第8节-常系数非齐次线性微分方程课件

11为常数)通解为非齐次方程特解齐次方程通解★二阶常系数线性非齐次微分方程的标准形式[解法]

回顾:第六节非齐次线性微分方程解的结构(定理3)

借助于第七节内容解决难点问题！！2为常数)通解为非齐次方程特解齐次方程通解★二阶常系数线性★求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.为常数)本节主要讨论以下两种类型的微分方程3★求特解的方法根据f(x)的特殊形式,给出特解44从而得到特解形式为5从而得到特解形式为566此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！★小结7此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！★小结7解:特征方程于是所求特解为8解:特征方程于是所求特解为8解:9解:9特征方程特征根

设方程特解

代入方程比较系数得10特征方程特征根设方程特解代入方程比较系数得10解:特征方程设非齐次方程特解为代入方程得故对应齐次方程通解原方程通解由初始条件得特征根11解:特征方程设非齐次方程特解为代入方程得故对应齐次方于是所求解为原方程通解为解得12于是所求解为原方程通解为解得121313解：设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）14解：设上述结论也可推广到高阶微分方程的情形.★结论

方程②的特解可设为15上述结论也可推广到高阶微分方程的情形.★结论方程②的特解:特征方程不是特征方程的根代入方程得设特解为特征根比较系数,得于是求得一个特解16解:特征方程不是特征方程的根代入方程得设特解为特征根比较系数解:特征方程其根为对应齐次方程的通解比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为由于为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为17解:特征方程其根为对应齐次方程的通解比较系数,得因此特例10.设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式解:(1)特征方程即有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程即有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为18例10.设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式解:思考与练习1.求方程的通解.提示:对应齐次方程通解1)当时,设特解2)当时,设特解答案:原方程的通解为19思考与练习1.求方程的通解.提示:对应齐次方程通解1)2.(填空)

设1)当时可设特解为2)当时可设特解为202.(填空)设1)当作业7-8P3471(1)(5)(6)(10),2(2)(4);621作业7-8P3471(1)(5)(6)(1221为常数)通解为非齐次方程特解齐次方程通解★二阶常系数线性非齐次微分方程的标准形式[解法]

回顾:第六节非齐次线性微分方程解的结构(定理3)

借助于第七节内容解决难点问题！！23为常数)通解为非齐次方程特解齐次方程通解★二阶常系数线性★求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.为常数)本节主要讨论以下两种类型的微分方程24★求特解的方法根据f(x)的特殊形式,给出特解254从而得到特解形式为26从而得到特解形式为5276此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！★小结28此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！★小结7解:特征方程于是所求特解为29解:特征方程于是所求特解为8解:30解:9特征方程特征根

设方程特解

代入方程比较系数得31特征方程特征根设方程特解代入方程比较系数得10解:特征方程设非齐次方程特解为代入方程得故对应齐次方程通解原方程通解由初始条件得特征根32解:特征方程设非齐次方程特解为代入方程得故对应齐次方于是所求解为原方程通解为解得33于是所求解为原方程通解为解得123413解：设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）35解：设上述结论也可推广到高阶微分方程的情形.★结论

方程②的特解可设为36上述结论也可推广到高阶微分方程的情形.★结论方程②的特解:特征方程不是特征方程的根代入方程得设特解为特征根比较系数,得于是求得一个特解37解:特征方程不是特征方程的根代入方程得设特解为特征根比较系数解:特征方程其根为对应齐次方程的通解比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为由于为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为38解:特征方程其根为对应齐次方程的通解比较系数,得因此特例10.设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式解:(1)特征方程即有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程即有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为39例10.设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式解:思考与练习1.求方程的通解.提示:对应齐次方程通解1)当时,设特解2)当时,设特解答案:原方程的通解为40思考与练习1.求方程的通解.提示:对应齐次方程通解1)2.(填空)

设1)当时可设特解为