高中数学主干知识整合及规律技巧提炼

一、合与用逻1合元素特征确定、互性、无性，素与合之的关是属和不属；集合集合间的系：合与集之间包含系和包含系，中关于含有含和真含，符号⊆，表示．其一个合本是其集的集，集是任非空合的子集；集合运算A∩＝xxA，且xB}，∪＝xx∈，或x∈B}，＝{xx，且x．U2种题及关系四种题；四种题之的关：四命题是对“，则q”形的命题言的把这命题作为原题，其逆题是若q，则”，命题是若p，”，否命题“若，则”，中原命和逆命题逆命题否命是等价，而命题间的系是互的．3要件充要件：p⇒q，则的分条，必要条；若p⇔q，则，互为要条；充要件与合：命题应集合A，题q对集合B，则⇒等于⊆B，⇔q等价＝B.4辑结词逻辑结词或”且”非”的义；带有辑联词的题真：命题∨，只，q有为真即为真题，言之，有pq均为假命时才假；题p∧，只，均为真命时才真，换之，要p，q有一假，为假题；綈p和为真一两个为对的命题“或命题“且命题否定：命题p∨否定是p∧；题p∧的定是綈∨q.5词全称词与在量；全称题和称命；含有一个量的命的否：“∈M，(x”的否为“x∈，綈(x”；“0

