大一下微积分课件-习题课

曲线积分及曲面积习题一、主要内（一）曲线积分与曲面积（二）各种积分之间的联（三）场论（一）曲线积分与曲面积曲线积

曲面积联 联 系 系 分曲线积

曲面积对弧长的曲线积对坐标的曲线积nLf(x,y)dslimf(i,i0LP(x,y)dxQ(x,nlim[P(i,i)xiQ(i,i)yi0LPdxQdyL(PcosQcos计算f[,]22三代一 (PdxL[P(,)Q(,二代一定(与方向有关与路径无关的四个等价命在单连通开区域D上Pxy),Qxy具有在D内LPdxQdyCPdxQdy0,闭曲线C在D内存在Uxy)使duPdx在D内P 对面积的曲面积对坐标的曲面积nf(x,y,z)dslimf(i,i,i 0nR(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy 0PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos f(x,y,f[x,y,z(x,y)]1z2 一代,二换,三投(与侧无关R(x,y,R[x,y,z(x,一代,二投,(与侧有关（二）各种积分之间的联计计定积Stokes公计计Guass公曲面积重积曲线积积分概念的联f(Mnf(M),f(Mi定积

当R1[a,b时b

(M)d

f(x)dx.二重积

当

R2上区域D时

(M

D

f(

y)d曲线积

当

R2上平面曲线L时

(M

f(

三重积

当

R3上区域时

(M

f(

y,曲线积

当

R3上空间曲线时

(M

f(

y,曲面积

当

R3上曲面S时

(M

S

f(

y,z)dS.计算上的联

(

y)d

b[y2(x)

(

y)dy]dxd面元素 D

f(

y,

bdxy2(x

z2(x,y)

(

y,z)dz,(dV体元素L

(

by)dsb

bf[b

y(

z1(x,y1

y2dx,(ds线元素曲L

(

y)dx

f[

y(x)]dx,(dx线元素(投影f(y,f[yf(y,f[y,z(1zz2

(dS面元素曲R(

y,z)dxdy

f[

y,z(x,其中L

Qdy

L(P

Q

Qdzdx

(P

理论上的联定积分与不定积分的联- 公二重积分与曲线积分的联

P)dxdy

(沿L的正向baf(x)dxbaf(x)dxF(b)F(a)(F(x)f(公三重积分与曲面积分的联

Q

R)dv

Qdzdx

公曲面积分与曲线积分的联(R

Q

P

Qdy

公(P(PQPdxQdy(PdxQdy(Q−P)dxdy−QdxPdy(P PdxQdy(QP DQdxPdy(P DAdAd(rotAkLsD(A)dsLnD(A)ds(A)dsAdS(rotAnPdxQdy nnPdydzQdzdx （三）场论初梯 gradu

u

u

ux

jz

散 divA

P

Q 环流

Qdy

rotA

(R

Qz

R)jj

P)kk二、典型例1计算

(x

2

(x2

y4)dy其中L为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线

sinxII(x,y(x,y P非ILPdxQdy0思路

I

PdxII D yQ闭非补充曲线或解

(x2

2

(x2

y4

(x2

2xy)2 Q

(x2

y4)2

Q111故原式1

x2dx

y4

232计I

(e

y

(e

ym)dy其中L为由点(a,0到点(0,0)的上半圆x2

y2

ax,y0.

(ex

ymy)

ex

yQ

(e

ym)

excos即

(如下ILO

O

AMOA

D

(Q

P aDa

ma2,

00

(e

m)0Mo Mo

AMOA

ma28

ma282xydxx2dy练习计算IL

x

，其中L为闭合回路ABCD(1,00,11,0解：LxyI

2xydxxyLxy

x2dy设P

2xy,Q

x2则

2x

P'. 公式

例.计 (x2

y2)

a2(x2

y2

(a0解:在极坐标系下cosL1:rcos

(0

4 利用对称性,r2()r2r2()r2(4 acosd 例原点O沿直线移动到的第一卦限部分上的哪一点时，使功最大？并求此最设曲一点A(uv,w)W

yzdx

zxdy

OA

x0

y0

z

(tu

v

wOA

x0

y0

z

(tu

v

wOA:

ut,

vt,

wt,

:0W1

yzdx

zxdy

0

)(wt)d(ut)1

(wt)(ut)d(vt)

(ut

)d(wt)]3uvw

t2dt0F

(2a22

vb2

w2c2

F

(2a22

vb2

w2c2

F

2u

v

w2 a a

a2 b2 c2 Fuw2v333 b2333

(a,b

c3F3u2

v

c2w

Wabca b2 c2例计算

其中2

为x解：I1

2

231

z

R2

y(x2

y2

z2)dS

(0

y2

z2

dRr

1 R4 x2

y2

z2)dS

(x

z2)dxdz

1R42(x23

y2

z2

R2dS

R4I

3R42

(ax

by

cz

d)2dS其中:x2

y2z2

R2解：

(a2x

b2y2

c2z2(2abxy

2acxz

(2adx

2bdy

d奇偶对称性(a2x

b2y2

c2z2

00

d轮换对称性(a

c2)

