中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件

《中级宏观经济学》主讲:何樟勇博士个人主页：/

web/hezhangyong浙江大学经济学院2006年夏12/3/20221第四讲三期动态模型《中级宏观经济学》主讲:何樟勇博士12/2/2022

第四讲

三期及无限期动态模型

12/3/20222第四讲三期动态模型第四讲

三期及无

第二节

无限期动态模型与动态规划

12/3/20223第四讲三期动态模型第二节

无限期动态模型与动在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一方面看看那些在两期、三期模型中被运用的宏观经济分析的基本思路是如何在无限期模型中被得到继续运用的；另一方面，我们也要简单介绍并展示一下离散时间的动态规划怎样被运用的，这种运用对于求解许多动态问题是非常有帮助的。12/3/20224第四讲三期动态模型在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一一、偏好，禀赋和技术

12/3/20225第四讲三期动态模型一、偏好，禀赋和技术12/2/20225第四讲12/3/20226第四讲三期动态模型12/2/20226第四讲三期动态模型12/3/20227第四讲三期动态模型12/2/20227第四讲三期动态模型12/3/20228第四讲三期动态模型12/2/20228第四讲三期动态模型12/3/20229第四讲三期动态模型12/2/20229第四讲三期动态模型在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用传统的方法求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。12/3/202210第四讲三期动态模型在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们二、动态规划简介

12/3/202211第四讲三期动态模型二、动态规划简介12/2/202211第四2.1序列形式表述的社会计划者问题

因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：12/3/202212第四讲三期动态模型2.1序列形式表述的社会计划者问题因为我们在前面已经证明了12/3/202213第四讲三期动态模型12/2/202213第四讲三期动态模型12/3/202214第四讲三期动态模型12/2/202214第四讲三期动态模型12/3/202215第四讲三期动态模型12/2/202215第四讲三期动态模型12/3/202216第四讲三期动态模型12/2/202216第四讲三期动态模型12/3/202217第四讲三期动态模型12/2/202217第四讲三期动态模型动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单的求解这一最大化问题的方法，但是这个最大化问题的解又是与我们原始的最大化问题的解是相同的。为了使上面所讲的这一点更明白、更具体，我们可以再一次看看我们的原始的这个计划者的最优化问题：12/3/202218第四讲三期动态模型动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/202220第四讲三期动态模型12/2/202220第四讲三期动态模型12/3/202221第四讲三期动态模型12/2/202221第四讲三期动态模型12/3/202222第四讲三期动态模型12/2/202222第四讲三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者最优问题

上面这种关于计划者最优化的表述形式，即有一个函数在左边，同时右边又有一个关于该函数的最优化问题的表述形式我们一般把它称为递归形式。现在，我们要开始研究具有递归表述形式的社会计划者的问题。因为我们在（4.46）式中，已经用函数w来表述序列形式下的社会计划者问题了，因此，这里我们还是用另外一个符号，比如函数v来表述递归形式下的社会计划者的最优问题。12/3/202223第四讲三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者最优问题上面这种关于计划者最12/3/202224第四讲三期动态模型12/2/202224第四讲三期动态模型12/3/202225第四讲三期动态模型12/2/202225第四讲三期动态模型中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/202227第四讲三期动态模型12/2/202227第四讲三期动态模型12/3/202228第四讲三期动态模型12/2/202228第四讲三期动态模型12/3/202229第四讲三期动态模型12/2/202229第四讲三期动态模型12/3/202230第四讲三期动态模型12/2/202230第四讲三期动态模型2.3猜测并证明法

我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证明这个解确实是这种形式的（需要注意，我们这么做时并不排该函数方程有其他解的可能性）。这种方法对于处理我们现在这个例子非常有效，但在一些我们也非常关心的其他例子里，这种方法就不怎么有效了。12/3/202231第四讲三期动态模型2.3猜测并证明法我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/202233第四讲三期动态模型12/2/202233第四讲三期动态模型12/3/202234第四讲三期动态模型12/2/202234第四讲三期动态模型12/3/202235第四讲三期动态模型12/2/202235第四讲三期动态模型12/3/202236第四讲三期动态模型12/2/202236第四讲三期动态模型12/3/202237第四讲三期动态模型12/2/202237第四讲三期动态模型12/3/202238第四讲三期动态模型12/2/202238第四讲三期动态模型12/3/202239第四讲三期动态模型12/2/202239第四讲三期动态模型12/3/202240第四讲三期动态模型12/2/202240第四讲三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题

12/3/202241第四讲三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题12/2/202241第四12/3/202242第四讲三期动态模型12/2/202242第四讲三期动态模型12/3/202243第四讲三期动态模型12/2/202243第四讲三期动态模型12/3/202244第四讲三期动态模型12/2/202244第四讲三期动态模型12/3/202245第四讲三期动态模型12/2/202245第四讲三期动态模型12/3/202246第四讲三期动态模型12/2/202246第四讲三期动态模型12/3/202247第四讲三期动态模型12/2/202247第四讲三期动态模型三、社会计划者问题