word档可自由复制编辑∈M，(x”的否定为规律巧提：

∈M綈(x”．．解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键．其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决．．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的．．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．．特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题．二、函数、基本初等函数的图像和性质：．数的性质单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；奇偶性：偶函数其图象关于轴对，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的函数f(0)＝；周期性：(＋T)＝()(T0)则称(x)周期函数，是它的一个周期．．称性与周期性的关系(1)若函数f(的图象有两条对称轴x＝x(a≠，则函数f是周期函word档可自由复制编辑数2|b－是它的一个正周期，特别地若偶函数(x)的图象关于直线＝a(≠0)对称，则函数(x)是周期数，是它的一个正周期；若函数fx的图象有两个对称中心，0)(≠，则函数f(是周函数，b－|是它的一个正周期，特别，若奇函数(的图象关于点(0)(a≠0)对称，则函数(x)是周期数，是它的一个正周期；若函数(的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心0)(a≠b)，则函数f(是周期函数，4|b－是它的一个正周期，特别是若偶函数f(有对称中心(0)(a≠，则函(是周期函数，4|a是它的个正周期，若奇函数f(有称轴x＝a≠0)，则函数(是周期函数，4|a是它的一个正周期．．数的图象指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．若函数(的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心0)(a≠b)，则函数f(是周期函数，4|b－是它的一个正周期，特别是若偶函数f(有对称中心(0)(a≠，则函(是周期函数，4|a是它的个正周期，若奇函数f(有称轴x＝a≠0)，则函数(是周期函数，4|a是它的一个正周期．．数的图象指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点；函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变．若函数(的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心0)(a≠b)，则函数f(是周期函数，4|b－是它的一个正周期，特别是若偶函数f(有对称中心(0)(a≠，则函(是周期函数，4|a是它的个正周期，若奇函数f(有word档可自由复制编辑xαxα称轴x＝a≠0)，则函数(是周期函数，4|a是它的一个正周期．．数函数、对数函数和幂函数的图象和性质意根据图象记忆性质指数函数＝a(a>0≠的象和性质，分0<，两种情况；对数函数＝x(，a的图象和性质，分0<<1>1两种情况；幂函数ya的图象和性质，分幂指数α>0，α0，α三种况．规律技巧提炼．(1)已知函数()满足对任意(x＋a)＝－(a，则可得f(x＋2＝－(＋)＝()，即可推知2a是这个函数的一个周期；(2)已知函数fx满足对任意x都有f(x＋)＝，(x＋a－(≠0)，同ff样可推知为其周期＋f(3)已知函数fx满足对任意，都有f(x＝(a≠0f(≠，则采－f用(＋2)(＋4)行推理可得其一个周期是4.2．如果函数()满足对任意有(＋)f(b－，则这个函数图象本身＋是一个轴对称图形，关于直线x＝称，反之亦然；如果函数f(x足对任意都有(a＋)＝－(b－)，则这个函数图象本身是一个中心对称图形，对称＋b中心是，反之亦然．注意这个结论中b＝a的情况．由偶函＝()的图象关于直线x＝a(≠称可得函数解析式满足(＋)＝(－x进而＋)＝f(－x)＝(x即可得到函数＝f()的一个周期是a；当函数f()图象关于点a,0)(≠对称时，可得f(a＋)＝－(a)以＋代得，a)－(－x)＝(，也可推出2函数f(x一个周期．三、函数与方程word档可自由复制编辑1数的零方程的与函数零点的关系：函数的点的定义知，函＝f)零点就方程f(x)的实根，也就是函＝f()的图象与x轴的交点横坐标所以，程f(x＝0有实根数＝的图与轴有交⇔数yx有零点．2分法用二分求函数点的一般步骤第一步确定区[，b]，验f(af)<0，给定精确ε第二步求区间，]的点；第三步计算c：若f()0则c就是函数零点；若f(f(c，则令＝(时零点∈，(3)若fcf()<0，则令＝c(此时零点∈(，b；(4)判断否达到确度ε：若|a－bε则得到点近似a(或)否则重(2)～(4)．3数模型解决函模型的际应用题，首考虑题考查的函模型，要注意定域．其题步骤：阅读理解审清题：分析出知什么求什么从中提出相应数学问；数学建模弄清题中的已条件和量关系建立函关系式解函数模：利用学方法出函数模的数学果；(4)实际题作答将数学题的结果译成实问题作解答．word档可自由复制编辑规律技巧提炼规律技巧提炼四、导数在研究函数中的应用．据方程的和函数点的关系可以把程和函数系起来通过函数的点研究程根的布以及用逐步小方程所在区间的方求方程近似解二分法)，在实际中们一般是求方解的个、或者根据解个数求程中的母参数范围，时数形合是基本的解方法，把方程拆为一等式，两端都我们所悉的函数的解式，然构造两函数)()，即把方程成f(x)＝(x的形式，这时方程根个数就两个函图象交的个数可以根图象的变化趋找到方中字母数所满的各种系．．二分求方程近似解依据是数的零存在定，当把方程a的一个锁定在间(a，)时，取间的中＝，则下一有根2＋的区间是根据数的零存在定进行判的，即f的符与2f)fb的值异号区间内3函数模是一种重的数学型，解决数建模关键是找一个影响解目标变量，用这个量把求目标需的量表达出来这样就立起了数模型，然通过研这个函数的性单调性、最值、特殊点函数值)，对实问题作出释，其中研究数的性可以采用导数方法．解决实应用问的函数模时，注意根据问题实际意确定函的定义．1数的几意义word档可自由复制编辑bfbf2数的单性与导如果已函数在个区间上单调增(减)，则个函数导数在这区间上(小于零恒成立．区间上散点处导数等零，不响函数的单调性如函数＝xx.3数的导与极值对可导数而言某点导数等于是函数该点取得值的必条件但对不导的函可能在值点处函的导数存在如函数＝|在＝处)，因对于一函数而，导等于零既是函数得极值的充分条也不是要条件4区间上数的最在闭区上连续函数，定有最值和最值，其大值是区的端点处函数值在这个间内函的所有大值中最大者，最小是区间点处的数值和这个区内函数所有极值的最小者．5积分与边形面(1)曲边＝)的曲边形的面：在区间b]上的续的曲＝f()，和直线x＝axb(≠b)，＝0所围成曲边梯的面积S＝

