三次函数问题 练习题（解析版）

专题21三次函数问题一、单选题（2021•全国•高二课时练习）在同一坐标系中作出三次函数+ 及其导函C.③④ D.①④【答案】C【分析】根据导函数的符号与原函数的单调性的关系逐一判断可得选项.【详解】解：当/区＞0时，X扉角是递增的；当，区＜0时，尸是递减的.故可得，①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误.所以不正确的是③④，故选：C.（2021•全国•高二课时练习）设函数y=/"（x）是y=r（x）的导数，经过探究发现，任意一个三次函数/（力=加+加+cx+d（axO）的图象都有对称中心（%,/（%））,其中％满足，*（与）=。，已知函数y(x)=2x3-3x2+9x-gy(x)=2x3-3x2+9x-g12022赢上寓++，箴）A.20212021C.2022D.40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数/（力图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.【详解】

7 ,、c ,、 1由八司=2/_3/+9*,可得/(力=6/-6》+9,f[x}=\2x-6,令/"(x)=]2x-6=0,得x=],又= -3x（；）+9xl-1=l,所以对称中心为（生），所以卷卜"（瀛HUNpOlOAt(1012卷卜"（瀛HUNpOlOAt(1012]

【2022厂,12022)所以/薪卜・•+，（卷）1010x1+122021~T~故选：B.3.（2021•全国•高一单元测试）已知三次函数/（幻=2/+3以2+汝+0*（。eceR）,且/（2020）=2020,,(2021)=2021,/(2022)=2022,贝|J/(2O23)=( )A.2023A.2023 B.2027C.2031 D.2035【答案】D【分析】根据题意，构造函数g（x）=〃x）-x,根据g（2020）=g（2021）=g（2022）=。可以知道g（x）=2（x-2020）（x-2021）（x-2022）,进而代值得到答案.【详解】设g(x)=f(x)—x,贝i]g(2020)=g(2021)=g(2022)=0,所以g(x)=2(x-2020)(x-2021)(x—2022),所以g(2023)=2x3x2xl=12,所以“2023)=12+2023=2035.故选：D.（2021•湖南宁乡•高三月考）经研究发现：任意一个三次多项式函数/。）=以3+法2+©*+4（040）的图象都只有一个对称中心点（/J（毛）），其中“是/"（x）=0的根，f'（x）是的导数，尸（X）是/'（X）的导数.若函数/（xXd+a^+x+b图象的对称点为（-1,2）,且不等式，-皿，（1g+1）2[/（幻―/一3/+6卜对任意x«l,+oo）恒成立，则（ ）A.a=3 B.b=2C.加的值不可能是一e D.m的值可能是e【答案】A【分析】先根据对称中心求解出“的值，再根据/(-1)=2求解出人的值，由此可求/(“的解析式；根据不等式恒成e 1 〃立，通过分离参数得到，借助不等式e*>x+l得到J-x-e-12-elnx+x+l,由此求解出Hl0 t-lnx+1机的范围并判断.【详解】因为/'(x)=3f+2or+l,所以/"(x)=6x+2a,又因为(T,2)是的对称中心，所以/(-1)=2。-6=0,所以“=3,故A正确；所以f(x)='+3x2+x+"所以/(T)=—l+3+(—l)+b=2,所以8=1,故B错误；所以/(刈=/+3/+*+1,因为e"-znx"(Inx+1)2[/(x)-x3-3/+e]X，对任意xe(1,e)恒成立，_ 1所以布4£1二二对任意x«1，K0)恒成立，lnx+1令g(x)=e'-x-l(x>0),g'(x)=e'-l>0,所以g(x)在(。，的)上单调递增，所以g(x)>g(O)=O,所以e、>x+l,所以4=r2=0叩‘卜'=0-""，+，2-0|门+工+1,取等号时》=0,TOC\o"1-5"\h\zC* 1Xlnx+l>0,所以U .-e\nx+x+\-x-\-e_-e\nx-e,取等号时x=e,lnx+l lnx+l lnx+l(e，八所以『inr+l— =一%所以“4一6,故CD均错误；I )min故选：A.(2021•江苏金湖•高二期中)为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处)，要求该道路与两条直线道路平滑连接(注：两直线道路：y=-2x,必=3x-6分别与该曲线相切于(0,0),(2,0),已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为( )A.f(x)=—x3—x?