1集合的概念及其关系

集合的概念与关系知识讲解一、集合的概念集合某些指定的对象集在一起成为集合集合中的对象称元素若a是集合A的元素，记作aeA；若b不是集合A的元素，记作bWA；集合的性质确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示1.集合的三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：｛1,2,3,4,5｝，｛1,2,3,4,5,｝描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括与｝内.例如：大于3的所有整数表示为：｛XeZIx>3｝方程x2—2x—5=0的所有实数根表示为：｛xeR|x2-2x-5=0｝图示法具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作^或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q;实数集，记作R.三、集合之间的关系子集关系定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A）,记作A匚B（或AuB）;简单性质：1）AJA;2）0^A;3）若AJB,BJC,则AJC;真子集关系对于两个集合A与B若AjB且A。B则集合A是集合B的真子集记作AUB（或BYA）.相等关系：对于两个集合A与B，如果AjB，且BjA，那么集合A与B相等，记作A=B空集定义：不含任何元素的集合叫做空集性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合入，有0J0,0G｛0｝；An0=0；Au0=A；0JA。注意事项：0与｛0｝是不同的，0只是一个数字，而｛0｝则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0e｛0｝0与｛0｝是不同的，0中没有任何元素，｛0｝则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（0U｛0｝）0与｛0｝是不同的，0中没有任何元素，｛0｝则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是0e｛0｝或0匚｛0｝或0U｛0｝显然，0W0，0任｛0｝子集个数问题设集合A中元素个数为〃，则①子集的个数为2”，②真子集的个数为2、-1，③非空真子集的个数为2”-2典型例题一,选择题（共12小题）（2017秋•九原区校级期中）下列命题中正确的是（）（1）。与｛0｝表示同一集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为｛1，2，3｝或｛3，2，1｝；（3）方程（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示为｛1,1,2｝；（4）集合｛x|2VxV5｝可以用列举法表示.A.只有（1）和（4）B.只有（2）和（3）C.只有（2）D.以上语句都不对【解答】解：（1）。没有元素，｛0｝表示有0这一个元素，故不是同一集合；故（1）错误；（2）由1,2,3组成的集合可表示为｛1,2,3｝或｛3,2,1｝,故（2）正确；（3）方程（x-1）2（x-2）=0的所有解的集合可表示为｛1,2｝；故（3）错误；（4）集合｛x|2VxV5｝不可以用列举法表示，故（4）错误，故选：C..（2017秋•温江区校级月考）下列说法正确的是（）A.很小的实数可以构成集合B.｛y|y=x2-1｝=｛（x，y）|y=x2-1｝C.自然数集N中最小的数不是1D.空集是任何集合的真子集【解答】解：A、对于“很小〃不确定，故本选项错误；B、对于集合｛y|y=x2-1｝表示的是函数y=x2-1的值域；而集合｛（x，y）|y=x2-1｝表示的是y=x2-1图象上的点，故本选项错误；［自然数集N中最小的数是0,故本选项正确;D、空集是任何非空集合的真子集，但不是空集的真子集，故本选项错误；故选：C.（2017秋•黄陵县校级期末）下列关系式中，正确的是（）A.0E{0}B.0{0}C.0E{0}D.0={0}【解答】解：对于E{0},用y〃不对，对于B和C,元素0与集合{0}用V〃连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确..