线性代数第三章B1课件

机动目录上页下页返回结束§1、线性方程组的消元法

一、线性方程组的矩阵表示的矩阵表示为（

）其中:系数矩阵增广矩阵常数矩阵未知量阵第一次课机动目录上页下页返回结束§11机动目录上页下页返回结束

二、线性方程组是否有解有解,但不止一个,例如是解.无解.

三、线性方程组解法:1.A为方阵,当|A|≠0时可用Cramer法则;2.A为方阵,当|A|≠0时3.消元法机动目录上页下页返回结束二2机动目录上页下页返回结束

四、AX=b有解的判别法,及解的求法1.引例:用消元法解下列线性方程组①②③②-2①③-3①其解为有解时看出机动目录上页下页返回结束四3机动目录上页下页返回结束①②③②-2①③-11①无解时看出①②③-3②①②③①②③机动目录上页下页返回结束①②4机动目录上页下页返回结束(1)Th1.1：线性方程组

AX=

b有解2.线性方程组有解的判别法(2)Th1.2：方程组

AX=

b对应矩阵为(

A|b);则AX=

b

与BX=

p同解.如果初等行变换书:P116例2,例3机动目录上页下页返回结束(15机动目录上页下页返回结束【例1】

解线性方程组解:机动目录上页下页返回结束【例6机动目录上页下页返回结束得等价方程为其中x4,x5为自由未知量令x4=c1,x5=c2

则方程组的全部解(通解)为机动目录上页下页返回结束得等7机动目录上页下页返回结束五、线性方程组解的个数

（一）AX=b解的情况行变换1.分析:(1)如果dr+1≠0,从而,故无解(2)如果dr+1=0,①若

r=n,即

r(A)=r(A|b)=n

,方程有唯一解②若

r<n,即

r(A)=r(Ab)=r<n,则有机动目录上页下页返回结束五、8机动目录上页下页返回结束其中取任意实数故方程组有无穷多组解机动目录上页下页返回结束其中9机动目录上页下页返回结束2.Th2.1线性方程组AX=b(1)当时无解(2)当时有唯一解(3)当时有无穷多组解机动目录上页下页返回结束2.10机动目录上页下页返回结束【例2】λ,μ为何值时线性方程组(1)无解,(2)有唯一解,(3)有无穷多组解,并求其通解.解:(1)当时,无解☆机动目录上页下页返回结束【例11机动目录上页下页返回结束(2)当时,有唯一解此时其解为(3)当时,有无穷多组解此时令x3=c得通解为x3为自由未知量机动目录上页下页返回结束(212机动目录上页下页返回结束AX=0称为齐次线性方程组,显然(1)当时只有

0解(2)当时有无穷多组解

（二）AX=0

解的情况1.Th2.2线性方程组AX=0故AX=0必有解.机动目录上页下页返回结束A13机动目录上页下页返回结束【例3】λ为何值时齐次线性方程组(1)只有0解,(2)有无穷多组解,并求其通解.解:(1)当时,只有0解(2)当时,有无穷多组解令

x3=c得通解为机动目录上页下页返回结束【例14机动目录上页下页返回结束第一次作业:P1571(3),2(2)机动目录上页下页返回结束第一15机动目录上页下页返回结束§2、向量与向量组的线性组合

一、n维向量的概念n个实数1.二,三维向量:平面上空间上2.n维向量的定义:组成的一个或有序实数组

xi表示第i个分量.其中:称为n

维向量,记为表示行向量,表示列向量,没有指明是行(列)向量时,都当作列向量第二次课机动目录上页下页返回结束§216机动目录上页下页返回结束1)零向量：2)负向量：3.几个特殊的向量3)标准单位向量：标准单位列向量标准单位行向量机动目录上页下页返回结束1)17机动目录上页下页返回结束二、向量的运算：设1.运算法则:1)加减法:2)数乘:3)转置:机动目录上页下页返回结束二、18机动目录上页下页返回结束2.运算规律:P123