-2x B.f(x)=—x'4—x2—2,xTOC\o"1-5"\h\z9 3 4 21,1, 1,1,C.f(x)：=—x3+—x2—2x D./(x)=—x3+—x2—lx9 3 4 2【答案】B【分析】设/(x)=ox3+bx2+cx(aHO),由题知，f(x)在点(0,0),(2,0)处的切线方程分别为必=~2x,%=3x-6,可得f(0)=-2J⑵=3J(2)=0,可列出关于ab,c的方程组，解之即可【详解】由于弯曲路段过点(0,0),所以设/(xXa^+bV+cxgwO),贝！1f(x)=30r2+2bx+c(a*0),因为f(x)在点(0,0),(2,0)处的切线方程分别为必=-2x,y2=3x-6,所以/(0)=-2J⑵=3,/(2)=0,所以c=-2,12a+40+c=3,8a+48+2c=0,解得a=；/=g,c=—2,所以f(x)=$3+gx2-2x,故选：B（2021•安徽•东至县第二中学高二期中（理））如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为（ ）

0-2:A地面跑道A,产券J125C 2 30-2:A地面跑道A,产券J125C 2 3 4B.y=——x——x“125 5331D.y= XH—X125 5【答案】C【分析】由题目图像可知，该三次函数过原点,故可设该三次函数为y=f(x)=a^+bjc+cx,根据题意列出三个方程，f(—5)=2,/(5)=-2,/(5)=0,即可求解.【详解】因为三次函数过原点，故可设该三次函数为y=/(x)=o?+hr2+cx,»ly'=f'(x)=3ax2+2bx+c,由题得：/(-5)=2,/(5)=-2,/'(5)=0一125a+25b-5c=2125a+25b+5c=—2,解得<75a+10b+c=01a= 12513b=°,所以丫=指"”故选：C.(2021•全国•高二课时练习)已知三次函数4a=§父一(4小-1)4+(15/-2m—7)x+2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是( )A.m<2或m>4C.24m44D.C.24m44【答案】C【分析】求导函数，由题意得其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得功的取值范围.【详解】f(x)=x2—2(4/n-l)x+15/n2-1m—l,由题意得导函数f(x)=V-2(4机-l)x+15加一2m-7无变号零点，所以％2—2（4m-1）工+15帆2—2帆-720恒成立，A—4（4"[-1）~—4（15〃z--2m—7j=64>—32m+4—60m2+所+28=4（*-6〃7+8）<0,解得2WmW4,故选：C.（2021•安徽•东至县第二中学高二月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数/“）都有对称中心,其对称中心为（%，/（%））（其中/”（砧=0）.已知函数〃%）=9一3/+4x+5.若TOC\o"1-5"\h\zf（m）=4,f（n）=10,则6+〃=（ ）3 一A.1 B.- C.2 D.32【答案】C【分析】先根据题意，求出对称中心，再根据函数的对称性，即可求解.【详解】由题意得，f\x）=3x2-6x+4,f\x）=6x-6,^f\x）=0,解得：x=l,所以函数f（x）的对称中心为：（L7）,又/（⑼+/（〃）=14,所以m+〃=2.故选：C（2021•江苏无锡•高三期中）某数学兴趣小组对形如/（x）=V+or2+bx+c的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是（）A.函数〃x）的图象过点（2,1）B.函数f（x）在x=0处有极值C.函数f（x）的单调递减区间为[0,2]D.函数/（幻的图象关于点（1,0）对称【答案】D【分析】首先假设4个选项都正确，依题意只有一个错误选项，判断即可得解.【详解】解：对于A选项，/（2）=8+4«+2Z?+c=l；对于B选项，f'（x）=3x2+2ax+b,f'（0）=b=0；对于c选项，由递减区间可得/'（O）=b=O,r（2）=12+4a+b=0；对于D选项，函数f（x）的图象关于点（1,0）对称，则有〃2-x）+“x）=0,代入化简得。=-3力=3,c=-l；当c=5时，所以/。）=丁-3*2+5,所以〃2）=1,f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）,所以函数在「？，0）和（2,+?）上单调递增，在（0,2）上单调递减，在x=0处取得极大值，此时ABC均正确，D错误.故选：D【点睛】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值，函数的对称性的应用，若/（a+x）+/（b-x）=2c,则f（x）关于（巴言，成中心对称；（2021•陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知三次函数/1（x）=gx3-（4加-l）x2+（15/-2m-7）x+2在R上是增函数，则m的取值范围是（）A.m<2或m>4B.