.当f()≥时，S＝x)dx当f(x)<0时＝－f(xa(2)曲边()yg()的曲边形面积：在间ab]上连续曲线＝f)yg(x，和直＝a＝b(a)，＝0所成的曲梯形的面＝|f)－()|dx.fx)≥()时，＝)()]dx；当

word档可自由复制编辑f()时，S＝[(－(x)]dx.规律技提炼

．求解切问题时注意求的曲线上点处的线问题还是曲线的过个点的线问题．函数单调性使用导研究函问题的本，函的单调递增区间和调递减间的分点就是数的极点，在有字母参数的数中讨函数的调性就根据函的极值把函数定义域区间进分段，各个段研究函的导数符号，定函数单调性，也确了函数极值点这是讨函数的调性和值点情进行分类的基原则．．使用数的方研究不式问题基本方是构造数，通过导数的方研究这函数的调性、值，利特殊点函数值和整个间上的数值的较得到等式，意在一问题中函数的解析式行适当变换再造函数使用导的方法研方程的的分布其基本想是构函数后使用数结合方，即先过数”的计算到函数单调区间极值，再使用”直观得方程根分布情．五、三恒等变与三角数1＝sin(ωxφ)(>0)的图象特点：①在对称处取最大值或小值②对中心是函图象x的交；③相邻word档可自由复制编辑22对称心(对称)间相半个期，邻的个对中心对称轴间相四分一个期．2三角数的等变：从数名角、算三面进差异分析常用技巧：切化弦降幂用三公式化出特殊角，角化角，名化名，次化次等二倍公式实现降幂升幂主要据，意其形：1＋α＝2cosα，－α1cos21－α＝α，α＝，α＝.22规律巧提．根据角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身特别在平移变换中如果这个变量的系数不是，在进行变时变ππ量的系数也参与其中，如把函数＝sin＋图象向左平移个单位时，得ππ5π到的是函数y＝sin＋＋＝sin2x＋的图象．．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．word档可自由复制编辑222222六、解三角形．弦定理bc已知在△bc分为内角、BC的对边＝＝ABsin＝(为三角形外接圆的半径)．．弦定理已知在△中，a，，c分别为角A、C对边，则a＝b＋－bc－A，A＝另外两个同样．．面积式已知在△，，分为内角、C对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的；(2)＝absin＝sinA＝B＝(其中为该三角形接圆的半径；R(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S(a＋b)r；＋＋(4)若p，则角形的面积＝ac．海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语规律技巧提炼1使用正弦定理够解的角形有类，一是已知边及其中边的对，一类知一边两个内角实际就是知三个角)，中第一个类型可以根余弦定列出方求出第边，再内角．在使用word档可自由复制编辑弦定理三角形角时，注意解可能情，判断的情况的基本据是三形中大对大角．当已三角形两边和中一个的对角解第三时，可以使用正弦理、也以使用弦定理使用余定理就根据余弦定理身是一方程，个方程系着三形的三边和其的一个内角．．正弦理揭示三角形边和其角正弦比例关，余弦定理揭示了角形的边和其一个内的余弦间的关．七、平向量．面向的基本概．线向定理向量非零向量a共线的充条件是且只有个实数λ使＝λa.如果向a＝，，＝，y)，则∥的充条件是＝或121者－y＝0即用坐标表的两个量平行的要条件它们坐的21交叉之相等．其中一向量的标都不零时，个充要条件也xy以写为＝，即应坐标比值相．xy3面向量本定理对于任，若不共线向量，作为底，则在唯一的组实数对λμ，使a＋μe.24量的坐运算a，)，b＝)则＋＝(x＋，＋)，－b＝x－x，22112－y)，＝λx，λy)21word档可自由复制编辑→→→5量积(1)已知ab的夹〈a〉＝(∈[0π])，则们的数积为·b＝bθ，其中b叫做向量b在a方向上的投，向量数量积满足交律、数结合律和配律但不满足合律即a·(c≠(b；(2)若＝，)，b＝(x，)，则＝x＋y；122121abx＋yy(3)两非向量a，的夹公式为cosθ＝＝|x2＋2＋2＝a.两个向垂直的要条件是它们数量积于零．规律技提炼

