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第23讲：轨迹问题一．高考要求能理解轨迹的概念，能根据所给条件选择适当的直角坐标系求轨迹方程，在高考中小题大题均会出现，注重数学方法和数学思想的运用，综合性较强．二．两点解读重点：①求轨迹方程的两大类方法：直接法（定义法、直译法）；间接法（坐标转移法、参数法、交轨法）②几何性质转化为方程；③运用向量知识.难点：①求轨迹方程的“完备性”“纯粹性”；②数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．三．课前训练1.分别过A（-1,0）,A（1,0）作两条互相垂直的直线，则它们的交点M的轨迹方12程是x2+y2二1x2y22.椭圆—+才=1与直线y=x平行的所有弦的中点的轨迹方程为4x+9y=0已知椭圆的焦点是F、F,P是椭圆上的一个动点.如果延长FP到Q,121使得1PQ|=|PF1，那么动点Q的轨迹是（A）2（A）圆（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）抛物线抛物线y2二2x上各点与焦点连线中点的轨迹方程是y2=x4四．典型例题例1直角坐标平面xoy中，若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足OP-OA二4，则点P的轨迹方程是uuuruuur解：由向量的坐标运算知OP•OA=x+2y=4，则点P的轨迹方程是：x+2y=4例2与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在（）（A）一个椭圆上（B）双曲线的一支上（C）一条抛物线上（D）—个圆上解：将x2+y2-8x+12=0配方得（x-4）2+y2=4，设所求圆心为P，则由题

故选B意知|POI-|PO1=R-r=1故选B21例3在圆x2+y2=9中，过已知点P(l,2)的弦中点轨迹方程为解：设弦的中点为M，则OM丄PM，所以M在以OP为直径的圆上，故所求轨迹方程为(x--)2+(y—1)2=24例4过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是解:QF(0,1)，设A(x,y)，B(x,y)，M(x,y)，则由x2=4y，x2=4y，两11221122式相减得k=lyk=ly—yx-x21乂k=klFM2=宁，即y=+x2+1例5如图，圆O与圆O的半径都是1，OO=4，过动点P分别作圆O、12121圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=J2PN•试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解：以OO的中点O为原点，OO所在的1212直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O(-2,0),O(2,0)12由已知PM=^：2PN可得：PM2=2PN2因为两圆的半径均为1,所以PO2-1=2(PO2-1)12设P(x,y)，则(x+2)2—1=2[(x—2)2+

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