-4<m<—2C.2<m<4 D.2<m<4【答案】D【解析】/'（x）=x2-2（4/n-l）x+15/n2-2/n-7,由题意得d-2（46-1）1+15，〃2一2/〃-720恒成立，.,.△=4（4加一1『一405〉一26-7）=64*-32m+4-60“+8m+28=4（m2-6m+8）<0,/.2<m<4,故选D.（2021•全国•高三月考（文））已知用，"，peR,若三次函数/（“=/+加^+心+口有三个零点3 1 1 1a,b,c,且满足=/⑴<5,/（0）=/（2）>2,则%+]+]的取值范围是（）【答案】D【分析】根据条件建立方程求出机，〃的值，然后回代，求出。的范围，结合零点式求出。，b,c的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可.【详解】・••"Th"%，/(。)=〃2)>2(-1+6—〃+p=1+加+〃+p [n+1=01〃=8+4/%+2〃+〃 '[2m+〃+4=0'f3m= q得 2,代入得/。)=/一]/一"+〃，0/(0)>2’ 3 3—1 i~l+p<—・・•< 2 〃2,解得2Vp<3,p>2设三次函数的零点式为fM=(x-a)(x-b)(x-c),比较系数得"+收'+ca=-l,abc=-p,111ab+be+ca1(11、故”十二「^-=片13引故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数〃J〃，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键.12.(2021-山西•大同一中高三月考(理))已知三次函数/(x)=a?+加2+cx+d(a<6)在R上单调递增，则“："c最小值为( )b-aA2#+5 nx/6+5 八7+逐 n2s'+5A・ d・ C・ L)・ 2 3 2 3【答案】D【分析】由函数单调性可知/(“2。恒成立，结合二次函数图象与性质可确定。2勺>0,由此化简所求式子为3ab“J3；利用，=一>1,配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.b a—1a【详解】•••/(x)在R上单调递增，，r(x)=丸小+次+。20恒成立,3。〉0△=3。〉0△=4从-12acV0/./?>a>0,b?W3ac,/.cN——>0

3a及»a-\-b-\ a+b+c3ab-ab-a1 2 11 2 1一厂+f+lg")=^——C.(口3收］D-T,T,7+3f+3J("l)2+5(…l)+7J(TOC\o"1-5"\h\zt-1~-3 ―31*y __ 7Qf>l,—1>0,/./—Ih >2>/7(当且仅当f—1=--,即，=1+ 时取等号),t—1 t—1/、、25/7+5nna+b+ca1 d2\/7+5g(/)2 ,即- 的最小值为 -'' 3 b-a 3故选：D.【点睛】本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定〃，仇，的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.(2021•山西临汾•高三月考(理))已知三次函数=1+ 仅a>0)有两个零点，若方程("。)]=。有四个实数根，则实数a的范围为()【答案】c【分析】f'(x)=X2+2奴-3“2(a>0)一定有两零点。与-3a,所以只需f(x)=a或/(x)=-3。共有四个根即可.结合"X)有两个零点，所以必有/(。)=0或f(-3a)=0.然后分两种情况结合函数图象讨论即可.【详解】由f'M=x2+2ax-3a2(a>0),则f'M=0得x=a或一3a三次函数/(x)=y+ar2-3/x+b(a>0)有两个零点，且程AfWi=0有四个实数根，所以只需f(x)=a或/(x)=-3a共有四个根即可,

所以j/(-3a)>0叫〃-3a)=(T又方程/'"*)]=0有四个实数根，则,f(x)=。或f(x)=-3a共有四个根.“X)在(-co,-3a),(4+oo)上单调递增，在(-3a,a)单调递减.当〃a)=0时，b=-a\要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)贝l]0<a<f(-3a),Bp-9a,+9a,+9a,+-a3>67,解得〃>逅.3 8当/(-34)=0,得/,=_9/,要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)贝3a<0,gp-a3+a3-3a3-9a3<-3a,解得°>辿.3 8综上所述，当a>当时，方程/'"*)]=。