（2017秋•平安县校级期中）已知全集U=R,N={x|-3<x<0},M={x|xV-1},则图中阴影部分表示的集合是（）A.{x|-3<x<-1}B.{x|-3<x<0}C.{x|-1Wx<0}D.{x<-3}【解答】解：由图象知，图中阴影部分所表示的集合是Nn(cum)/又M={x|x<-1},/.CUM={x|x^-1}.・.Nn(CUM)=[-1,0)故选：C..（2012秋•郾城区校级期中）有以下四个集合（1）{x|x2-2x+1=0}；（2）{-1,2}；（3）{（-1,2）}；（4）{边长为3,4的三角形}.其中为单元素集合的是（）A.（3）（4）B.（1）（3）C（1）（3）（4）D（2）（4）【解答】解：（1）{x|x2-2x+1=0}={1}为单元素集；（2）{-1,2}为二元素集；（3）{（-1,2）}为单元素集；（4）{边长为3,4的三角形}有两个满足条件的等腰三角形，为二元素集；故选：B..（2017秋•长泰县校级期中）若集合A={x|kx2-2x-1=0}只有一个元素，则实数k的取值集合为（）A.{-1}B.{0}C.{-1,0}D.（-8,-1]u{0}【解答】解：由集合A={x|kx2-2x-1=0}中只有一个元素，当k=0时，-2x-1=0,即x=-L,A={-1}，成立；22当30时，△=4+4k=0，解得k=-1.A={x|-x2-2x-1=0}={-1}，成立.综上，k=0或-1.故选：C..（2018・芜湖模拟）已知集合A={xEN|x2+2x-3<0},则集合A的真子集个数为（）A31B32C3D4【解答】解：..•集合A={x^N|x2+2x-3W0}={x「N|-3WxW1}={0,1},・・・集合A的真子集个数为22-1=3..（2018・洛阳三模）已知集合A={0,1,2},B={1,m}.若BWA,则实数m的值是（）A.0B.2C.0或2D.0或1或2【解答】解：..•集合A={0,1,2},B={1,m},BWA,・'.m=0或m=2.・.・实数m的值是0或2.故选：C..（2018•浙江模拟）已知集合A={1,2},B={x|x2-（a+1）x+a=O，a仁R}，若A=B，则a=（）A.1B.2C.-1D.-2【解答】解：・「A={1，2},B={x|X2-（a+1）x+a=0,a^R}，若A=B，则1，2是方程|x2-（a+1）x+a=0得两根，则，即a=2.U）＜2=a故选：B..（2017秋•黄陵县校级期末）含有三个实数的集合可表示为{a，旦，1}，也aTOC\o"1-5"\h\z可表示为{a2，a+b，0}，则32012+132013的值为（）A.0B.1C.-1D.±1【解答】解：根据题意，由{a，b，1}={a2，a+b，0}可得a=0觐=0，aa又由旦的意义，则a尹0，必有旦二0，aa则{a,0,1}={a2,a,0},则有a2=i，即a=1或a=-1,集合{a,0,1}中，a3，则必有a=-1,贝Ua2012+b2013=(-1)2012+02013=1,故选：B.(2018春•金凤区校级期末)集合A={(x,y)|y=x}和B二{(m,y)件^=1},(s+4y=5则以下结论中正确的是()A.1EAB.BCAC.(1,1)CBD.EA【解答】解：解方程组次十目得*,Ix-F4y=5IB={(1,1)},满足A={(x,y)|y=x},・.・BCA,故选：B..(2018春•陆川县校级期末)若{1,2}CAC{1,2,3,4,5},则集合A的个数是()A.8B.7C.4D.3【解答】解：集合A有：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.故选：A.二，填空题(共2小题).(2017秋•襄州区校级月考)已知集合虹&晶二弩，E二{x|x弩+L口EZ}，则集合A、B的关系为A=B.【解答】解：由集合A得：A=(x|x=§(2n+1),nEZ},由集合B得：B=(x|x=§(2n+3),nEZ},,「(x|x=2n+1,nEZ}=(x|x=2n+3,nEZ},.・.A=B,故答案为：A=B.14.(2018春•启东市校级月考)已知集合A=(x|-2WxW7},B=(x|m+1VxV2m-1},若BeA,则实数m的取值范围是(-8,4].【解答】解：..•集合A=(x|-2WxW7},B=(x|m+1VxV2m-1},BeA,.•.当B=0时，m+1N2m-1，解得mW2,当B头。时，2，且m+1V2m-1,1,福-1<7解得2VmW4