高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第三节坐标系 理

第节

坐

标系知识梳理一平直坐系的标缩换λ＞，设点P(x，是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：μ＞，

的作用下，点P(x对应到点P′(′，y′)，称φ为面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极标的念1．极坐标系．如图所示，在平面内取一个定点，叫做极点；自极点O引条线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位个角度单位通常取弧)及其正方向通常取逆时针方)样就建立了一个极坐标系．注意极坐标系以角这一平面图为几何背景平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景直坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系坐系则不可极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系．2．极坐标．设是面内一点，极点点M的|叫做点M的径，记为ρ；极轴Ox为始边射线OM为终的角∠xOM做点M的角记为θ有序数(ρθ叫做点M的极坐标，记作Mρ，)一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0θ可任意实数．特别地，当点在点时，它的极坐标(0θ)(θ∈R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0θ＜π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐ρ，θ)表示；同时，极坐标ρθ)示的点也是唯一确定的．三极标直坐的化1．互化条件：把直角坐标系的点作为极点轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：2.互公式：设M是坐平面内任意一点，它的直角坐标是(x，)，坐标是(ρ，

πππππππθ)(ρ≥0)，于极坐标与直角坐标的互化公式如表：点互化公式

直角坐标(，yx＝cosθ，y＝sinθ

极坐标ρ，θ)＝＋tanθ＝x在一般情况下，由θ确角时，可根据点M所的象限取最小正角．四常曲的坐方曲线圆心在极点，半径为r的圆

图形极标方程ρ＝(0≤＜π)圆心为0)，半径为r的

ρ＝cosθ

ππ≤θ＜2圆心为

，半径为r的

ρ＝sinθ(0≤θ＜π过极点，倾斜角为α的线(1)θ＝α(ρ∈(2)＝(和θ＝＋α(≥0)过点(0)，与极轴垂直的直线

ρcos＝＜θ＜22过点

，与极轴平行的直线

ρsinθ＝＜＜π)基础自测1．在极坐标系中，圆：ρ＝10cosθ和线l：ρcosθ－ρsinθ－300相交于A，两，则线段的长是________．解：别将圆和线l的极标方程化为直角坐标方程：圆＋＝10x，(－＋25，圆心C(5,0)．线：3－4y－30＝0.|15－0－30|因为圆心C到直线距离d＝3.所以|AB|＝25－＝5答：2．极坐标系中，过圆ρ＝4cos的心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________________．解：的直角坐标方程为x＋4x＝0，圆心(，过该点的直线的极坐标方程为cosθ＝答：ρcos＝3广州模)在极坐标中知点A

点P是线ρsin

θ＝θ上任一点，设点P到线ρcos＋＝距离为d，则|＋最小值为________．解：ρsinθ＝的角坐标方程为y＝，它是抛物线，焦点为F(1,0)，准线为＋1＝，即直线cosθ＋1＝，点A2

是直角坐标为(0,1)．据抛物线的定义，＝PF，所|＋＝PA＋PF|≥|＝2.答：2

226π＝ρcosθ，化为直角坐标方程得x226π＝ρcosθ，化为直角坐标方程得x＋ππ4．已知曲线C，极坐标方程分别为cosθ3，ρ＝θρ≥0,0θ<，则曲线C，交的极坐标为_______＝3，解：联立解方程组θ，π曲线的交点为23，.6π答：3，6

＝3πρ≥0θ<解π＝，

即两π1(2013·北京卷在坐标系6

到直线sin＝2的距等于_______．π解：坐标系中点6

对应直角坐标系中坐标为(3坐标系直线ρsinθ＝对直角坐标系中直线方程为＝，所以点到直线＝2的离为＝答：2．(2013·天津卷已圆的极标方程为ρ＝4cos，心为，点P的极坐标为|＝________________.3解：＝4cosθ得ρ2)＋＝，

＝x，即x圆心(2,0)点

的直角坐标为P(2,23)．由两点间距离公式得CP＝23.答：31．(2013·深圳二)在极坐标中，已知两圆：＝2cos和Cρ＝2sin，则过两圆圆心的直线的极坐标方程____________解：圆的直角坐标方程分别为＋2x0，＋－2y＝，圆的圆心分别为(1,0)(0,1)过两点的直线程为＋－＝化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsin－＝答：ρcos＋sinθ－＝2．(2013·揭阳二模)在极坐标中O是点直线过Cρ＝2cos圆心C，且与直线垂，则直线l极坐标方程__________．

π－4

的π解：ρ＝2cos－4

化为直角坐标方程为