有四个实数根.8故选：c【点睛】本题考查了利用图象研究函数的零点问题，关键是对函数的单调性、极值情况等研究到位.本题还考查了学生应用函数与方程、数形结合及分类讨论思想解题的能力.(2021•山西临汾•高三月考(文))已知三次函数_/•*)=：+ar2-3/x(a>0)的导函数为f(x),若方程/有四个实数根，则实数a的范围为()【答案】A【分析】令/'(x)=0得工=-为或工=。，可得”力在(yo,-3a)上单调递增，在(-3a,a)单调递减，在(a,e)上单调递增，算出/(x)的极值，又方程/'"(x)]=0有四个实数根可转化为方程/(x)=-3a,或方程f(x)=a共有四个实数根，结合函数图象列出。满足的条件即可.【详解】f(x)=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a),.•.由/'(x)=0得x=_3a或x=a,又a>0,所以f(x)在(7,-34)上单调递增，在(-%,〃)单调递减，在(a,y)上单调递增，・•・/(X)的极大值为f(-3a)=9a\f(x)的极小值为/(a)=-|a3;又"/(动=。有四个实数根，故方程〃x)=-3a,或方程〃x)=a共有四个实数根,解得:竽.故选：A【点睛】本题主要考查了导数的应用，考查了函数与方程的思想，数形结合，转化与化归的思想.(2021•云南红河•高三月考(理))下列关于三次函数/(x)=a?+bx2+cx+d(aH0)(xeR)叙述正确的是()①函数/")的图象一定是中心对称图形;②函数"X)可能只有一个极值点；③当天*-，时，f（x）在X=X0处的切线与函数y=/（x）的图象有且仅有两个交点；3a④当士尸一4时，则过点（天,/（%））的切线可能有一条或者三条.A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】A【分析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断.【详解】. b ①/'（X）=3or+2bx+c的对称轴为X=--的轴对称图形，所以f（x）=ax+hx-+cx+d必定是中心对称图3a形，且对称中心为（-卷，/（-4）］,所以①正确：（或者可用++ = 证明）②由于函数f（x）的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；③设切点为■，/5））,/（%）=宙+礴+/+4,斜率％=/'优）=30片+2Z5+c,切线为y_/⑷=MX_/）,所以（ar3+辰2+ex+d）_（端+如:+ex。+d）n .I=（x-x0）（3ar^+2fex（1+c）,化简得：（x-M）2（ar+2g,+3=0,「.x=x0或者x= —,所以当%=-组此时，即％=-4•时，切线与f（x）有唯一的交点，当与/-7时，切线与f（x）有两个不同的交a 3a 5a点，所以③正确；④过点&,4不））的切线的切点不一定是优，，■））,设切点为（小〃为）），则切线方程为y-/a）=/'a）（x-±）,因为&,/1））在切线上，所以〃不）一/（为）=/（%）（/一西）,将/（%）=海+犍+5+d,/（X1）=ar：+如2+K+d,f（X1）=3axf+2如+c代入= 化简可得：&-%）2（叫+2"+b）=0, 或者X产-细产，所以当％=一细虫也时，即吃= 时，切线只有一条，当与工-2时，切线有两条，所以④错误；a 3a 3a故选：A【点睛】本题考查导数与函数的对称性的关系，考查导数与极值，考查导数的几何意义，解题中难度较大.特别是求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于困难题.3(2021•湖南•高三开学考试(理))三次函数/(x)=arJ5x2+2x+l的图象在点(1J⑴)处的切线TOC\o"1-5"\h\z与x轴平行，则f(x)在区间(1,3)上的最小值是( )A8 C11 -11 -5A•二 B.— C.- D.3 6 3 3【答案】D【分析】由r(i)=o求出实数〃的值，然后利用导数能求出函数y=/(x)在区间(1,3)上的最小值.【详解】v/(x)=ar3--x2+2x+1, /r(x)=3ar—3x+2,i ।q由题意得了'(1)=3。-1=0,解得〃= .../(力=§/一］/+2%+1,/(力=£-3工+2,令/，(x)=o,得冗=1或x=2・当lvxv2时，/'(x)vO;当2vxv3时，f\x)>0.Qa 5所以，函数.v=/(x)在区间(L3)上的最小值为/(2)=3-钎22+2、2+1=§.故选：D.【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.(2021•上海交大附中高一期末)如果一个函数y=/(x)的图象是一个中心对称图形，关于点尸(内〃)对称,那么将y=/(x)的图象向左平移m个单位再向下平移〃的单位后得到一个关于原点对称的函数图象.即函数y=/(x+m)-〃为奇函数.那么下列命题中真命题的个数是()①二次函数尸渡+区+c(awO)的图象肯定不是一个中心对称图形；②三次函数)=/+瓜2+cx+d(axO)的图象肯定是一个中心对称图形；③函数y=T。v+c(a>0且4H1)的图象肯定是一个中心对称图形.A.0个 B,1个 C.2个 D.3个【答案】D【分析】