例1机动目录上页下页返回结束2.19机动目录上页下页返回结束

三、向量组的概念:1.定义2.1:由若干个同维数称为向量组,记为A,B,C,...2.矩阵与向量组向量组称为矩阵A的列向量组.的列(行)向量组成的集合机动目录上页下页返回结束三20机动目录上页下页返回结束向量组称为矩阵A的行向量组.n个m维列向量构成m个n维行向量构成矩阵可以由机动目录上页下页返回结束向量21机动目录上页下页返回结束四、向量组的线性组合1.定义2.2:如果存在m个数,使得:则:向量称为向量组的线性组合;或称可由线性表示(表出).2.线性方程组的向量表示即:机动目录上页下页返回结束四、22机动目录上页下页返回结束【例4】将表示成的线性组合解:由定义,求k1,k2

,k3使得:机动目录上页下页返回结束【例23机动目录上页下页返回结束【例5】证明任何n维向量均可由n维单位向量线性表示.证明:因为可由所以线性表示.机动目录上页下页返回结束【例24机动目录上页下页返回结束1.定义2.3:设五、向量组的等价是两个同维数的向量组.线性表示,如果A的每个向量能由B的向量则称A能由B线性表示.则称向量组A,B等价.2.定义2.4:如果A能由B线性表示,B能由A线性表示,机动目录上页下页返回结束1.25机动目录上页下页返回结束2.矩阵乘法与向量组线性表示的关系1)设列向量组如果向量组

A被

B表示,即:对应的矩阵分别为从而:则有:列向量组

A被

B表示存在C,使得.反之也然.机动目录上页下页返回结束2.26机动目录上页下页返回结束2)设行向量组如果向量组

A被

B表示,即:对应的矩阵分别为从而:则有:行向量组

A被

B表示存在D,使得.反之也然.机动目录上页下页返回结束2)27机动目录上页下页返回结束2.初等变换与向量组等价的关系存在非异阵C使得初等行变换行向量组

B

被

A线性表示存在非异阵C使得行向量组

A被

B线性表示初等列变换初等行变换结论:行向量组

A与B等价存在非异阵D使得列向量组

B

被

A线性表示存在非异阵D使得列向量组

A

被

B线性表示初等列变换结论:列向量组

A与B等价机动目录上页下页返回结束2.28机动目录上页下页返回结束第二次作业:P1595,6(1)机动目录上页下页返回结束第二29机动目录上页下页返回结束1.线性相关:使得:一、线性相关与线性无关如果存在不全为0的数则称:线性相关.2.线性无关:如果要,只有当时才成立,则称:线性无关.§3、向量组的线性相关性第三次课机动目录上页下页返回结束1.30机动目录上页下页返回结束【例6】判断下列向量组的线性相关性解:要使则:只有0解所以向量线性无关机动目录上页下页返回结束【例31机动目录上页下页返回结束解:要使则:所以齐次线性方程组(*)有非0解所以向量线性相关因为(*)机动目录上页下页返回结束解:32机动目录上页下页返回结束1.n个n维向量有如下结论:线性无关二、线性相关性的几个重要结论线性相关行向量列向量线性无关线性相关令令证明:列向量线性无关只有0解由Cramer法则,线性方程组机动目录上页下页返回结束1.33机动目录上页下页返回结束解:线性无关.【例7】判断下列向量组的线性相关性解:所以该向量组线性无关.机动目录上页下页返回结束解:34机动目录上页下页返回结束【例8】设向量组证明向量组线性无关.线性无关,证:设数k1,k2

,k3使得即亦即由线性无关,有因为故方程组只有0解所以向量组线性无关.机动目录上页下页返回结束【例35机动目录上页下页返回结束2.线性相关2)两个向量线性无关1)一个向量对应分量成比例机动目录上页下页返回结束2.36机动目录上页下页返回结束3.定理2.1:如果线性相关,则也线性相关.1)推论1:如果线性无关,则也线性无关.2)推论2:含有0向量的向量组必线性相关.证明:因为线性相关,则存在不全为0的数使得显然又是不全为0的数线性相关.故机动目录上页下页返回结束3.374.定理2.2:n维向量组

线性相关

其中至少有一个向量可由其余(s-1)个向量线性表示.机动目录上页下页返回结束证明:

线性相关,设从而存在不全为0的数使得:不妨设于是即可由其余(s-1)个向量线性表示.设可由其余(s-1)个向量线性表示.即于是由于不全为0

线性相关.所以4.定理2.2:n维向量组线性相关其中至少有381)推论:如果向量组

线性无关该向量组中任何向量都不可由其余(s-1)个向量线性表示.机动目录上页下页返回结束1)推论:如果向量组线性无关该向量组中任何向量都不可由其395.定理2.3:

设n维(行)列向量组

线性无关机动目录上页下页返回结束对应的矩阵分别为

则:

线性相关★结论:讨论向量组A的线性相关性求矩阵A的秩对应对应将A化为行阶梯形矩阵5.定理2.3:设n维(行)列向量组线性无关机40机动目录上页下页返回结束【例9】设向量组问及的线性相关性.解:初等行变换所以:线性无关线性相关机动目录上页下页返回结束【例41机动目录上页下页返回结束【例10】

当k

为何值时,向量组线性无关.解:初等行变换所以:因为当时线性无关机动目录上页下页返回结束【例42机动目录上页下页返回结束1)性质1:如果线性无(相)关,则在它们每个向量的相同位置上增加(去掉)相同个数的分量,这样得到的新向量组也线性无(相关)关.6.性质m个n维向量组必线性相关.2)性质2:当m>n时,证明:设m个n维向量组为A,则r(A)<min(m,n)=n<m,得向量组A线性相关.推论:n+1个n维向量必线性相关.机动目录上页下页返回结束1)43机动目录上页下页返回结束3)性质3:线性无关,而如果线性相关,则可由线性表出.即:存在使得第三次作业:P16010,13,14,15机动目录上页下页返回结束3)44§4、向量组的秩机动目录上页下页返回结束一、两组向量组之间的关系1.定理3.1:设有两个向量组(2)m>s(1)向量组A能被B线性表示,则向量组必线性相关.如果2.推论1:如果向量组能被线性表示,且线性无关,那么3.推论2:两个等价无关的向量组,的向量.必含有相同个数第四次课§4、向量组的秩机动目录上页下页返回45机动目录上页下页返回结束1.定义3.1:给定向量组A,如果向量组并且A中任意r+1个向量的一个最(极)大无关组.二、最(极)大无关组2.定理3.2:一个向量组的任意两个最大无关组(如果存在的话)是等价的.3.定理3.3:一个向量组的任意最大无关组都含有相同个数的向量A中存在r个线性无关的(如果存在的话)都线性相关,那么向量组A0称为A4.定义3.1:向量组的最大无关组所含向量的个数,称为向量组的秩,记为:机动目录上页下页返回结束1.46机动目录上页下页返回结束1.定义3.2:矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩.三、矩阵的秩与向量组的秩的关系由设矩阵又因为线性无关,可知行向量为线性相关,所以故行向量组的秩为3矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.机动目录上页下页返回结束1.47机动目录上页下页返回结束列向量为所以列向量组由线性无关,可知线性相关,可知由2.定理3.4:对于任意矩阵,都有:A的秩=A的行秩=A的列秩的秩为3.机动目录上页下页返回结束列向48机动目录上页下页返回结束1.性质1:只含0向量的向量组没有最大无关组,规定四、性质2.性质2:向量组与它的任意一个最大无关组等价.3.性质3:向量组线性无关它的秩等于向量的个数.它的秩为0.机动目录上页下页返回结束1.49机动目录上页下页返回结束【例11】求向量组的最大无关组,解:初等行变换并将其余向量用最大无关组线性表示.所以最大无关组为如果要将其余向量用最大无关组线性表示.初等行变换机动目录上页下页返回结束【例50机动目录上页下页返回结束五、向量组秩的重要结论2.推论1:两个等价的向量组有相同的秩.反之不然.1.定理3.5:向量组A

