高一数学：《5-2 三角函数的概念》最新教研教案教学设计

【新教材】5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计（人教A版）本节内容是学生学习了任意角和弧度制，任意角的三角函数后，安排的一节继续深入学习内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数知识的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。课程目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．数学学科素养1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理：“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入公式一表明终边相同的角的三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本182-183页，思考并完成以下问题1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2eq\f(π,19)＋cos2eq\f(π,19)＝1等．四、典例分析、举一反三题型一应用同角三角函数关系求值例1(1)若，求cosα，tanα的值；(2)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．【答案】(1)当α是第三象限角时，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝.α是第四象限角时，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝-(2)如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\f(15,17)，tanα＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，sinα＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).【解析】(1)∵sinα＝－eq\f(3,5)，α是第三、第四象限角，当α是第三象限角时，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝.α是第四象限角时，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝-(2)∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))\s\up12(2))＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).解题技巧：（利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法）(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．跟踪训练一1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．【答案】角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).【解析】∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；当角α的终边在第四象限时，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).题型二三角函数式的化简、求值例2(1)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°))；(2)若角α是第二象限角，化简：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).【答案】（1）1；（2）-1.【解析】(1)原式＝eq\f(\r(sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.(2)原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(|cosα|,|sinα|)＝eq\f(sinα,cosα)×eq\f(－cosα,sinα)＝－1.解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练二1．化简：(1)eq\f(cos36°－\r(1－cos236°),\r(1－2sin36°cos36°))；(2)eq\f(sinθ－cosθ,tanθ－1).【答案】(1)1；(2)cosθ.【解析】(1)原式＝eq\f(cos36°－\r(sin236°),\r(sin236°＋cos236°－2sin36°cos36°))＝eq\f(cos36°－sin36°,\r(cos36°－sin36°2))＝eq\f(cos36°－sin36°,|cos36°－sin36°|)＝eq\f(cos36°－sin36°,cos36°－sin36°)＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ－cosθ,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(cosθsinθ－cosθ,sinθ－cosθ)＝cosθ.题型三三角函数式的证明例3求证：.【答案】见解析【解析】解题技巧：（三角函数式解题思路及解题技巧）1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．跟踪训练三1．求证：eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx).【答案】见解析【解析】证明：右边＝eq\f(1＋\f(sinx,cosx),1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(cosx＋sinx2,cosx－sinxcosx＋sinx)＝eq\f(1＋2sinxcosx,cos2x－sin2x)＝左边，∴原等式成立．题型四“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系例4已知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且0＜α＜π.求：(1)sinαcosα的值；(2)求sinα－cosα的值．【答案】(1)－eq\f(12,25)；(2)eq\f(7,5).【解析】证明：(1)∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，即sinαcosα＝－eq\f(12,25).(2)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵0＜α＜π，且sinαcosα＜0，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).解题方法（“sinα±cosα”同“sinαcosα”间的关系）1、已知sinθ±cosθ求sinθcosθ，只需平方便可．2、已知sinθcosθ求sinθ±cosθ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sinθ±cosθ的正负．跟踪训练四1.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，则tanα＝．2.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，计算下列各式的值：(1)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.1、【答案】－eq\f(12,5).【解析】法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(（sinα－cosα）2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).2.【答案】（1）eq\f(8,9)；(2)eq\f(13,10).【解析】由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化简得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.（1）法一(换元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).(2)原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