X,①根据二次函数的图象特征直接判断结果;X,②三次函数V=O?+云2+CX+d(a#0)向左平移in个单位，再向下平移n个单位后得到y=ar'+是奇函数，所以根据定义也可判断三次函数是中心对称；③/(-x)+/(x)=8+2c,根据对称公式直接判断对称中心.【详解】①二次函数y=ar2+6x+c(awO)一定是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故正确;②三次函数y=ar'+加+3+4(。/0)向左平移，”个单位，再向下平移〃个单位后得到y=a(x+/n)3+/>(x+zn)-+c^x-\-rn)+d—n=加+(3am+b)x2+^3anr+2mh+c)x+a/n3+hm'+cm+d—n[3atn+b=O当r， “八时，[am+bm+cm4-tz—n=0b 3 zfn=--,n=am+bm+cm+d3a此时函数y=ar'+，-(卜，平移后的函数是奇函数，关于原点对称,则函数y=a/+bx2+cx^d(。/0)也一定是中心对称图形，故正确;b③ =1~r+c(4>0且"1),14-a/(-x)+/(x)=Z?+2c,•・J(x)关于点(o[+c)对称，故正确.故选：D【点睛】本题考查不同类型函数的对称问题，意在考查理解题意，转化与化归的思想，本题的难点是②的判断，需理解题意，根据平移后的函数是奇函数判断.(2021•安徽安庆•高二期中(文))设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+l的导函数为f(x)=3ax(x-2),若函数y=f(x)共有三个不同的零点，则a的取值范围是( )A.(f£](Dc-(1,+o0)D.(0,2)【答案】C【解析】【分析】根据导数的公式求出a,b,c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可.【详解】f(x)=ax3+bx2+cx+1的导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax(x-2)=3ax2-6ax,「・2b=-6a,c=0,即b=-3a,c=0,贝ijf(x)=ax3-3ax2+],①若a>0,则由t'(x)=3ax(x-2)>0得x>2或xvO,由V(x)<0得0vxv2,则函数在x=0时取得极大值f(O)=l,在x=2时，函数取得极小值f(2)=8a-12a+l=l-4a,若函数y=f(x)共有三个不同的零点，则f(2)=l-4a<0,解得a>1.②若a<0,则由f(x)=3ax(x-2)<0得x>2或x<0,由V(x)>0得0<x<2,则函数在x=0时取得极小值f(O)=l,在x=2时，函数取得极大值f(2)=8a-12a+l=l-4a,则此时函数y=f(x)只有1个零点，不满足条件.综上a>g.故选:C.【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，求函数的导数，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键.(2021•重庆一中高三月考(理))若三次函数/(xMor-+bW+cx+d(a^0)的图象上存在相互平行且距离为d的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为”的友好切线组”.已知/(外=丁-3犬+1,则函数f(x)的图象上“距离为4的友好切线组”有组？A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】

