教学设计：向量与实数相乘

向量与实数相乘【教学目标】知识目标：实数与向量积的定义，实数与向量积的运算律，两个向量共线的充要条件。能力目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律，理解两个共线向量的充要条件，能运用两个向量共线条件准确判定两个向量是否平行或寻求两向量共线的条件．【重点、难点】实数与向量积即数乘向量是向量的四种运算之一，而共线向量又是特殊向量运算的基础，平面向量基本定理是整个平面向量理论的基础，所以本节重点是实数与向量积的定义、向量共线的判定和性质、平面向量基本定理以及它们的应用．本节难点是对向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本性质的理解和应用，可采用数形结合、启发引导，使学生理解共线向量的充要条件和平面向量基本性质．【教学设计】问题导入：打雷闪电（或较远处闪光炮放爆）时，光与声的传播速度问题，重物下落过程中两个不同时刻的速度问题；轮船在逆水中航行时，轮船与水流速度问题；拔河比赛双方的拉力问题等抽象向量的倍数，即实数与向量积，也就是数乘向量．图1问题:（1）在数与数的乘积中，（是一数）的意义是什么？图1（2）若换成时，（3）再把换成时，老师引导学生完成（如图1）．一、实数与向量积1．实数与向量积的定义，实数与向量的积是一个向量记作，其长度和方向规定如下：（1）（2）当时，与同向当时，与反向当时，方向任意2．实数与向量积的运算律（由实数乘法运算律类推出）（1）（2）（3）图2注:如图（2），实数与向量积的运算律，让学生只作验证，不作严格证明．图2实数与向量积与向量的加法、减法的综合运算，称之为向量的线性运算（或线性组合，或初等运算），若一个向量可由另一些向量线性运算得到，则说这个向量可用这些向量线性表示如:，由线性表示．例1设为向量，计算下列各式：（1）（2）（3）解:（1）原式=（2）原式=（3）原式===例2若，其中是已知向量，求向量．分析:把已知条件看作向量的方程，可通过解方程组解之．解:由已知条件得①②由②得③再由①③得：④把④代入②得所以求得注意:①；；；；②向量的线性运算中，准确运用运算法则和运算律．思考:（1）对于向量和，如果有一个实数，使则与有何关系？为什么？（2）若向量与共线，，且向量的长度是向量的长度的倍，则向量与满足的关系是什么？由此引入．二、向量共线的判定与性质定理:是非零向量，若存在一个实数，使得，则向量与非零向量共线．定理:若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使得．向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数，使得．应用：图3例3如图3，已知，，使判断与是否共线？图3解:因为==所以与共线例4如图4，是平面内三个点，且不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数使得证明:因为向量与向量共线，根据向量共线定理得图4，图4即所以。例5凸四边形的边，的中点分别为．求证:证法一:如图5，连接并延长到且使连接图5是的中位线，图5∴平行且相等于，平行且相等于∴，∴∴证法二:如图6，连接，，并延长到使，则是平行四边形图6∴，图6是的中点，∴，故∴