不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 练习题（解析版）

专题20不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法一、单选题(2021•浙江•高三月考)已知函数/*)=此2、-1,不等式对任意xe(0,+oo)恒成立，则实数m的取值范围是( )A.y⑵ B.10,2] C.(^»,ec,Xx c,Xx F2/-1贝Ug(r)= '() 2/_2>/n<2.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解【答案】A【分析】问题等价于山4以巫二对任意xw(0,e)恒成立，构造函数于力=.匕二Mx-1,利用导数求出函数的X X单调性，根据单调性求出g(x)的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题可得/(X)2m+Inx对任意xw(0,”)恒成立，等价于m<比,一二-1对任意xe(0,”)恒成立,X人/、X€~x-Inx—1 ..、2厂0,+Inx令g(x)= ，贝Ug(x)= 2 ，X X令〃(x)=2x2e2A+lnx,贝I]h\x)=4(x2+x)e2r+—>0,・•/(x)在(0,+8)单调递增，.../I^=^-21n2<0,A^=|-ln2>0,存在唯—•零点x°,且Xoe(nj,使得2.t(；e"+Inx()=0,・•.g(x)在(0,%)单调递减，在(七,y)单调递增，•••g(X)lrtn=g(A0)=£2x；/"+lnx„=0,即2%/"=-3=—In—=ln—,令0(x)=xe\显然S(x)在(0,田)单调递增，则2x°=lnL,即'=X。Xqg(x)=w二二竽1的最小值TOC\o"1-5"\h\z(2021•浙江•绍兴市教育教学研究院高二期末)对任意的〃eN*,不等式(1+工)"We(一、)"(其中e是自然对数的底)恒成立，则。的最大值为( )A.In2—1 B. 1 C.In3—1 D. 1In2 In3【答案】B【分析】问题首先转化为+ 恒成立，取自然对数只需(〃+a)ln(l+[)41恒成立，分离参数只需"47771；一〃恒成立，构造皿X)= W，xe(0,1],只要求得m(x)的最小值即可。这可利用导数求得，I) 11111In当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导(对函数式中不易确定正负的部分设为新函数)来研究函数(导函数)的单调性。【详解】对任意的不等式<e(—)fl(其中e是自然对数的底)恒成立，只需八+工14e恒成立,[n)n+l InJ只需(〃+廊1+#1恒成立，只需心嬴彳〃恒成立，构造皿幻=晟-%武。」],m\x)=,xg(0,1].(1+』)11?(1+工)一产

x2(l+x)ln2m\x)=,xg(0,1].下证Inp+x)WW，xe(O,l],再构造函数力(穴)=1。2(1+式)一〃(x)=20+""n"+'?%—,xe(0,l],设尸(力=2(1+工)111(1+工)一f-2xF*(x)=21n(14-x)-2x,xG(0,l],令G(x)=21n(l+x)—2x,xe(0,l],G*(x)=--^,xe(0,l],在时，G'(x)<0,G@)单调递减,G(x)<0BPF(x)<0,所以尸(力递减,F(x)<0,即力'(x)v0,所以人(x)递减，并且力(0)=0,所以有2 1ln2(l+x)<^,XG(0,l],所以W(x)<0,所以m(x)在xe(O,l]上递减，所以最小值为皿I)=记/-I.，丁二■-1，即。的最大值为二!一1。故选：B。【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化为研究函数的最值。本题中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。(2021•全国•高三专题练习)不等式x-3e，_ainx2x+l对任意xe(l,+oo)恒成立，则实数"的取值范围A.(—00,1—e] B.(-00,2—/]C.(~°°»—2] D.(~°°(-3]【答案】D【分析】本题首先可以将“不等式xT'-ahuNx+l对任意x«l,w)恒成立”转化为对\nx/ 、 丫-3。*一y-1 / 、Vxe(l,”o)恒成立”，然后求出方程y=xexi, 的最小值即可得出结果.Inx【详解】题意即为alnx4—e*-x-l对Vxe(l,+x)恒成立，即。4立士1对Vx«l,yo)恒成立，从而求yjM-x-l, 的最小值，而TOC\o"1-5"\h\zInx \nx=e,,w"er=er-3,nx>x-31nr+ltSLx~3ex-x-1>x-31nx4-1-x-l=-31nxanx~3ex-x-\-31nx .