设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于占的方程，解得共有3解，即可得到结论.【详解】•.•/(力=丁一3炉+1,则/(x)=3/_6x,设两切点分别为A(々,x「-3x；+l),B(x2,x23-3x22+1),若两切线平行，则3炉一6x=f的两根为X|, 且占+通=2,不妨设士>》2,过A的切线方程为y=（3x：-6xjx-3%/-ix:+,过B的切线方程为丫=（3*2?-6%）x-・,.两条切线距离为d=|x2-xj・,.两条切线距离为d=|x2-xj+儿22x(x2-3Jl+9(x：-2%)2(X|+X2)L化简得（&-1）6=1+9［（菁-1）2-1『，令（占-1）2=〃,（〃20）,显然U=1为一解,又“2-8u+10=0有两个异于1的正根,,这样的u有3解，而（苦-1）2=",（“NO）,xt>x2,且为+*2=2,即七与x?是一一对应的,这样的士,■有3组,故选D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.（2021•河南信阳•高二期末（文））设JU）为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述：/(x)-2=01/(x)+l=01/W-i=o3/(x)+2=01f(x)=O3关于/（X）的极小值〃，下列选项中正确的是A.•—A.•—2<av—1 B.\<a<2D.0<d<l【答案】C【分析】方程/5)-«=()的相异实根数可化为方程/*)=左的相异实根数，方程/(x)=K的相异实根数可化为函数y=/(x)与水平线y=Z两图形的交点数，则依据表格可画出其图象的大致形状，从而判断极小值的取值范围.【详解】方程f(x)-k=0的相异实根数可化为方程“X)=k的相异实根数，方程/(%)=k的相异实根数可化为函数y=/(%)与水平线y=k两图形的交点数，依题意可得量图形的简图可以有以下两种情况：(1)当"X)的最高次项系数为正数时，(2)当/(X)的最高次项系数为负数时，因为函数取极小值时对应图象上的点位于水平线y=。与y=-i之间，所以其纵坐标。(即极小值)的范围是故选C.【点睛】该题考查了方程的根与函数的图象的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题目.(2021.内蒙古鄂尔多斯•高三期中(理))对于三次函数/(同=加+加+5+4(“/0),定义/”(X)是y=/(x)的导函数y=/'(x)的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数p，q，r,使得/(x)=a(x+#'+4(x+p)+r成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：①一定存在实数占，使得r(x)=0成立;②一定存在实数%=一五，使得/(々)=0成立;③若%=-2。，则/(X1)+/(毛)=-2r；④若存在实数如七，且£＜七满足：/'(力=0,则函数/(x)在上一定单调递增，所有正确的序号是A.①② B.①③ C.②③ D.(2X3)【答案】C【分析】根据函数f(x)的解析式求出f'(x)和f"(x),令f"(x)=0,可判断①，②，由三次函数/(x)=a(x+p)3+q(x+p)+r的对称中心判断③；利用导数判断函数单调性判断④；【详解】/'(6=3加+次+。"'(》)=6^+»,因为"0,所以②正确，但①不一定正确.由已知命题得，函数f(x)关于点(-P/)中心对称，所以③正确.若存在实数0匕，且满足：/'(x)=0,则函数/(x)在上,七］上可以单调递增，也可以单调递减，所以④不正确.故选C.【点睛】本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题.22.(2021•全国•一模(理))已知三次函数+〃，5(x)=a2x3+b^2+c2x+d(ata2*0),且〃x)有三个零点.若三次函数p(x)=3/(x)+g(x)和式x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则g(x)零点的个数为A.1个 B.2个 C.3个 D.2个或3个【答案】A【详解】函数p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均为R上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点,这两个函数的导函数必为完全平方式设「'(、””他-峭-,q'(x)=m2(x-n2)'.•.〃力不单调，即/'(X)必有两个不等零点叫也＜0g'(x)=；［p'(x)-%'(x)］=；［叫-3色(x-%)［犯与-3吗同号，.iglx)不可能有两个相异零点，g(x)单调,•••g(x)是三次函数必有零点,故g(x)有唯一零点故选A点睛：本题主要考查的知识点是函数的零点问题，首先审清题目的意思是本题关键，理解“为R上的单调数，且这两个函数的导函数均有零点”，继而给出了(X)有三个零点的情况，结合题目求出结果，本题有一定难度.(2021•全国温州•高二期末)若三次函数/(x)=x3+fer2+cx+d有极值点小弓且/(演)=&，设g(x)是/*)的导函数，那么关于x的方程g(7(x))=0的不同实数根的个数为A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【详解】由题意可得函数g(x)=3W+»x+c有两个不同的实数根不超，其中M+人工：+CX[+d=x,,g(7(x))=。