；．当向量几何图的形式出时，要这个几图形中一个向量用其的向量性表示就要根向量加法的法进行，特别是法法则容易使错误，量M＝ON－(其中O为我所需要任何一个)，个法则是终点量减去起向量．．根据行四边法则，于非零量a，，当|＋＝a时，平行四形的两对角线度相等此时平四边形矩形，条件＋b＝－b等价于向a互相直，反也成立．两个量夹角范围是[0，，使用平向量解决问题要特别注意个向量角可能0或π的况，如知两个量的夹角钝角时，单纯就其数量小于零还要求能反向线．．平面量的综运用主体现在角函数平面解几何中．在三角函问题中面向量知识主是给出角函数间的一些关系word档可自由复制编辑2xab2xab解题的键还是角函数题，这问题可和三角数中的一些题相互对；解析何中向知识只是给出些几何的位置和数量系，在题中要于根据量知识析解析何中的何量之间的关，最后的题还得实到解几何方．八、不式及线规划．等式基本性质．元二不等式的法解一元次不等实际上就是求对应的元二次方的实数(果有实根)再结合对应函数的象确定大于零者小于的区间，在含有母参数不等式还要根参数的同取值定方程根的大以及函图象的口方向从而确不等式解集．3本不等a不等式ab≤(a，>0)称为基本不等式，常见的与这个不等式2＋2有关的他不等有a≥ab(ab>0)；ab≤(∈R)11＋aba＋1≤ab≤≤(，b；＋≥>0)；≥2(ab>0)等24元一次等式(组和简单的线性规(1)线性划问题的关概念线性约条件、性目标数、可行域、最解等；word档可自由复制编辑(2)解不实际背景线性规问题的般步骤①画出行域；②根据线目标函的几何义确定取得最解的点③求出目标函的最大或者最值．规律技巧提炼．对一些表现形上是一元次不等的情况不要忽了其中二次项系数可等于零情况，时可能一次不式，也可能一项系数是零，充分考这些可性．在含有参的不等式时，类讨论划分的准一定明确，进行大分类，每个类中再进小的分．．使用本不等以及与相关的等式求元函数者二元函数最值时基本的巧是创使用这不等式条件，各变数都是正，某些变之积或之和为数等，题中要据这个则对求解目标行适当变换，之达到够使用些不等求解最的目的．在使基本不式求函的最值特别是二元函最值时定要注意等号立的条，尽量免二次用基本等式．．面区域确定法是“直线定界，特殊点定域”，元一次等式组表示平面区是各不等式表示半平面交集确定面区域单个量的范、整个数，只需区域出来，合图形过算解．az4线目标函＝ax＋中的z不是直线ax＋by＝z在轴的截距把目函数化y＝－＋可z知是直线＋byz在y轴上截距，根据的符号确目标函在什情况下得最大、什情况下取最小．word档可自由复制编辑1nn1nn1n1n111nn1nn1n1n112九、等差数列与等比数列．S与a的系n，n＝1，在数列{，S＝＋„a，从而＝－－1，n≥2.．差数列性质如果数列}是公差为d等差数列，则n1＋a(1)＝＋－1)d，S＝＋＝.n112(2)对正整数，p，q，＋＝a＋a⇔m＋＝p＋，＋＝am＋pp＝p．比数列性质如果数列}是公比为q等比数列，则n(1)＝－，＝n1n