能由B

线性表示,则A能由B线性表示,则A的秩不大于B

的秩.即:设3.推论2:设,则机动目录上页下页返回结束五、51机动目录上页下页返回结束B线性无关,且向量组A

能由向量组B

线性表示,4.推论3:设向量组

B是向量组

A的部分组,若向量组则B是A

的一个最大无关组.证明:设B含有r个向量,则它的秩为r,因为A能被B线性表示,故向量组A的秩所以A组中任意r+1个向量都线性相关,从而由定义可知B是A

的一个最大无关组.机动目录上页下页返回结束B52【例12】已知证明向量组等价证明:所以(b1,b2)能被(a1,a2)线性表示所以(a1,a2)能被(b1,b2)线性表示故向量组等价机动目录上页下页返回结束初等行变换【例12】已知证明向量组53机动目录上页下页返回结束第四次作业:P161

17(2)机动目录上页下页返回结束第四54机动目录上页下页返回结束

§4、线性方程组解的结构1.定义4.1:设V是Rn的一个非空子集,如果(1)V对向量的加法运算是封闭的,即:则称V为向量空间.

一、补充：向量空间的概念有(2)V对向量的数乘运算是封闭的,即:有例如全体:实数、平面向量、空间向量、n维向量,都是向量空间.2.定义4.2:如果向量空间则称V1是V2的子空间.第五次课机动目录上页下页返回结束§55机动目录上页下页返回结束如果有r个向量且满足(1)线性无关,(2)V中任何向量都可由线性表示.则称为向量空间V的一个基,数r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间.3.向量空间的基与维数：设V是向量空间,4.说明:(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．无关组,V的维数就是向量组的秩.(2)若把向量空间V看作向量组，那末V的基就是向量组的最大机动目录上页下页返回结束如果56机动目录上页下页返回结束证明:故从而是R3的一个基,且初等行变换【例13】设矩阵验证是R3的一个基,并把用该基线性表示.机动目录上页下页返回结束证明57机动目录上页下页返回结束二.AX=0的通解的结构(一)、AX=0解的两个性质1.

性质1:如果ξ1,ξ2是

AX=0的解,k∈R,则ξ1+ξ2、kξ1均是

AX=0的解.2.

性质2:如果

S是

AX=0的所有解的集合,则

S

是一个空间,称

S为

AX=0的解空间.证明:由性质1显然有:从而

S对加法,数乘是封闭的,所以

S是一个向量空间.(1)若ξ1,ξ2∈S,则ξ1+ξ2∈S(2)若ξ∈S,k∈R,则

kξ∈S机动目录上页下页返回结束二.58机动目录上页下页返回结束设

AX=0的r(A)=r,不妨设行变换1.

AX=0的解空间

S的基.(二).

AX=0的解空间S的结构找出AX=0的解空间

S的一组S中的任意一个向量(即

AX=0这组线性无关的解就是

S的基.该线性无关的解表示,则线性无关的解,并且证明的任意一个解)都可以由A

的前

r列线性无关,则有机动目录上页下页返回结束设59机动目录上页下页返回结束其中取任意实数令:得方程

AX=0的n-r个线性无关的解:(1)求

S中的一组线性无关的解()*代入到

AX=0的等价方程中()*机动目录上页下页返回结束其中60机动目录上页下页返回结束(2)求

AX=0的任意一个解令机动目录上页下页返回结束(261机动目录上页下页返回结束得通解为:机动目录上页下页返回结束得通62机动目录上页下页返回结束从(1)可以看出都可以表示成从(2)得到方程

AX=0的任意一个解,是AX=0的一组无关向量组是解空

S的一个基.的线性组合,线性无关解,从而线性★2.

说明:(1)

AX=0的解空间

S的基不是唯一的.(4)

如果AX=0的基础解系为,则其通解为(3)

如果

AX=0的r(A)=r,则基础解系是n-r

维的.(2)

解空间

S的基称为AX=0的基础解系.机动目录上页下页返回结束从(63机动目录上页下页返回结束【例14】求齐次线性方程组的基础解系,及通解.解:令:得基础解系:所以通解为:机动目录上页下页返回结束【例64机动目录上页下页返回结束【例15】求齐次线性方程组的基础解系,及通解.解:取:得基础解系:所以通解为:方法1机动目录上页下页返回结束【例65机动目录上页下页返回结束解:方法2令:其基础解系为:得通解:【例15】求齐次线性方程组的基础解系,及通解.机动目录上页下页返回结束解:66机动目录上页下页返回结束第五次作业:P161

20(1),23(1)机动目录上页下页返回结束第五67机动目录上页下页返回结束三.AX=b的通解的结构(一)

.AX=b解的两个性质1.