则：/(》)=内或/")=七，据此分类讨论：①若占<当，当/(x)=X|时，X=X|或X=X3,当/(x)=&时，X=X4,此时共有三个不同的实数根为.②若为>&,当/(司=为时，X=X|或X=X3,当/(1)=超时，X=X4,此时共有三个不同的实数根占，%，七.②若为=工2,“X)没有极值点，不合题意.综上可得，方程g(/(x))=。的不同实数根的个数为3.本题选择。选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令4*=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,加上是连续不断的曲线，且da)・<b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.二、多选题(2021•江苏省前黄高级中学高三月考)经研究发现：任意一个三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)的图象都只有一个对称中心点(%,/(%)),其中是/"(x)=0的根，f\x)是〃x)的导数，/"(x)是/'(x)的导数.若函数/。)=/+加+》+方图象的对称点为(T2),且不等式e*-/nf(lnx+l)N[.f(x)-x3-3x2+e]x'对任意xw(l,+oo)恒成立，贝|J( )A.a=3 B.b=l C.用的值可能是一eD."?的值可能是-1e【答案】ABC【分析】求导得/〃(x)=6x+2a,故由题意得/"(T)=-6+2fi=0, —1)=一l+a-l+b=2,即a=3力=1,故〃》)=\+3小+*+1.进而将问题转化为“<",一("1?),由于e，>x+l,故xZ、=eM『+、2x-elnx+l,lnx+1进而得""一(""外'……,即机《一进而得ABC满足条件.lnx+1 lnx+1【详解】由题意可得了(-1)=-1+。-1+6=2,因为/'(x)=3f+2ox+l,所以f"(x)=6x+2a,所以/"(T)=-6+为=0,解得。=3/=1,^/(x)=x,+3x2+x+1.因为x>l,所以，一小'(11+1)2"(》)一/一3/+6]£等价于m4立二€*2.lnx+1设g(x)=e*-x-l(x>0),则g[x)=e*-1>0,从而g(x)在(0,田)上单调递增.因为g(0)=0,所以g(x)>。，即e、>x+l,则》%*=6瓜**+*。-611+1(当且仅当x=e时，等号成立)，.._^x~eex-(x+l+e)-elnx-e.. /从而 -> =-e,故m4-e.lnx+1lnx+1故选：ABC.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得/(月=尸+3/+》+1,进而将不等式恒成立问题转化为X-ePX—fr4-14-0\' "恒成立问题,再结合炉>x+l得.「e、=*厂、2x-elnx+l,进而得，〃4—e.考查运算求lnx+1解能力与化归转化思想，是难题.（2021•全国•高二课时练习）在直角坐标系内，由A,B,C,O四点所确定的“N型函数”指的是三次函数/（同=加+云2+5+4。#0）,其图象过A,。两点，且f（x）的图像在点A处的切线经过点8,在点。处的切线经过点C.若将由A（0,0）,8（1,4）,C（3,2）,。（4,0）四点所确定的“N型函数”记为y=/（x）,则下列选项正确的是（）A.曲线y=/（x）在点。处的切线方程为y=-2x+8/（x）=1x（x-4）（x-8）C.曲线y=/（x）关于点（4,。）对称D.当44x46时，/（x）＞0【答案】ABC【分析】A.根据函数在点。处的切线经过点C,利用点斜式求解判断；B.根据/（x）的图象过点A（0,0）及£＞（4,0）,设/（x）=x（x-4）（H+m）（其中左片0）,然后再利用了'（0）=4,r（4）=2求解判断；C.由B得到f（x）+/（8—x）=0判断；D.由B结合44x46,有x-420,x—8＜0判断.【详解】0—2因为直线C。的斜率为沁=-2,所以以＞的方程为y-0=-2（x-4）,即y=-2x+8,所以A正确.因为“X）的图象过点4（0,0）及。（4,0）,所以“X）有两个零点0,4,故可设〃力=》（》-4）3+,〃）（其中&H。），则/'（x）=H（x-4）+（Ax+/n）（2x-4）,由尸（0）=4,6（4）=2,得机=-i,k=J,所以O/（x）=：x（x-4）（x-8）,故B正确.O由选项B可知，/（x）+〃8t）=0,所以曲线y=/（x）关于点（4,0）对称，故C正确.当44x46时，有x—420,x-8＜0,所以/（x）40,故D不正确.故答案为：ABC.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.