即 > =-3Inxlor当x-3hu=0时，等号成立，方程x-31ar=0在(L+oo)内有根，=-3,所以。=-3,所以。4一3,故选D.【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，在利用不等式求参数的取值范围时，可以先将参数提取到单独的一侧，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围，考查函数方程思想，考查计算能力，是难题.(2021•江西•临川一中高三月考(理))不等式xYe*—alnxNx+l对任意x«l，内)恒成立，则实数〃的取值范围( )A.D.(f-3]D.(f-3]【答案】C【分析】利用参变分离法，然后求函数最值即可.【详解】由工，*一41nxNx+1得，41nxKx，*-工-1对 恒成立，即””eX।对Vx«l,+co)恒成立,从而求y=x'*।,xe(l,e)的最小值,Inx Inx设g(x)=et-x—l,贝ijg'(x)="-l,令g'(x)=O得，x=0.・.xg(-oo,0),g\x)<0,xg(0,+oo),g'(x)>0,・•・g(X)min=g(°)=°,即dNX+1恒成立所以x"= =c Nx-41nx+1>x-41nx+l-x-l=-41nx口u€x_x_1、~41nx .即 > =-4InxInx当x-41ar=0时，等号成立，方程x-4hir=0在。,+8)内有根,=-4,所以=-4,所以故选：C.对任意x>0（2021•四川省资中县第二中学高二月考（理））关于x的不等式xe*_3221nx+（"+1、+对任意x>0X恒成立，则。的取值范围是（ ）.A.（-00,-1] B.（5）3e}C.[-e,-l] D.~,0]【答案】A【分析】分离变量，转化为函数得最值问题，再利用e'2f+l即可求解.【详解】xe3*_3221nx+（a+l）x+lX即丁"-3>21nX+l+a+1,即a+44 上如「二1对任意》>0恒成立x x々TnX— •e3*-Inf g一口x?-]^3x+ln.r-+l-ln.r--l=3(根据/布+1,当且仅当r=0时等号成立)X即当3x+lnx2=0,取等号而函数f(x)=3x+lnx2在(0,词单调递增，/(1)=1-2<0,/(1)=3>0所以方程3x+Inf=o在(1,3)上有解，等号能够成立e故。+4K3,BP«<-1故选：A(2022•全国-高三专题练习)已知关于工的不等式，-〃氏-1。%-侬加+1)之0在(0,+<功恒成立，则机的取值范围是()A.(—1,1] B. C. D.(I，e]【答案】B【分析】将条件变形为炉+工之111[(加+1)=]+(加+1)》=6帅"""+ln[(w+l)x],然后由/(x)=e*+x的单调性可得x>ln[(W+l)x],然后可得m+iw《，然后利用导数求出〃(x)=交的最小值即可.X X【详解】由ex—/nr—Injr-ln(?n4-l)>0^ev-/nr>ln[(/??4-l)x]即/+xNIn[(/n+1)x]+(zn+1)x="向"]+|n[(〃?+1)x],构造f(x)=*+x,即f(x)N/(ln[(m+l)x])因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以工之'[(m+l)x],所以e'N(〃z+l)x所以m+iw令〃(力=巳，则/(x)=n(：1)X X X所以M6在(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增所以"(x)min=〃(l)=e,所以故+l"e,即mWe-l又机+1>0,即〃7>—1所以加的取值范围是(T，e-1](2021•山东泰安•模拟预测)若Vx>0,xe、>lnx+x+a,则实数“的取值范围是( )A.In2)B. C.(In2,-h»)D.(1,+℃)【答案】B【分析】由xe，=e'w,设lnx+x=r,则feR,原不等式可化为a<e'-f,转化成求g«)=e,T的最小值.【详解】因为In(疣，)=lnx+x,所以xe*=es，+*,设lnx+x=f,贝ljreR且原不等式可化为a<e'-r,只需a<(e'-r)mM.设g«)=e'-r,则g'Q)=e'-l,所以当r<0时，g⑴<0,g⑴单调递减;当r>0时,g(r)>。，g⑺单调递增.所以g(r)而n=g(0)=l,所以"1.故选：B.【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题.解题方法是用分离参数法把不等式进行变形转化为求函数的最值,解题关键是式子的变换，然后用换元法使得函数简单化.(2021•江西•模拟预测(理))已知关于x的不等式以-AlnxNx+l对任意的x«l,+oo)都成立，则实X数%的最大值为()A.1—€ B.—2 C.-e D.