随机漫步理论

随机漫步(RandomWalk)思想最早由KarlPearson在1905年提出，它是一种不规则的变动形式，在变动过程当中的每一步都是随机的。通常来说，随机漫步被假定为具有马尔可夫链的性质，也即是每一个步骤具有'无记忆〃的特性，换句话说，每一次变动都不会影响别的变动。除此之外，还有许多更加复杂的随机漫步。在维度方面，随机漫步处于图和面上，或者维度更多的结构中，例如群。如果考虑到时间参数，一些随机漫步过程是标记为非连续时间，例»；.王|.上'.■■另一些随机漫步过程则采用随机时间，例如xt，并且作为连续时间段tZ0;这样的例子包括drunkard'swalk和Levyflight等等。随机漫步过程通常与扩散模型和马尔可夫过程相联系，它的一些性质，例如dispersaldistributions,first-passagetimes和encounterrates,已经得到了非常深入的研究。一维随机漫步这是一个简单的随机漫步例子，它的特征是每次变化的'量〃是一个整数，从零开始，每一步变化记作+1或者-1。下面的图采用一个例子，根据掷硬币来产生随机步骤，头像记作1，背面记作-1：FarstfbpflipThirdfLpRsurtliRlpfifth(hitccfieLanrkrn5223FarstfbpflipThirdfLpRsurtliRlpfifth(hitccfieLanrkrn52232ZLFE-LUEIS■1-+FE1tluz-LEES10工』一13utu±4M-ubslblE±1_+xt-].lllkl-2ttUHL4JH1KL-1I-H1KL1JJMH-L-1H-U+LLLblipLHJj-LLLb—FPTJJ----但是如果我们想比较正式地定义这个过程，我们可以首先认为不同的时间点(上例中为每次掷硬币)为一个整数线二，然后我们确立一系列独立随机变量：乃.乙・■•■每一个变量均有50%的概率值为1或者-1，如上所述，我们可以得到：So=0Sn=立夺j=L分别表示初始位置为0，以及中间某一位置为前面所有步骤变化量的总和。于是，集合‘土.」可以称为在二上的简单随机漫步。该集合是所以1和-1的相加，并计算出漫步距离。％,的期望值口％3为0，也即是说，如果掷硬币的次数增加，每次掷硬币所得到的值的平均数会趋向于0，有限次数相加的期望值为：£($)二、玖勾=0考虑到「变换成另一个类似的计算公式则为：E(明)二£玖兮1这样显示了在n次漫步后，期望的转换距离为心&'大约为，•云事实上，我们能够知道：27T血明如果允许无数次随机漫步，整个过程设定的边界能够有多少次会被经过？在二上的简单随机漫步能够在无限次数中经过所有的点，这样的过程有不同的名字level-crossingphenomenon,recurrence或者thegambler'sruin。如同最后一个名字意思显示：如果一个拥有有限金钱的赌徒与一家拥有无限金钱的银行进行公平地赌博，结果就是赌徒会输光所有的钱，因为赌博过程是一个随机漫步，而在某一点时赌徒的钱数会经过0，输光并结束赌博.27T血明如果a和b是正整数，我们可以进一步推导概率中的鞅(Martingale)以及杨辉三角形(Pascal'striangle)。一维的随机漫步也可以看作是马尔可夫链，其状态矢量空间(statespace)为：■'……，其中某些数p满足l：l-「转换概率(表示从statei到statej的概率)则为=尸=■1"高斯随机漫步这个主要应用于现实的时间序列，例如金融市场等，条件是漫步的步长满足正态分布。例如一个逆积累正态分布(inversecumulativenormaldistribution)中，O-i(z,^,o)，其中0《z<1是分布一致