12/3/202248第四讲三期动态模型三、社会计划者问题12/2/202248第四讲12/3/202249第四讲三期动态模型12/2/202249第四讲三期动态模型12/3/202250第四讲三期动态模型12/2/202250第四讲三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程解的特征

如果在动态最优化问题中的值函数是可微的，BenvenisteandScheinkman（1979）确立了一些关于该最优解的基本特征。假如（4.74）式中的值函数是可微的、凹的，我们能用一阶条件来表述社会计划者的最优化问题。12/3/202251第四讲三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程解的特征如果在动态最优化问题12/3/202252第四讲三期动态模型12/2/202252第四讲三期动态模型12/3/202253第四讲三期动态模型12/2/202253第四讲三期动态模型12/3/202254第四讲三期动态模型12/2/202254第四讲三期动态模型12/3/202255第四讲三期动态模型12/2/202255第四讲三期动态模型四、竞争均衡

12/3/202256第四讲三期动态模型四、竞争均衡12/2/202256第四讲虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争均衡的价格，我们还是需要通过分别分析消费者和企业的最优化问题，从而得到一些求解的有用信息。12/3/202257第四讲三期动态模型虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，4.1消费者的问题

消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财富是以资本的形式表示的），在每一时期里，消费者都会把资本租给企业并向企业出售自己的劳动。因为劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。12/3/202258第四讲三期动态模型4.1消费者的问题消费者储存资本并进行投资（也即，它们的财12/3/202259第四讲三期动态模型12/2/202259第四讲三期动态模型12/3/202260第四讲三期动态模型12/2/202260第四讲三期动态模型12/3/202261第四讲三期动态模型12/2/202261第四讲三期动态模型12/3/202262第四讲三期动态模型12/2/202262第四讲三期动态模型12/3/202263第四讲三期动态模型12/2/202263第四讲三期动态模型4.2企业的问题

12/3/202264第四讲三期动态模型4.2企业的问题12/2/202264第四讲三期动态模型4.3竞争均衡价格

12/3/202265第四讲三期动态模型4.3竞争均衡价格12/2/202265第四讲三期动态模12/3/202266第四讲三期动态模型12/2/202266第四讲三期动态模型12/3/202267第四讲三期动态模型12/2/202267第四讲三期动态模型12/3/202268第四讲三期动态模型12/2/202268第四讲三期动态模型

数学附录：

包洛定理（Theenvelopetheorem）12/3/202269第四讲三期动态模型数学附录：

包洛定理（Theenvelopeth12/3/202270第四讲三期动态模型12/2/202270第四讲三期动态模型该定理意味着在计算值函数的导数时，我们只需要考虑参数a对原函数的直接影响就够了，而不用考虑它对原函数的间接影响，因为在最优时间接影响为零。12/3/202271第四讲三期动态模型该定理意味着在计算值函数的导数时，我们只需要考虑参数a对原函习题12/3/202272第四讲三期动态模型习题12/2/202272第四讲三期动态模型12/3/202273第四讲三期动态模型12/2/202273第四讲三期动态模型

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web/hezhangyong浙江大学经济学院2006年夏12/3/202274第四讲三期动态模型《中级宏观经济学》主讲:何樟勇博士12/2/2022

第四讲

三期及无限期动态模型

12/3/202275第四讲三期动态模型第四讲

三期及无

第二节

无限期动态模型与动态规划

12/3/202276第四讲三期动态模型第二节

无限期动态模型与动在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一方面看看那些在两期、三期模型中被运用的宏观经济分析的基本思路是如何在无限期模型中被得到继续运用的；另一方面，我们也要简单介绍并展示一下离散时间的动态规划怎样被运用的，这种运用对于求解许多动态问题是非常有帮助的。12/3/202277第四讲三期动态模型在本节，我们将介绍一个简单的无限期模型，借助这个模型，我们一一、偏好，禀赋和技术

12/3/202278第四讲三期动态模型一、偏好，禀赋和技术12/2/20225第四讲12/3/202279第四讲三期动态模型12/2/20226第四讲三期动态模型12/3/202280第四讲三期动态模型12/2/20227第四讲三期动态模型12/3/202281第四讲三期动态模型12/2/20228第四讲三期动态模型12/3/202282第四讲三期动态模型12/2/20229第四讲三期动态模型在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为，然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模型，用传统的方法求解均衡解几近不可能，所以，在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处理无限期的问题。12/3/202283第四讲三期动态模型在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析思路，接下去我们二、动态规划简介