性质1:如果η1,η2是

AX=b

的解,

则η1-η2是

AX=0的解.2.

性质2:如果ξ是

AX=0的解,

ξ+η是

AX=b

的解.η是

AX=b

的解,

则第六次课机动目录上页下页返回结束三68机动目录上页下页返回结束(二).

Am×nX=b

通解的结构η是

AX=b

的特解,

则1.线性方程AX=b(1)当时无解(2)当时有唯一解(3)当时有无穷多组解3.结论2:设是

AX=0的2.结论1:如果

X是

AX=0的通解,

η是

AX=b

的特解,

则X+η是

AX=b

的通解.基础解系,

是AX=b

的通解.机动目录上页下页返回结束(69机动目录上页下页返回结束【例16】求非齐次线性方程组的通解解:得等价方程为:机动目录上页下页返回结束【例70机动目录上页下页返回结束方法一:取代入原方程得原方程的一个特解为得对应的齐次方程组的基础解系为:令∴通解为:机动目录上页下页返回结束方法71机动目录上页下页返回结束方法二:其中:对应的齐次方程组的基础解系为:令得通解为:原方程的一个特解为机动目录上页下页返回结束方法72机动目录上页下页返回结束第六次作业:P162

23(2),24讲解:P162

25,27机动目录上页下页返回结束第六73机动目录上页下页返回结束§1、线性方程组的消元法

一、线性方程组的矩阵表示的矩阵表示为（

）其中:系数矩阵增广矩阵常数矩阵未知量阵第一次课机动目录上页下页返回结束§174机动目录上页下页返回结束

二、线性方程组是否有解有解,但不止一个,例如是解.无解.

三、线性方程组解法:1.A为方阵,当|A|≠0时可用Cramer法则;2.A为方阵,当|A|≠0时3.消元法机动目录上页下页返回结束二75机动目录上页下页返回结束

四、AX=b有解的判别法,及解的求法1.引例:用消元法解下列线性方程组①②③②-2①③-3①其解为有解时看出机动目录上页下页返回结束四76机动目录上页下页返回结束①②③②-2①③-11①无解时看出①②③-3②①②③①②③机动目录上页下页返回结束①②77机动目录上页下页返回结束(1)Th1.1：线性方程组

AX=

b有解2.线性方程组有解的判别法(2)Th1.2：方程组

AX=

b对应矩阵为(

A|b);则AX=

b

与BX=

p同解.如果初等行变换书:P116例2,例3机动目录上页下页返回结束(178机动目录上页下页返回结束【例1】

解线性方程组解:机动目录上页下页返回结束【例79机动目录上页下页返回结束得等价方程为其中x4,x5为自由未知量令x4=c1,x5=c2

则方程组的全部解(通解)为机动目录上页下页返回结束得等80机动目录上页下页返回结束五、线性方程组解的个数

（一）AX=b解的情况行变换1.分析:(1)如果dr+1≠0,从而,故无解(2)如果dr+1=0,①若

r=n,即

r(A)=r(A|b)=n

,方程有唯一解②若

r<n,即

r(A)=r(Ab)=r<n,则有机动目录上页下页返回结束五、81机动目录上页下页返回结束其中取任意实数故方程组有无穷多组解机动目录上页下页返回结束其中82机动目录上页下页返回结束2.Th2.1线性方程组AX=b(1)当时无解(2)当时有唯一解(3)当时有无穷多组解机动目录上页下页返回结束2.83机动目录上页下页返回结束【例2】λ,μ为何值时线性方程组(1)无解,(2)有唯一解,(3)有无穷多组解,并求其通解.解:(1)当时,无解☆机动目录上页下页返回结束【例84机动目录上页下页返回结束(2)当时,有唯一解此时其解为(3)当时,有无穷多组解此时令x3=c得通解为x3为自由未知量机动目录上页下页返回结束(285机动目录上页下页返回结束AX=0称为齐次线性方程组,显然(1)当时只有

