解说立体几何中的“坐标法”

解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对（x,y,z），其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。1•点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则符号为负。如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。2•点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则点的竖坐标的绝对值是a。二、常见特殊点的坐标特点1.坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如（a，0，0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a，0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如（0，0，a）。2.坐标平面上点的坐标的特点①XOY平面上所有点的竖坐标是0,形如（a，b，0）；②YOZ平面上所有点的横坐标是0，形如（0，a，b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0，形如（a，0，b）。三、利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步，建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示，这一步是解（证）题的关键；第三步，表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步，求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步，作出结论根据上一步所求得的结果，作出问题的正确结论。［例题］如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AA1的中点，点O是对角线BD1的中点。（1）求证：BD1±AC；（2）求异面直线CM与BD1所成的角；（3）求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线；（4）求异面直线AA1与BD1的距离。

解：以D为原点，DC、DA、DD1所在的直线分别为x、角坐标系，则D(0，0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),M(0,1,+),O(+,1,+)。(1)BD=(-1,-1,1),AC=(1,-1,0),BD-AC=(-1)x1+(-1)x(-1)+1x0=0.\BD1AC，即BD1±AC。y、z轴，建立如图所示空间直B(1,1,0),D1(0,0,1),(2)设异面直线CM与BDy、z轴，建立如图所示空间直B(1,1,0),D1(0,0,1),coseCM・BD1_ICMMBDI1=(-1)x(-1)+1x(-1)+2x1=(12+12+4x*1+12+12故异面直线CM与BD】所成的角为皿七。⑶OM=(-拦,0),AA1=(0'0'1),BD；=(-1,-1'1)，因为OM-AA1=0,OM-BD=0,所以OMLA