12/3/202284第四讲三期动态模型二、动态规划简介12/2/202211第四2.1序列形式表述的社会计划者问题

因为我们在前面已经证明了竞争均衡解也是帕雷托最优解。因此，我们可以通过求解社会计划者问题来获得竞争均衡的有关数量解，这样，上面这个无限期模型中的社会计划者最优化问题可以正规地描述如下：12/3/202285第四讲三期动态模型2.1序列形式表述的社会计划者问题因为我们在前面已经证明了12/3/202286第四讲三期动态模型12/2/202213第四讲三期动态模型12/3/202287第四讲三期动态模型12/2/202214第四讲三期动态模型12/3/202288第四讲三期动态模型12/2/202215第四讲三期动态模型12/3/202289第四讲三期动态模型12/2/202216第四讲三期动态模型12/3/202290第四讲三期动态模型12/2/202217第四讲三期动态模型动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单的求解这一最大化问题的方法，但是这个最大化问题的解又是与我们原始的最大化问题的解是相同的。为了使上面所讲的这一点更明白、更具体，我们可以再一次看看我们的原始的这个计划者的最优化问题：12/3/202291第四讲三期动态模型动态规划的基本思想是试图通过对决策环境的探讨而发现一种更简单中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/202293第四讲三期动态模型12/2/202220第四讲三期动态模型12/3/202294第四讲三期动态模型12/2/202221第四讲三期动态模型12/3/202295第四讲三期动态模型12/2/202222第四讲三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者最优问题

上面这种关于计划者最优化的表述形式，即有一个函数在左边，同时右边又有一个关于该函数的最优化问题的表述形式我们一般把它称为递归形式。现在，我们要开始研究具有递归表述形式的社会计划者的问题。因为我们在（4.46）式中，已经用函数w来表述序列形式下的社会计划者问题了，因此，这里我们还是用另外一个符号，比如函数v来表述递归形式下的社会计划者的最优问题。12/3/202296第四讲三期动态模型2.2递归形式表述的社会计划者最优问题上面这种关于计划者最12/3/202297第四讲三期动态模型12/2/202224第四讲三期动态模型12/3/202298第四讲三期动态模型12/2/202225第四讲三期动态模型中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/2022100第四讲三期动态模型12/2/202227第四讲三期动态模型12/3/2022101第四讲三期动态模型12/2/202228第四讲三期动态模型12/3/2022102第四讲三期动态模型12/2/202229第四讲三期动态模型12/3/2022103第四讲三期动态模型12/2/202230第四讲三期动态模型2.3猜测并证明法

我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证明这个解确实是这种形式的（需要注意，我们这么做时并不排该函数方程有其他解的可能性）。这种方法对于处理我们现在这个例子非常有效，但在一些我们也非常关心的其他例子里，这种方法就不怎么有效了。12/3/2022104第四讲三期动态模型2.3猜测并证明法我们首先猜测该解的具体的函数形式，然后证中级宏观经济学之无限期动态模型与动态规划课件12/3/2022106第四讲三期动态模型12/2/202233第四讲三期动态模型12/3/2022107第四讲三期动态模型12/2/202234第四讲三期动态模型12/3/2022108第四讲三期动态模型12/2/202235第四讲三期动态模型12/3/2022109第四讲三期动态模型12/2/202236第四讲三期动态模型12/3/2022110第四讲三期动态模型12/2/202237第四讲三期动态模型12/3/2022111第四讲三期动态模型12/2/202238第四讲三期动态模型12/3/2022112第四讲三期动态模型12/2/202239第四讲三期动态模型12/3/2022113第四讲三期动态模型12/2/202240第四讲三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题

12/3/2022114第四讲三期动态模型2.4一个例子：无限期吃蛋糕问题12/2/202241第四12/3/2022115第四讲三期动态模型12/2/202242第四讲三期动态模型12/3/2022116第四讲三期动态模型12/2/202243第四讲三期动态模型12/3/2022117第四讲三期动态模型12/2/202244第四讲三期动态模型12/3/2022118第四讲三期动态模型12/2/202245第四讲三期动态模型12/3/2022119第四讲三期动态模型12/2/202246第四讲三期动态模型12/3/2022120第四讲三期动态模型12/2/202247第四讲三期动态模型三、社会计划者问题

12/3/2022121第四讲三期动态模型三、社会计划者问题12/2/202248第四讲12/3/2022122第四讲三期动态模型12/2/202249第四讲三期动态模型12/3/2022123第四讲三期动态模型12/2/202250第四讲三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程解的特征

如果在动态最优化问题中的值函数是可微的，BenvenisteandScheinkman（1979）确立了一些关于该最优解的基本特征。假如（4.74）式中的值函数是可微的、凹的，我们能用一阶条件来表述社会计划者的最优化问题。12/3/2022124第四讲三期动态模型3.1当值函数可微时贝尔曼方程解的特征如果在动态最优化问题12/3/2022125第四讲三期动态模型12/2/202252第四讲三期动态模型12/3/2022126第四讲三期动态模型12/2/202253第四讲三期动态模型12/3/2022127第四讲三期动态模型12/2/202254第四讲三期动态模型12/3/2022128第四讲三期动态模型12/2/202255第四讲三期动态模型四、竞争均衡

12/3/2022129第四讲三期动态模型四、竞争均衡12/2/202256第四讲虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，为了决定竞争均衡的价格，我们还是需要通过分别分析消费者和企业的最优化问题，从而得到一些求解的有用信息。12/3/2022130第四讲三期动态模型虽然我们借助计划者最优问题可以求得最优的均衡资本数量，但是，4.1消费者的问题

消费者储存资本并进行投资（也即，它们的