0解(2)当时有无穷多组解

（二）AX=0

解的情况1.Th2.2线性方程组AX=0故AX=0必有解.机动目录上页下页返回结束A86机动目录上页下页返回结束【例3】λ为何值时齐次线性方程组(1)只有0解,(2)有无穷多组解,并求其通解.解:(1)当时,只有0解(2)当时,有无穷多组解令

x3=c得通解为机动目录上页下页返回结束【例87机动目录上页下页返回结束第一次作业:P1571(3),2(2)机动目录上页下页返回结束第一88机动目录上页下页返回结束§2、向量与向量组的线性组合

一、n维向量的概念n个实数1.二,三维向量:平面上空间上2.n维向量的定义:组成的一个或有序实数组

xi表示第i个分量.其中:称为n

维向量,记为表示行向量,表示列向量,没有指明是行(列)向量时,都当作列向量第二次课机动目录上页下页返回结束§289机动目录上页下页返回结束1)零向量：2)负向量：3.几个特殊的向量3)标准单位向量：标准单位列向量标准单位行向量机动目录上页下页返回结束1)90机动目录上页下页返回结束二、向量的运算：设1.运算法则:1)加减法:2)数乘:3)转置:机动目录上页下页返回结束二、91机动目录上页下页返回结束2.运算规律:P123

例1机动目录上页下页返回结束2.92机动目录上页下页返回结束

三、向量组的概念:1.定义2.1:由若干个同维数称为向量组,记为A,B,C,...2.矩阵与向量组向量组称为矩阵A的列向量组.的列(行)向量组成的集合机动目录上页下页返回结束三93机动目录上页下页返回结束向量组称为矩阵A的行向量组.n个m维列向量构成m个n维行向量构成矩阵可以由机动目录上页下页返回结束向量94机动目录上页下页返回结束四、向量组的线性组合1.定义2.2:如果存在m个数,使得:则:向量称为向量组的线性组合;或称可由线性表示(表出).2.线性方程组的向量表示即:机动目录上页下页返回结束四、95机动目录上页下页返回结束【例4】将表示成的线性组合解:由定义,求k1,k2

,k3使得:机动目录上页下页返回结束【例96机动目录上页下页返回结束【例5】证明任何n维向量均可由n维单位向量线性表示.证明:因为可由所以线性表示.机动目录上页下页返回结束【例97机动目录上页下页返回结束1.定义2.3:设五、向量组的等价是两个同维数的向量组.线性表示,如果A的每个向量能由B的向量则称A能由B线性表示.则称向量组A,B等价.2.定义2.4:如果A能由B线性表示,B能由A线性表示,机动目录上页下页返回结束1.98机动目录上页下页返回结束2.矩阵乘法与向量组线性表示的关系1)设列向量组如果向量组