－q－＝，≠1，－1－q，＝1.1(2)对正整数，，，q，＝a⇔＋＝p＋，＝⇔＋＝ppqmnp．差、等比数列S的性质n若等差数列的前n项和为S，S，S－S，S－„差数列；n2mm2等比数列的前项和为，则在公不等于－时S，－S，S，„n3成等比数列．．差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．word文可自由复制编辑nn＋2222nn＋22223规律技巧提炼1．在根据数列的通项a与前项和关系求解数列的通项公式时，要考nn虑两个方面，一是根据－S＝a把数中的和转化为数列的通项之间的关＋1nn＋1系，先求再求；二是根据a＝S－把数列中的项转化为和的关系，nnn＋1n＋1n先求S再.注意分n＝1，≥两种情况求结果后，判断能否整合为同一通n项公式．．判断数列{是否是等差数列的方法有：(1)根据等数列的定义，即证明n＋a－d(常数(2)明a＝证明其通项公式是关于一次函＋1nn＋12数这样的等差数列公差不等于零)．判断数列{a为等比数列基本方法是定n义．＋c．三个数，，成等差数列的充要条件是b＝但三个数，，成等比数列的必要条件是＝.十、数列求和及数列的应用1用公式等差数的前n项和，等比数列的前n项，n＋1＋2＋＋„n＝，n＋1＋11＋＋3＋„n＝，6＋11＋＋„＝word文可自由复制编辑＋kkn＋kn－n＋－12＋kkn＋kn－n＋－122－2n＋4－1212用裂项法11(1)＝－；n＋1n＋1(2)＝－；1(3)＝－；1(4)＝－；n＋2－11(5)＝＝－n－1－11