三、双空题(2021•重庆•高二期末)设y=/(x)是y=/'(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数/(6=加+加+6+d(ax0)的图象都有对称中心(%,/5)),其中/满足/"&)=0.(1)函数g(x)=；x3-/+3x+l的对称中心为；S(2)现已知当直线丘-y-k+l=0(ZwR)和/z(x)=a?+加+§的图象交于A(5，x)、8(七,％)、C(x,,y3)(%,＜七＜七)三点时，〃(力的图象在点A、点C处的切线总平行，则过点(6,4)可作〃(x)的 条切线.【答案】(1，5)2【分析】(1)解方程g'(x)=0求得x=I,求出g⑴的值，即可得出函数g(x)的对称中心坐标；(2)分析出函数〃(x)的对称中心为(1,1),可得出关于实数〃、。的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数〃(x)的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于X。的方程，解方程即可得出结论.【详解】(1),.,g(x)=-x3-x2+3jc+l,贝叱(丫)=/_2丫+3,g"(x)=2x-2,由g"(x)=2x-2=0,可得x=l,且g⑴*,(2)人(6的图象在点A、点C处的切线总平行,故函数g(x)故函数g(x)=gx3-V+3x+l的对称中心为11,与所以，点A、C关于〃(力的对称中心对称，故点B为函数Mx)的对称中心,又因为直线履-y-z+i=o(AeR)恒过定点(1,1),所以，函数6(x)的对称中心为(1,1),即点8(1,1),5因为h{<x)=ax,+瓜2+—,贝ijh!^x)=3ax~+2bx, =6以+»,=a+i+—=1 a=— /、1&,5 ，.、 、所以，3 ,解得｛ 3,Bp/l(x)=-x5-x2+-,贝lj〃'(x)=d-2x.〃"⑴=6a+2h=0 b=—\所以，函数〃(x)在x=x(，处的切线方程为片+g)=(x：-2xO)(x-Xo),即y=(4一2工0)(尢一/)+§片一X；+-|,将点卜，；)代入切线方程得(4-2%)(-1-%)+累T+冷，整理得xj—m,即(x0+l)2&-2)=0,解得x°=-l或%=2.故过点(。，〃)的函数〃(x)的图象的切线有2条.故答案为：(D[ly]；(2)2.四、填空题(2021•河南信阳•高二期末(理))经研究发现：任意一个三次多项式函数/(》)=加+加+6+d("0)的图象都只有一个对称中心点(玉J(不))，其中.%是/"(x)=o的根，/'(x)是/(X)的导数,f"(x)是f'(x)的导数.若函数/(xbV+d+x+b图象的对称中心点为(-1,2),则。，b的值依次为.【答案】3,1【分析】求出了"(x)=6x+2a,根据题意可得广(-1)=-6+为=。，求出《=3,再由/(-1)=2即可求解.【详解】因为/(工)=丁+口2+x+0,所以r(x)=3f+2oi+l,所以/"(x)=6x+2a,又“X)的对称中心为(T，2),所以尸(T)=-6+2a=。，解得〃=3,由f（T）=T+3-1+6=2,解得5=1.故答案为：3,1(2021•湖北十堰•高二期末)已知三次函数/(x)=#+#+5+d("好在R上单调递增，则。+6+4c,.- 的最小值为 .b-a【答案】3+26

【分析】函数在在R上单调递增，则导函数在在R上大于等于。恒成立，从而。>0,A=/?2-4ac<0,通过统一变量和换元即可构造出所求函数，求导即可得到其最值.【详解】ha由题意得/'(x)=ax2+fox+c20在R上恒成立，则a>0,A=62-4ac<0,ha所以"生竺

h-aa2+"+4ac>a2+ab所以"生竺

h-a i 2 夕 i 2

ah-a" ah—a设，=2>i,则a+'+4c》l+'+「ci h-at-\设g(x)=W^F(x>l),g[(X)=；；；)；2(X>]).由g'(x)=L 解得X=1+75(X>1),易得当x=l+6(x>l)时，g(x)而n=3+2月.(XT)故*+4<：的最小值为3+2石.b-a故答案为：3+2力.(2021•江西•模拟预测(理))设三次函数/")=金+取2+5/，c为实数)的导数为尸(x),设g(x)=/(x)-r(x),若y=g(x)在&上是增函数，则，—的最大值为.c+9【答案】罕2【分析】根据y=g(x)在火上是增函数转化为g'SRO恒成立，根据二次不等式恒成立转化为判别式awo,得到h2 3c-9 人\Vh-3换元后利用均值不等式求