—3【答案】C【分析】将给定不等式等价转化，再利用导数中常用不等式结论"2»+1"€/?)即可作答.【详解】令/(x)=/-x-l,xeR,则/'(x)=e"-l,于是有x<0时/'(x)<0,x>0时/"(x)〉。，则f(x)在(y,0)上递减，在(0,+8)上递增，/Wn»n=/(0)=°,即力6凡/。)200"。+1(当且仅当罚0时取“=”)，因纪=e*-"2x-elnx+l,当且仅当x—elnx=0,即x=e时取“=”，xe/ \ex ex而Vxe(l,+oo),—-^lnx>x+l<=>—Nx+1+klnx,于是有x+l+AlnxKx—elnx+1,xe xe从而得ZlnxK-elnx,又x>l时，Inx>0,解得左所以实数%的最大值为-e.故选：C(2021•江苏•扬州市江都区大桥高级中学高二月考)已知函数/*)=仁+111乂-》(。€⑷，若工«1,e)X时，/(x)>-2,则实数〃的取值范围为()■2 「1) -「1、 -1)A.—,+00I B.7'+8j C.7'+8) D.-,+»I【答案】B【分析】采用参数分离法，若/(x)"2,则q2厂一2x：xlnx在iq0y)上恒成立,e然后令g(x)=L2Hnx,利用导数求解函数g(x)的最大值，只需使aNga(x)在xe[l,zo)上成立即e可.【详解】当xe[l,y),/(x)=—+lnx-x>-2W,有a2匚上皿在X«1收)上恒成立，x exa/、x2-2x-xlnx加令g(x)= ； ,贝U(2x-2-lnx-l)^v-(x2-2x-xlnx)er(x-l)(lnx-x+3)g(x)= 7? -=-—— e e令〃(x)=lnx-x+3,则/?'(x)=,-l='J~^40在xe[l,+<»)上恒成立，由〃(l)=lnl-l+3=2>0,所以/i(x)=0在xe[l,+a>)上有一根,设〃(不)=0,即lnx(,-Xo+3=O,贝Ug'(x)>0在x«L%)上成立，g'(x)<0在上成立，所以函数g(x)在上递增，在xe(与,+a>)上递减，故ga(X)=g(%)=$=兴,又由lnx<,-Xo+3=0可得卜/=%-3,即七二犬户，则=L=e",eG所以且3(同=8(/)=j，所以.e故选：B.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度较大，解答的一般方法如下:(1)直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，使最值符合相应的不等式，解得参数的取值范围；(2)利用参数分离法，将原式转化，若/(x)Na恒成立，只需使九。(“2”成立；若〃力4。恒成立，只需使第x(x)4。成立，然后利用导数分析函数的最值即可.(2021•全国全国•模拟预测(文))已知x(e2*-a)Nlnx+l对任意正数x恒成立，则实数”的最大值为()D.eA.g B.1 C.2D.e【答案】C【分析】分离参数后转化为求函数的最小值.【详解】由x(e"-«)>lnx+l对任意正数x恒成立,得百小等,令g(x)=e*-x-l,则g'(x)=e*-l,由1(x)=。得x=0,当xw(yo,O)时,g'(x)<0；当xw(0,+oo)时,g'(x)>0.所以g(x)mi„=g(0)=0,即，Nx+1(当且仅当x=0时，取等号.)”lnx+1e2x+,nx-lnx-l(2x+lnx+l)-lnx-l„所以e2* = > =2,X X X当2x+ln尤=0时等号成立，所以。42,所以。的最大值为2.故选：C.【点睛】Inv-_1_1关键点点睛：分离参数是解决含参不等式的常用方法，解决本题的关键是在分离参数后能对式子e”-巴土」X进行正确等价变换，然后利用不等式e、2x+l求解e2，-叱里的最小值.X(2021•安徽省蚌埠第三中学高二月考(理))已知不等式0^3，_21门-3乂.1对任意》＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A.[1,田)B.[e,+oo)C.(0,1]D.(0,e]【答案】A【分析】本题先参变分离得到aN 1再换元法得到。2号,令/(。=号，并求出/'。)=-5,利用导函数求出/⑺a=1,最后得到答案.【详解】解：由or—-21nx-3xN1得a22'；产+1=21：;£：+1,令.=21nx+3x,贝于是等价转化为“2?对于一切实数恒成立，设/。)=号，则/()=-；,所以当r<0时，/⑺单调递增，当『>0时，/'⑺<0,/⑺单调递减，所以〃，)皿=/(0)=1,所以故选：A.【点睛】本题考查利用导函数研究不等式的恒成立问题，利用导函数研究函数的最值，是偏难题.二、填空题(2021•河北冀州中学高三期中(理))已知函数/(x)=/-2ex2,g(x)=lnx-ar(aeR),若f(x)2g(x)对任意xe(。，”)恒成立，则实数〃的取值范围是.