微积分课件及其答案-黎传奇高数

第四节函数展开成幂级级数★函数展开成幂级数1第十一章无穷级数PAGEPAGE3近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式项式近、函数值的近似计算,以及一些积分、问问:哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?这是本节要讨论的主要问题一、级上节例

xnxn

ln(1

(1

x0f(0

an(x

x

以f(x)为和函数如果能展开如果能展开an是什么展开式是否唯一在什么条件下才能展开成幂级数44回第三章第三节公式:若函数f(x)在回的某邻域内有n+1阶导数,则f(x)可表为f(x)

f(x0)

f(

)(x

x0)

f(x0)(x

x0f(n)(x 0

0(x

x0

f

其中

n

x

介于x与x0之间公式(1)是函数f(x)在x0处展开的公式Rn(x)是日余项如函数f(x)在x0的某邻域内是无穷次连续f(x)是否可展为如下的幂级数xf

x0

x0

x)2

x0

x)n

不不管怎称幂级数(2)为函数f(x)在x0

特别当x0=0时,称幂级f(0)

f(0)x

f

x2

f(n)

xn

为函f(x)

林级数.显然显然级数(2)在什么范围上,f(x取决于在什么范围上有Rnx定理

f(x)在点x0处级数U(x0

(

在Ux内0n0

Rn(x)必要

设x

展开为级数nn i

f

x0)(xx

x)Rn(x)

f(x)

sn1(

ii

sn1(x)

f(x)

lim[

f(x)

sn1(x)]0;充分

n

Rn(x)f(x)

sn1(x)

f(x)

sn1(x)]

Rn(x)即

sn1(x)

f( x

(x).定理2(函数幂级数展开的唯一如果函

(x)在 f(x)

an(x0n00

x)n

an

1f(n)(x

(n

f(0)(x)

f(x000证由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,于00f(x)

a1(x

x0)

an(x

x)nf(x)

2a2(x

x0)

nan(x

x)n10f0

a2

n

x0x

ff(n)(x) (n1)n3n(xx)0xx0即得1an1

f

n 系0系数是唯一的所以f(x)的展开式是唯一的系0

f(n)(00

)(x

x0n级数在收敛区间是否收敛于f(x)?nfx

ex2e

xx在x0点任意可导,

f(n)(0)

(n

fx)

0xnn0

内和函数s

0.可问题fx问题fx)

f(x)的麦氏级数处处不收敛于f二、函数展开成幂级11步求an

f(n);

f(n)写 级数n0

xn,并求收敛半径

Rn(x)0

Rn(x)0则级数在收敛区间内收敛于f例将

(x)

exx解f(nx

ex

f(n)

(n

ex~1x

1x2

1xn其收敛半R

因公式的余

Rn(x)

(n1)! 它满足不等

(ξ介于0x之间xn1e(nxn1e(n

xn1

ex

(n1)!对任一确

xR,xx

是确定的数,

(n是处处收敛的幂级数n0

n!的一般项所以

x(,)上恒

Rn(x)0于是,有展开公xn1exxn1

x1x

1xn

x(,)例将

(x)

sinx展开成x f(n)(x)

f(n)(0)

n,f(2n)1

1

f(2n1)(0)

(1)n,(nx2n1

x x3

x5

(1)n (2n其收敛半

R=对,

内任一点x,sin(n1)sin(n1)2(n

xn1x(n1)!x

(n于是,有展开公

x2n1sinx

x x3

x5(1)n (2nx(,)将

(x)

x)

解

(n)(

n1)(1

x)nf(n)(0)

n

(n

1

1)

n1)xnan

nn所以(1

的级数的收敛区间是在x

1处,对不同的

敛散性不同为了避免讨论余项的极限,设在区间(1,1)

的级数和函数s(x),即s(

1

n1)xn下面证明sx

xx

s(x)

1)(n

xn1(n两边同乘以(1+x)后,注意右边方括号xn系数(n

(1x)s(x)2

n

xn1 s(x)s(s(x)

1x

两边积

s(x)dxxx s(x) xx

1x

x lns(x)

ln

ln(1

二项式展开

1)

n 注在注在x1处收敛性与的取值有关 收敛区间为1 收敛区间为 收敛区间为].当

1时2 11ex1

x1x1

1

1xn

x(,)x2n1sinx

x x3

x5(1)n (2nx(,)(11x

x2

(1)(n

xn在x1处收敛性与的取值有关1,收敛区间

1

1,收敛区间常见的展开1,收敛常见的展开将将函数用直接展开法展开为幂级数,一计算工作量大.而且对许多函数来说求各阶与讨都日型余项Rn(x)趋于零的范的下面介绍间接展开22.间接展开利用常见展开式及等比级数的和等通过逐项求导,逐项积分,变量代换,四则运算,恒等变形等方法,求展开式.根据展开的唯一性它与直接展开法得到sinsinxx1x31x5(1)n x2n1x(,)(2n逐项求导,逐项积分将