(x2

y2

z2)dS

d1(a3

c2)R2

3 d24R21(a3

c2)R2

d2.例计算x2

y2

z2dS，其中

为内接于球面x2

y2z2

a2

的八面体

xy

a的表面解被积函数

f(

y,z)

x2

y2z2

关于坐标面、坐标原点对称，积

也具有对称性，(x2

y2

z2

8(x2

y2

z21其中1y1:xy

y

zaxdS

1

z2dxdy

zx(x2zx

y2

z2)dS

(x2

y2

z28[x2

y2(ax

y)2

3a4例.证明封闭曲面所包围的体积为V3

(xcos

其中coscoscos是曲面的外法向量的方证明P

x,Q

y,R

(xcos

ycos

zcos

Q

3dv

所以

1(xcos33

计算

xzdydz其中是上半球面z R2

x2

y21 设1

xOy平面上的圆域x2

y2

R2的下P

0,R0

xzdydz

[

(xz)]dv

R R 2

0 r

R44所

xzdydz

4

04

R4

zR2zR2x2y2的上I奇偶对称性2

xz2dzdyR2R2y2z2

z2dzdy

(Dyz:

R2,

sin2

Rr0

R2

r2dr

2R5.zR2x2zR2x2y2的上I22

xz2(z'x2x2xDxy

R2

x2

y2

(Dxy:

y2

R2cos20

Rr0

R2

r2

R5曲面面积的计算zfzf(x,y)Sozf(x,y)bsLBaA S

S

bL(A,Bb

f(

zyxzyx

1

z2

f(x,

1y2曲顶柱体的表面如图曲顶柱体

z

f(x,y)1 2x1 2xf2yD

f(

D D2例x的侧

y

1在球x2

y2z

1解由对称S8L

1x2

y2

x

cos3t, L:x

y

参数方程为

sin3t,

(0t 222例x3y31x2y2z21ds

(x)2

(y)2dt

3sintcostdt1cos1cos6tsin6ttS80

3sintcos3sin23sin2tcos2240

sintcos

3230

t

323对坐标的曲面积分的计算利 公若P,QR在闭曲面具有一阶连续偏导数,

所围成的空间域

Qdzdx

(P

Q

其中取外侧

通过投影化为二重积I

P(

y,

Q(

y,z)dzdx

R(

y,

P(

y,

y,

Q(

y(z,

x),

R(

y,z(

注意的确定y3.向量点积法(化为同一组坐标积分y设

z

(

法向量为

f,I

Qdzdx

0{P,Q,R}{dydz,dzdx,dxdy}0

An{P,Q,R}{

f

f将在xoy面投影{P,

R}{

z 例计算设f(u)是有连续的导数,z I

x3dydz

fy

dzdx

fy 3z z3 3

zΣ是锥面x

y2z2

和球x2

y2

1x2

y2z2

所 的表面外侧如直接计 分分被积函数中有抽象函数 故无法直接计算. 公式由于P

x3

Qz

yf fz

y3

Ry

yf fz

z3P

3x2

Q

f

y

3y2

R

f

y

3z2 z

z

z2 z 故 z I

3(x2

y2

z2 y球

r4sindrd =

24sin2

r05

0(2

计算

ydydz

xdzdx

z2dxdy,

其中x2x2y2

2D解利用向量点积Dx2y2xfx2y2xyx2y2fx2y2x2y2x2y2Iy,x,x2y2x2y2

z2dxdy

[D

1x2

y24

(x2

y2 2d2r

rdr

15D D练习I[

f(

y,z)

[2

f(

y,z)

[

(

y,z)

z]dxdy

f(

yz为连续函数x

y

1解利用两类曲面积分之间的关 13的法向量n33cos3

1,cos

1

cos

1. 313x3I{3

[f(

y,z)x]313

f(

y,z)

1[

(

y,z)

313

(x

yz)dS33 1133

12补补若分片光滑的闭曲面

关于yOz平面对称取外侧(内侧仍成立那末

P(

y, 1

P(

y,

若Px,若P

yz)是x的偶函y,z)是x的奇函其中1x

x(y,z)注曲面Σ不封闭也可以z例计算dydzzdzdx zx2y2 xx2y2其中Σ:z

z2)的下侧解

关于yOz面对称被积函数P(

y,z)关于x为偶函数

dydzzxOny又 关于zOx面对称,被积函数QzxOny

y,z)关于y为偶函数

zdzdxzz x2y2(1z :1x2y2 :1x2y22z x2y2 2

x2yx2y2

y2

取下侧

d zxOny2ezxOny

e).

1、设L为x ,0y3,

4ds的值为 (A)4x0

2、设L为直线y

y0上从点A(0

y0到点B(3

y0有向直线段,则L2dy

6y0 3、若L是上半椭圆

acosbsin

取顺时针方,Lydxxdy的值为 (B)ab 24、设P(

y)

Q(

y)D内有一阶连偏导数,则在D内与L

QdyQ

,(

y)

D是 (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件5、设为球面x2

y2z

1,1为其上半球面,则 )式正确

zds

zds

zdxdy

zdxdy

z2dxdy

z2dxdy.6、若为

2(x2

y2)在xoy面上方部分的曲面则ds等于 1414r2(A)(C)

d14rr14rr2

rdr14r14r

d

rdr7、若为球面x2

y2z

R2的外侧,则x2y2zdxdy等于

x2y

R2x2

y2dxdy

x2y

R2x2

y2dxdy (C)08、曲面积分

z2dxdy在数值上等于 面密度为z2的曲的质量向量z2k穿过曲面的流9、设是球面x2

y2z

R2

是xoy上的圆域x2y2R2,下述等式正确的是

x2y2zds

x2y

R2x2

y2dxdy

(x2

y2)dxdy

(x2

y2

zdxdy

R2x2

y2dxdy10、若是空间区的外表面,下述计算中运用奥-高 (A)外侧

x

(z

2