【答案】[/+L+8)e【分析】/(x)Wg(x)u>aN-x2+2ex+^4〃(x)=-x2+2ex+¥，利用导数求出人(力的最大值，从而可得结果.【详解】f(x)>g(x)oaN—x2+26*+见2令〃(工)=—x2+lex+ ,贝!]h'(x)=-2x+2e+--,当0<x<e时，/z'(x)>0；当x>e时，/i'(x)<0,•・・/7(x)在(0,e)上单调递增，在(e,“o)单调递减,，力(力的最大值为〃(6)=/+：,则aZe2+1,即实数。的取值范围是炉+[,+«>),e e故答案为[/+L+00),e【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数。2 恒成立(a2/⑴侬即可)或a4/(x)恒成立(a</(x)mjn即可)；②数形结合(y=/(%)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值/"皤20或/(x)a4。恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范.(2021•浙江•高二期中)已知不等式xe*-a(x+l)21nx对任意的x>0恒成立，则实数a的最大值为【答案】1【分析】将不等式变形为e-M，(x+lnx)-l+(l-a)(x+l)NO,再利用e*-x-120恒成立即可解出.【详解】原不等式变形为eTn*—(x+lnx)-l+(l-a)(x+l)NO,设g(x)=廿-x-1,/(x)=e'+lnx-(x+lnx)-l+(l-a)(x+l),由g'(x)=e-l可知，函数g(x)=e'-x—l在(f,0)上递减，在(0,一)上递埔所以g(x)N0恒成立，当且仅当x=0时取等号，所以g(x+lnx)N。，当且仅当x+lnx=0时取等号.设〃(x)=x+lnx,显然函数6(6为增函数，〃[:)= /z(1)=1>0>所以存在唯一的％eg，1),使得〃(不)=0.因为不等式xe「a(x+l)21nx对任意的x>0恒成立，所以〃毛)=(1一公(七+1)20,即a«l,当a41时，因为g(x+lnx)N0,(l-a)(x+l)>0,所以/(x"0.故〃的取值范围为(―』，即实数a的最大值为1.故答案为：L【点睛】对于不等式恒成立问题，常用解法是分离参数求最值，本题也可以这样考虑，但是求导判断单调性过程较繁，所以选择同构的基本思想，利用常见的切线不等式e'2x+l,将不等式变形为e"S，_(x+lnx)-l+(l-a)(x+l)NO,即可顺利求出.(2021•内蒙古•开鲁县第一中学高二期中(文))关于x的不等式Tnx-H+xZO恒成立，实数*的取值范围是.【答案】18,1-【分析】根据不等式恒成立，分离参数并构造函数g(x)=xlnx+l,求得导函数g'(x),结合导数性质可判断g(x)的单调区间与最小值，即可求得人的取值范围.【详解】Vinx-H+xWO在(。,+8)恒成立，即xlnx-Z+120恒成立，即24xlnx+l,令g(x)=xlnx+l,贝I]g'(x)=lnx+l,当g'(x)20,即lnx+120,解得e当g'(x)<0,即lnx+l<0,解得0<x<，e所以g(x)在(。3)上为减函数，在%+81上增函数，所以g(x*n=g(少4：+1=1一,所以故答案为【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.(2022•全国•高三专题练习)已知。力eR,若关于x的不等式2x-alnx+a-620恒成立，则时的最大值为.【答案】2?【分析】已知不等式等价转化为2xNalnx-a+b恒成立，在a=0时易得ad=O;当a^O时,设函数/(x)=alnx-a+b,函数/（X）图象在直线y=2x下方时，根据对数函数的性质，结合导数求得相切时a,b满足的条件，进而得到当函数f（x）图象在直线y=2x下方时，呜，得到融42aJ/呜，记g（a）=2a-2呜利用导数研究单调性求得最大值，即得所求.【详解】原不等式等价于：2xNalnx-a+6恒成立，由对数函数的图象和性质，易知a20,当。=0时不等式为2x2。对于x>0恒成立，需要640,此时必=0,当a>0时，设函数f（x）=alnx-a+b,/（力=且X'-2当直线y=2x与函数/（x）图象相切时，设切点坐标为（毛,2毛）,则J X。，2x0=a\nx0-a+b。=aIn—。+〃，即b=2a—aIn一所以当函数/（X）图象在直线y=2x下方时，b<2a-a\n^,ab<2a1-a1In—,2记8（“）=2/-421吗,则乳。）=3。-2”呜，令g®=0,解得“=2）当0<a<21时g'（a）>°，g（a）单调递增；当a>2e：时，/（。）<°，g（。）单调递减，综上，必的最大值为：2e},故答案为：2e3.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，求最值问题，关键是将已知不等式分离为两个易于处理的函数之间的不等关系，利用数形结合方法求得a,b满足的条件，得到"42a2m微后，再构造函数，利用导数求最大值.