等．3学求和基本方公式法分组法裂项相消法、位相减、倒序相法．4列的应等差数模型、比数列模型、推数列型．规律技提炼．项相消法的基本思想是把数列的通项a分成＝或者＝nn＋1nb－或者＝－等从而达到在求和时逐项相消的目的在解题中要善nn＋1nn＋2n于根据这个基本思想变换数列的通项公式，使之符合裂项相消的条件．n错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和乘以等比数列的公比再错位相减即依据是c＝b其中{ann是公差为的等差数列{b}是公比(q≠的等比数则＝＝，nnnn＋此时－－)b＝，这样就对应相减的项变为了一个等比数n＋1n＋1＋＋1word文可自由复制编辑列，从而达到求和的目的．3在数列应用题中首先确定是什么类型的数列然再根据已知和求解目标，使用等差数列、等比数列的知识进行解答．十一、推理与证明1理(1)归纳理：由某类事的部分象具有某特征性质推出该类事物全部对都具有些特征(性质)的理或者由个事实概出一般结的推理，叫归纳推简称归)．归纳推理由特殊一般部分到整的推理类比推理由两类象具有某些类特征和中一类对象的些已知征，推另一类象也具这些特的推理，叫做比推理简类比类比推理由特殊特殊的推．演绎推：演绎理是根已有的实和正的结论(括定义、公、定等)按照严的逻辑法得到新论的推过程是根据一般的真命或逻辑规)导特殊性题为真推理．2学证明(1)直接明：分法和综法是两种路相反证明推理法：分法是倒，综合是顺推分析法重于结提供的息，综合法则重于条件供的信，把两结合起，全方地收集储存、加工和用题目提的全部息，才找到合的解题路．没分析，就没有合，分析是合的基，它们辅相成对立统的．word文可自由复制编辑(2)间接明：反法是一间接证明题的方，它从命结论的面出发引出矛，从而定命题结论．3学归纳分两步首先证当取第个值n(例如＝1)时结论正确；然后假0设当＝kk，k≥)时结论正确证明当n＝＋时结也正确．＋0规律技巧提炼．情推理精髓是“合情即得到结论符“理，其中主要是归推理与比推理归推理是部分得到体的一推理模式类比推理由此及的推理式；演推理是种严格证明方式．．直接明的最本的两证明方综合法分析法这两种方法也是解决学问题常见的维方式在实际题时，常先用分析法求解题思，再用合法有理地表解题过．．数学纳法是明与正数有关数学命的一种法，在遇到与正整数关的数命题时要考虑否可以用数学纳法进行证明但也要注并不是有的与整数有的数学题都可使用数学归纳进行证明；在可使用数归纳法行证明数学命中，要准确使数学归纳证明命的格式特别要意在证过程中一要使用纳假设．十二、空间几何体1间几何的三视正视图光线从何体的面向后正投影到的投图；侧视图光线从何体的面向右正投影到的投图；word文可自由复制编辑规律规律技巧提炼(3)俯视：光线几何体上面向下正投影到的投影．几何体正视图侧视图和俯视统称为何体的三图．2二测画平放置平面图的基本步建立直坐标系在已知平放置平面图中取互垂直的，，建直角坐系；画出斜标系在画直观的纸上平面上画出对应Ox′′，使∠x′＝或，它们确的平面表示水平面；画对应形，在知图形平行于x的线段在直观中画成行于′轴，且度保持变在已知形中平于轴的线，在观图中画成行于y′，且长变为原的一半；擦去辅线图画好，要擦去轴y及为图添加的助线(虚线)．．本面公式．间几体的体积算公式．实图形和两坐轴平行的线段直观图仍然和两标轴平行，在实图形与轴平行的段在直图中长度变，在实图形和轴平行的段在直图中变为来的一半．这画法蕴着一个一的规律在斜二画法中真实图的面积直观图面积之比是22.．空间何体的积有侧积和表积之分表面积是全面积，是word文可自由复制编辑一个空几何体“暴”在的所有的面积，计算时注意区分“是侧面还是表积．面体的面积就其所有面的面之和，转体的面积除球之外都是其面积和面面积和．3．实问题中几何体往不是单纯的柱、锥、台、球往往是柱、锥、台球或其部分组的组合，解决类组合体积的基本方就是“分解”将组合“解成若部分，每分是柱锥、台、或其一个部，分别算其体然后根据合体的构，将整的体积化为这“分体积的和或．十三、、直线平面间的位置系．行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．．决平行问题时要注意以下结论的应用经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．word文可自由复制编辑22平行于同一条直线的两条直线平行．平行于同一个平面的两个平面平行．如果一条直线与两个相交平面都平行么这条直线必与它们的交线平行．．直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．在垂直的相关定理中要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．规律技巧提炼．二面角题中，果图形中有显示二面角的，则要据平面的三公理作这个二角的棱．在空中线线行和面平行都传递性但线面行没有传性．在间任意移两条线不改两条直所成的，同时注意两线所成角范围是，．两异直线所的角归到一个角形中内角时容易忽视这个三角形的内角能等于异面直所成的，也可等于其补角．．面垂直性质理在体几中是个极关键定理这个理的要作是作个平的垂，在些垂关系证明word文可自由复制编辑中，线面、二角的解中多情都要助这定理出平的垂．垂直问的关是线垂直通过面垂证明线垂(线面垂的定)，通线线直证线面直(线面垂直的判定定)、面面直(面面垂直的定定，在决垂问题要把些垂关系理，确合理推理证顺．十四空间量与体几1间向量加减法线性运；共线向定理；共面向定理;空间向基本定；空间两向量的角；空两向量角的范是0π]即≤〈a，b〉≤；向量的量积；空间向的坐标算．2角计算式线线角直线与线所成角为θ如两直的方向量分别为，b，则cosθ＝|cos〈，b〉；线面角：直与平面成的角θ，直线的向向量平面的法向量，则＝〈a，〉；word文可自由复制编辑→→→→→→→→(3)面面：两相交平面所成的角为两平面法向量别为和，2则＝〈，，其特殊况是两个半平所成的即二面角也2可以用个公式决，但判定二角的平角是锐还是钝角的情以决定＝|cos〈，〉还是cos＝－|cos〈，〉|.23离公式点点距点与点距离，这两点起点和点的向的模；点线距点M到直的距离，如直的方向量为，直上任一点为，则点M到直线a的距＝MN|sin〈MN；线线距两平行间的距，转化点线距；两异直线间的距离，转为点面离或者接求公线段的度；点面距点M平面α的距离如平面α的法量为，平面α任一点N，点M到面α的距离＝〈MNn|＝

