF=90°-45°=45°.∴∠EFB=∠ECF=∠ECG.∴EF=EC.∵BE⊥EG，∴∠BEG=90°.∴∠BEG=∠FEC.∴∠BEC+∠CEG=∠BEC+∠FEB.∴∠FEB=∠CEG.

∴△BEF≌△GEC，∴BF=CG.

解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°.∴∠BCE+∠ACD=90°.∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°.∴∠BCE+