(2021•湖北•武汉市第一中学二模)已知函数/。)=》2-办，8。)=%+。历0—1),存在实数使y=/(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点，则实数b的取值范围为.【答案】卜弓+回【分析】因为y=/(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点等价于/(x)-g(x)>o或y(x)-g(x)<。(“n1)恒成立，利用参变分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数求最值即可求解.【详解】解：因为y=/(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点等价于/(x)-g(x)>。或/(X)-g(x)<om21)恒成立，即x2-ax-b-aln(x-\)>O^x2-ax-b-aln(x-l)<0(a21)恒成立，即x2-ax-aln(x-\)>b^(lx2-ax-aln[x-\)<b(a>1)恒成立，设〃(x)=x?- (azl),贝I],,,、oa 2),.、，、，n(x)=2x-a = (x>l,a>1)x-lx-l' 7当xw(l,周引时，"(x)<0, 时，"(x)>0,所以当X=等时，函数％(X)取得极小值同时也是最小值等+咤，设G(a)=/(等卜子+-1吟(心1),易知G⑷在[l,+oo)上为减函数，则G(a)的最大值为G⑴=；+m2,故h(x)的最小值/«等)=:+In2,3-ax-aln(x-\)>b,则。<一+ln2；一 4②若丁-翻一。/〃。-1)<6恒成立，则不成立，3综上,*<-+ln2.4故答案为：(F,；+ln2).【点睛】关键点点睛：将y=/(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点等价转化为/(x)-g(x)>0或/(x)-g(x)<0(a21)恒成立，然后再利用参变分离法，将问题转化为求函数的最值是本题解题的关键.(2021•浙江浙江•高二期末)若x,y是实数，e是自然对数的底数，<ln(x-y+l)+2y-l,贝l]2x+3y=.【答案】5【分析】令〃x)=lnxT+l,利用导数可证lnx4x-l,不等式化为e->-24大+丫一],令g(x)=e、-x-l,利用导数, fx+y-2=0可得e，2x+l,即e”Tzx+y_l,则可得出方程组",，求解.[x-y+l=l【详解】令/(x)=lnx-x+l,则r(x)=：-l=q,当xe(O,l)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；当xe(l,yo)时，/'(x)<0,/(x)单调递减；.-./(x)</(l)=0,BP\nx<x-l,ex+y~2<ln(x-y+l)+2y-l<x-y+l-l+2y-l=x+y-l,令g(x)=，-x-l,则g'(x)=e*—l,当xg(yo,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x«0,x)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，贝l]g(x)Ng(O)=。，即e*Nx+1,.,.6,+尸22x+y-l,又e、+i=x+y_i,当且仅当 ■ 时等号成立，[x—y+1=1解得x=l,y=l,.,.2x+3y=5.故答案为：5.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是结合经典不等式lnx4x-l和"Nx+l,考虑其等号成立条件即可求解.（2021•安徽省舒城中学高二月考（理））若e『21nx+a对一切正实数1恒成立，则实数”的取值范围是.【答案】«<1【分析】利用隐零点法求出函数的最小值为"M）=e"L"-ln%-aN0,进而转化为2a41+%恒成立，再利用基本不等式，即可得到答案；【详解】设= -lnx-a,（x>0）,贝ij/（x）=e*-"-Inx-aNO恒成立，由/'（x）=e，-"_g,令Mx）=e、“_（,贝1]“（6=01+5>0恒成立，所以人（力=产"一表（戈>0）为增函数，令j"一：=0得x=%,（x>0）,当0<x<x（）时，A（x）<0,当/<x时,h（x）>0；所以〃x）在（0，%）递减，在（如内）递增，故f（x）在x=4处取得最小值，故最小值/伍）=*-"-111无一。"，因为*-"=',则x°-a=-lnx°所以;+%一"-420恒成立，得2。4一+%,又因为24-!~+x。（当且仅当％=1时等号成立）；所以2aW2即aW1.故答案为：a<\.（