(x)

x展开为x的幂级数解cos

x)sx1

1x2

1x4

x2n

x2

(

x将

(x)

x展开为x的幂级数

x) ,1x 1x2x4

(1)nx2n,1x2

x

x1x20 0

x

3

n

x例

(x)

x)展开为x的幂级数解[ln(1

x)]

111

1x

x2

(1)nxn

,

x(1

x)x01x

x

2

3

注注利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性ln(1

x)

x2

x23

xx3(1)n1 xnx当x11ln2,ln

112

13

1narctanx

x3

x35

x2n1x5(1)n 2n当x

tn14

x11

15

2n 考题考题,计算,611x2111x21x2x4(1)nx2nx

1

f(0)arctan1fx)

11

1(1x)(1

111

x2x

x)2

2n1x

(1)n0

(1

x由xf(t)dt

f(t)x

f(x)

f(0)

f(x) f(x)4

xxn0

(1)nt

2n4 4n0

(1) 4

n0

2n

x

(1

x1994考题,1994考题,计算,5

(x)

1ln1 1

12

x展成x的幂级数解f(x)1

41

1x

x2)1

x411

xn1x

x4n

由牛–莱公式f(x)

f(0)

f(

1

4n4n1

4n1

0

(x)

4n

,(1

x变量代换例将ex2展开为x的幂级数, 收敛区间作变量代

tx2 ex

et

x4 x6

x2n x2

1)n ex1xex1x1x21xnx(,) 1x

x2

x3

xn

(1,1)间x1

xx2

x3

xn

(1,1)3 3

1 13

311(13

t

t

1[1

x2 3

xn1

113 13

xx 32

xn13n1

1t

相当

1

x1,33x注今注今后为了书写简单起见,常可以不将的变量写出将

(x)

x1在

1处展开成级数(展开

的幂级)并求

(n)1 4x1

3(

1)

3(1

31[1

x13

(x3

2

x13

nx1x

(

f(n)(

)(n

(x1)(x1)n3n

4

1(x

(x1321

(

33

于是

(n)

3n

x1将将级数(展开x的幂级)并求fn)4

ln(1ln(1x)x将12 21 3x3n1n

x2解ln

ln[2(x2)]

ln21

ln2

2xln12x ln2

x2

x 1

x22

2 1x2n

x(1)n1 n

1

122

x2

展开区

0

ex1

x1x

1xn

x(,)四则运例1

1(ex2x2 x3

exx4

x2 x3 x4 2 1x 2

1x

1

2 2

x2n

(

xe例 展为x的幂级数1 1xx2

xn

x1ex1x

1x2

1xn

,

xx相乘xxx 111xx

111

21

11

1

1xn

,

x sinsinx(2n1)!,xt将

(x)

展为x的幂级数解

t(tn0

t2(2n1),(2n

t逐项积分

f(x)

x(1)nxn

t2(2n1)(2nx4n(1)n0

(2n1)!(4n3)

xex1

x1x1

1

1xn

x(,)x2sinx

x

x5

(1)n (2nx(,)

1

1x2

1

2x(1)n x,ln(1

x

1x22

1x33

nnn

x1

(1)x2(

n1)xn

x常用已知和函数的幂级

1 2n1

1x

(2)

(1)

1x2(3)

ax2n

xx

ex

1x

n0

(1)n1

x2n1 (2n

sin

(1)nn0

xn1

ln(1

(n例求常数项级

的和n0

(n 分这个常数项级数是幂级分

n0在x=1时对应的级数.显然这个幂级数收敛域(,).故先求此幂级数的和函数sx

n0

(nxn

2n02

2n1xnn0

nxn22

n0

2nxn

n0

1xnnn0xnex

xn(n

xn(n

ex

xn(n

xn(n

ex

xn

ex

n11xn(n

xnex(n

n0 xn

xnexn2

(n

(nkx2 kk0

3x kk0 k

ex(x2

3x

1)exn0

(n

s(1)求常数项

n0

2n

的和法

n0

2n

n

n n0

1

n0n

1 n01 n令sx)

n0

2n

x2n

,x1s(1)法

n0

2n逐项积逐项积xs(x

x2n

x2ndx

x2n1 n0

n0n0xnn0xnx

(x2)n x2 n0

xn0

x

x2故sx)2

(xex2

ex2

2x2ex2

2x2)ex2x1,得s(1

n0

2n

(1

2x2)e

x

分析令sx

n0

1x2n1

s(x)

n0

2n求n求n02n的和

x2nx=1,

s(1)

n0

2n法三sx

n0

1x2n1

xn0

x2n

e

x上式两边求导

s(x)

n0

2n

x2n

22x2)ex2s