MN|n

；线面距直线和它平行平面间距离，化为点距离；面面距两平行面间的离，转为点面离.规律技提炼1间向量明位置系的方：线线平：直线直线平，只要明它们方向向平行．线面平：用线平行的定定理证明直的方向量与平面内一条直的方向量平行用共面量定理证明平外直线的方向量与平面两相交线的方向量共；证明线的方向量与平面的向量垂直word文可自由复制编辑→→→→→面面平：平面平面的行，除用线面行的判定理转化为线面平外，只证明两面的法量平行可．线线垂：直线直线的直，只证明两线的方向量垂直．(5)线面直：用面垂直定义，证直线的向向量与面内的意一条线的方向量垂；用线垂直的定定理证明直线的方向量与平内的两相交直的方向量垂直证明直的方向向量与面的法向平行．(6)面面直：平与平面垂直，除用面面直的判定理转化线面垂外，只证明两面的法量垂直可．2空间向中有个共向量定，这个定的一个出结论就：对于空间意一点和不共的三点，，，且O＝＋yOB＋(，，z∈R)，四点P，，C面的充要件是＋y＝1.十五、线和圆．线的斜率．线的方程．条直线的置关平行；垂直相交．4离式两点间的距；(2)点直线距离；两条行直线的距．．的方程．线与圆的置关直线圆的置关有相相切相离种解决题的法主有点线离法判别法．点线距离法设圆到直的距离d，的半为r，则d<r⇔直与圆交，d＝⇔线与圆切，r⇔线与相离C：(x－a＋y)＝，lAx＋＋C＝word文可自由复制编辑＋＋＝，－ab＝，

消去得x的一二次程判式，①直与圆离Δ<0；直线圆相⇔＝；③直与圆交Δ>0.7与的位关系设，分别为圆半，d为圆圆距．>r＋⇔两圆外；＝r＋⇔两圆切；(3)|r－|<d<＋⇔圆相交1＝|r－|⇔圆内；<|r－|⇔圆内．规律巧提．确定直线的几何素，个是的方，一是直过一点．解析何里用得广泛就是线方的点式．．求的方要确圆心坐标横坐、纵标)和圆的半径，这实上是个独的条，有根已知三个立条找出可能通解方组的法确圆心标和的半，其中列条件和解方程组要注其准性．．直被圆截得弦长直线圆相时产的问，是线与的位关系一个生问．解的方，一根据面几word文可自由复制编辑222222222知识合坐的方，把长用的半和圆到直的距表示即如圆的径是，圆到直的距是，则被直所截的弦长lr－d；二根据一般直线二次线所得的长的方解决十六圆锥线的义、程与性1椭圆(1)圆的义；xyx(2)种标方程＋＝1(>>0)，焦点在轴；＋＝aba>b，焦在轴上；椭圆程的般形＋ny＝1(>0，)其焦点位有如规律当m时焦点x轴上当m时，焦点在y上；椭圆简单何性．2双曲(1)曲线定义xyy(2)种标方程－＝1(>0>0)焦点x轴；－＝aba，>0)，焦点在y上；word文可自由复制编辑2222双曲方程一般式：mx＋＝1(<0)，焦点置有如下律：>0，n<0，焦在x轴上；当<0>0，焦在y轴上双曲的简几何质．3抛物抛物的定；抛物的标方程抛物方程一般式：点在x轴的抛线方可以y＝(λ示焦在上的物线准方可以x＝(λ≠0)表示抛物的简几何质．规律巧提1离心的范问题关键是确一个于a，c的等式，根据，，的关消掉得到关a，的不式，这个不等确定a，的关系．．抛线y＝px(的过点F，0弦AB，若(x，)1Bx，)则x＝，yy＝－，弦|AB＝x＋＋.同可得212物线y＝，x＝py＝－py类的性．word文可自由复制编辑3解决线与锥曲相交的弦问题法是设而求，据韦达理，行整代入即当线与锥曲交于Ax，y)Bx，)时，AB＝＋kx－＝