A被

B表示,即:对应的矩阵分别为从而:则有:列向量组

A被

B表示存在C,使得.反之也然.机动目录上页下页返回结束2.99机动目录上页下页返回结束2)设行向量组如果向量组

A被

B表示,即:对应的矩阵分别为从而:则有:行向量组

A被

B表示存在D,使得.反之也然.机动目录上页下页返回结束2)100机动目录上页下页返回结束2.初等变换与向量组等价的关系存在非异阵C使得初等行变换行向量组

B

被

A线性表示存在非异阵C使得行向量组

A被

B线性表示初等列变换初等行变换结论:行向量组

A与B等价存在非异阵D使得列向量组

B

被

A线性表示存在非异阵D使得列向量组

A

被

B线性表示初等列变换结论:列向量组

A与B等价机动目录上页下页返回结束2.101机动目录上页下页返回结束第二次作业:P1595,6(1)机动目录上页下页返回结束第二102机动目录上页下页返回结束1.线性相关:使得:一、线性相关与线性无关如果存在不全为0的数则称:线性相关.2.线性无关:如果要,只有当时才成立,则称:线性无关.§3、向量组的线性相关性第三次课机动目录上页下页返回结束1.103机动目录上页下页返回结束【例6】判断下列向量组的线性相关性解:要使则:只有0解所以向量线性无关机动目录上页下页返回结束【例104机动目录上页下页返回结束解:要使则:所以齐次线性方程组(*)有非0解所以向量线性相关因为(*)机动目录上页下页返回结束解:105机动目录上页下页返回结束1.n个n维向量有如下结论:线性无关二、线性相关性的几个重要结论线性相关行向量列向量线性无关线性相关令令证明:列向量线性无关只有0解由Cramer法则,线性方程组机动目录上页下页返回结束1.106机动目录上页下页返回结束解:线性无关.【例7】判断下列向量组的线性相关性解:所以该向量组线性无关.机动目录上页下页返回结束解:107机动目录上页下页返回结束【例8】设向量组证明向量组线性无关.线性无关,证:设数k1,k2

,k3使得即亦即由线性无关,有因为故方程组只有0解所以向量组线性无关.机动目录上页下页返回结束【例108机动目录上页下页返回结束2.线性相关2)两个向量线性无关1)一个向量对应分量成比例机动目录上页下页返回结束2.109机动目录上页下页返回结束3.定理2.1:如果线性相关,则也线性相关.1)推论1:如果线性无关,则也线性无关.2)推论2:含有0向量的向量组必线性相关.证明:因为线性相关,则存在不全为0的数使得显然又是不全为0的数线性相关.故机动目录上页下页返回结束3.1104.定理2.2:n维向量组

线性相关

其中至少有一个向量可由其余(s-1)个向量线性表示.机动目录上页下页返回结束证明:

线性相关,设从而存在不全为0的数使得:不妨设于是即可由其余(s-1)个向量线性表示.设可由其余(s-1)个向量线性表示.即于是由于不全为0

线性相关.所以4.定理2.2:n维向量组线性相关其中至少有1111)推论:如果向量组

线性无关该向量组中任何向量都不可由其余(s-1)个向量线性表示.机动目录上页下页返回结束1)推论:如果向量组线性无关该向量组中任何向量都不可由其1125.定理2.3:

设n维(行)列向量组

线性无关机动目录上页下页返回结束对应的矩阵分别为

则:

线性相关★结论:讨论向量组A的线性相关性求矩阵A的秩对应对应将A化为行阶梯形矩阵5.定理2.3:设n维(行)列向量组线性无关机113机动目录上页下页返回结束【例9】设向量组问及的线性相关性.解:初等行变换所以:线性无关线性相关机动目录上页下页返回结束【例114机动目录上页下页返回结束【例10】