1＋|y－y，x－x＝k12x4x等，据将线方与圆曲线程联消元的1一元次方，利韦达理进整体入．十七圆锥线热问题．曲与方的概．求线的程的般步建立当的标系用有实数x，y表示线上意一M的标；写出合条P点M集合＝{MM)}；用坐表示件P(M)，列出方程f(x，y＝；化方f(y＝为简形；证明化简的方的解坐标点都曲线的点3求曲方程方法求曲方程方法除了接法定义和待系数外，为常见就是入法参数和交法．word文可自由复制编辑(1)入法当形曲线动点，y，随另一在已曲线f(，)＝上动点Qx，)有规律运动，利这种律就得到x＝(y)，＝()，而x，满足(x，y)＝，将＝φ(，000y)y＝(xy代入可得动点P(y所形的曲的方．参数：当难找形成线的点P(x的坐xy所满足的系式借助三个量立t和和的系式φ(t)y＝φ()再通过些条消掉就间接地找到了x和所满足的方程，从而出动P(x，)所形成的曲线的通方．交轨有些况下所求曲线由两动直的交Px，y)形成，既是动线，么这条直的方就必含有动的参，通解两线方所组的方组，能将点(x)坐标这些数表出来也就出了点xy所形的曲的参数程，掉参就得了动P(x，y所形的曲的普方程规律巧提．求线方的基方法直接，定法(或者定系法)代入，参法．．定、定问题然是变化所表出来不变量，word文可自由复制编辑么就以用化的表示题的线方、数积、例关等，些直方程数量、比关系受变的量影响一个、一值，是要的定、定．化这类题难的关就是进变参数示直方程数量、比关系，根等式恒成、数变换寻找受参影响量．3解决锥曲中最、范问题基本想是立目函数建立不关系根据标函和不式求值、围，此这问题难点就是何建目标数和等关．建目标数或等关的关是选一个适变，原则这个量能表达解决问题，个变可以直线斜率直线截距点的标等要根问题实际况灵处理十八排列合二式定1个本原分类法计原理分类法计原理2列定义；排列数公式Am＝

！－m

(n，m∈，≤)；3合word文可自由复制编辑nn定义；组合数公式组合数性质C＝C－m，n∈，且n(n∈N，且m≤n)4项定理(a)n展开式有n＋项其中r＋1项＝Ca－rbr.r＋n5项系数性质二项系数指，，„这n＋1个合数二项系数有如几个质：对称、等性、调性最值性C＋C＋r＋„C＝C＋；rr＋1r＋＋C＋C1＋C＋„Cr＋„＝2n；C＋C3＋C＋„C＋＋＋„2－1；nn

≤n)＝Cm＋Cm－1n＋1nC＋2C3C＋„nC＝n－n规律巧提

等．．分步加法计数原是对做的情分若干，每类中若干方法能独地完这件情；步乘计数理是要做事情成若个步，每步骤是完这件情的个环，只这些骤都成了这件事才算成这是两基本理的别，在解问题要注区分．二式(a＋)的开式二项系数该项系数两个同的念，者只指，仅是二项的幂指数n及项数n关的合数而与，值无；而者是该项字母的部，即各的系不仅各项二项系数关，且也a，的系数word文可自由复制编辑nnnnnnnn有关在求项展式特项的数时充分意这区别3．二项式项的数和可以过对项式开式端字的赋值行解如1＋展开中各系数绝对的和是展式中各系数和，要令＝即得而(－x的展式中项系的绝值的，只把面的数－为＋，令x＝1得到也可以改变数－1，直接令x＝－1到，样就难类得到1＋ax展开中各系数对值和为(1|a.十九概率计1随机样(1)单随抽样(2)分层抽样；(3)系统抽样．2统计表频率布表频率布直图、叶图3样本征数(1)数；(2)中位数；(3)均数(4)方差(5)准差．变的相性与小二法．独性检对于域分是{x，xy，}的分类变量和，其样本频2数列表是y

y

总计word文可自由复制编辑－－－－则K＝

xabbxcd＋总计a＋bdnn－bc