当k

为何值时,向量组线性无关.解:初等行变换所以:因为当时线性无关机动目录上页下页返回结束【例115机动目录上页下页返回结束1)性质1:如果线性无(相)关,则在它们每个向量的相同位置上增加(去掉)相同个数的分量,这样得到的新向量组也线性无(相关)关.6.性质m个n维向量组必线性相关.2)性质2:当m>n时,证明:设m个n维向量组为A,则r(A)<min(m,n)=n<m,得向量组A线性相关.推论:n+1个n维向量必线性相关.机动目录上页下页返回结束1)116机动目录上页下页返回结束3)性质3:线性无关,而如果线性相关,则可由线性表出.即:存在使得第三次作业:P16010,13,14,15机动目录上页下页返回结束3)117§4、向量组的秩机动目录上页下页返回结束一、两组向量组之间的关系1.定理3.1:设有两个向量组(2)m>s(1)向量组A能被B线性表示,则向量组必线性相关.如果2.推论1:如果向量组能被线性表示,且线性无关,那么3.推论2:两个等价无关的向量组,的向量.必含有相同个数第四次课§4、向量组的秩机动目录上页下页返回118机动目录上页下页返回结束1.定义3.1:给定向量组A,如果向量组并且A中任意r+1个向量的一个最(极)大无关组.二、最(极)大无关组2.定理3.2:一个向量组的任意两个最大无关组(如果存在的话)是等价的.3.定理3.3:一个向量组的任意最大无关组都含有相同个数的向量A中存在r个线性无关的(如果存在的话)都线性相关,那么向量组A0称为A4.定义3.1:向量组的最大无关组所含向量的个数,称为向量组的秩,记为:机动目录上页下页返回结束1.119机动目录上页下页返回结束1.定义3.2:矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩.三、矩阵的秩与向量组的秩的关系由设矩阵又因为线性无关,可知行向量为线性相关,所以故行向量组的秩为3矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.机动目录上页下页返回结束1.120机动目录上页下页返回结束列向量为所以列向量组由线性无关,可知线性相关,可知由2.定理3.4:对于任意矩阵,都有:A的秩=A的行秩=A的列秩的秩为3.机动目录上页下页返回结束列向121机动目录上页下页返回结束1.性质1:只含0向量的向量组没有最大无关组,规定四、性质2.性质2:向量组与它的任意一个最大无关组等价.3.性质3:向量组线性无关它的秩等于向量的个数.它的秩为0.机动目录上页下页返回结束1.122机动目录上页下页返回结束【例11】求向量组的最大无关组,解:初等行变换并将其余向量用最大无关组线性表示.所以最大无关组为如果要将其余向量用最大无关组线性表示.初等行变换机动目录上页下页返回结束【例123机动目录上页下页返回结束五、向量组秩的重要结论2.推论1:两个等价的向量组有相同的秩.反之不然.1.定理3.5:向量组A

能由B

线性表示,则A能由B线性表示,则A的秩不大于B

的秩.即:设3.推论2:设,则机动目录上页下页返回结束五、124机动目录上页下页返回结束B线性无关,且向量组A

能由向量组B

线性表示,4.推论3:设向量组

B是向量组

A的部分组,若向量组则B是A

的一个最大无关组.证明:设B含有r个向量,则它的秩为r,因为A能被B线性表示,故向量组A的秩所以A组中任意r+1个向量都线性相关,从而由定义可知B是A

的一个最大无关组.机动目录上页下页返回结束B125【例12】已知证明向量组等价证明:所以(b1,b2)能被(a1,a2)线性表示所以(a1,a2)能被(b1,b2)线性表示故向量组等价机动目录上页下页返回结束初等行变换【例12】已知证明向量组126机动目录上页下页返回结束第四次作业:P161

17(2)机动目录上页下页返回结束第四127机动目录上页下页返回结束

§4、线性方程组解的结构1.定义4.1:设V是Rn的一个非空子集,如果(1)V对向量的加法运算是封闭的,即:则称V为向量空间.

一、补充：向量空间的概念有(2)V对向量的数乘运算是封闭的,即:有例如全体:实数、平面向量、空间向量、n维向量,都是向量空间.2.定义4.2:如果向量空间则称V1是V2的子空间.第五次课机动目录上页下页返回结束§128机动目录上页下页返回结束如果有r个向量且满足(1)线性无关,(2)V中任何向量都可由线性表示.则称为向量空间V的一个基,数r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间.3.向量空间的基与维数：设V是向量空间,4.说明:(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．无关组,V的维数就是向量组的秩.(2)若把向量空间V看作向量组，那末V的基就是向量组的最大机动目录上页下页返回结束如果129机动目录上页下页返回结束证明:故从而是R3的一个基,且初等行变换【例13】设矩阵验证是R3的一个基,并把用该基线性表示.机动目录上页下页返回结束证明130机动目录上页下页返回结束二.AX=0的通解的结构(一)、AX=0解的两个性质1.

性质1:如果ξ1,ξ2是

AX=0的解,k∈R,则ξ1+ξ2、kξ1均是

AX=0的解.2.

性质2:如果

S是

AX=0的所有解的集合,则

S

是一个空间,称

S为

AX=0的解空间.证明:由性质1显然有:从而

S对加法,数乘是封闭的,所以

S是一个向量空间.(1)若ξ1,ξ2∈S,则ξ1+ξ2∈S(2)若ξ∈S,k∈R,则