定积分-微积分基本公式

第二讲微积分基本公式内容提要

1.变上限的定积分；2.牛顿－莱布尼兹公式。教学要求1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法；2.熟悉牛顿－莱布尼兹公式。定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第1页!一、变上限的定积分一般地，若?设物体作直线运动，

其速度，

则在时间间隔

若已知路程函数的路程也可表示为在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.内所经过的路程为则在时间间隔

内经过定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第2页!记为称它为变上限定积分所确定的函数,(变上限定积分)定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第3页!关于定理的说明：即任何一个连续函数必存在原函数。定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第4页!解定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第5页!证二、牛顿—莱布尼兹公式令定理2再令牛顿：英国数学家莱布尼兹：德国数学家定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第6页!解定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第7页!解定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第8页!于是定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第9页!牛顿（1642.12.25—1727.3.20）生平简介牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。牛顿的幼年是不幸的，他是个遗腹子，又是早产儿，生下来只有3磅重，人们都担心他活不长久，可谁料到，就在这个小的可怜的头脑里孕育着非凡的才智，他的思想影响了人类数百年。牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础，被益为“有史以来最伟大的科学家”。在60多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”

牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄傲，让我们为之欢呼吧！”定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第10页!定理1则定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第11页!解由复合函数求导法则，解：定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第12页!例4求极限解定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第13页!说明：这样，牛顿莱布尼兹公式又可写成或解解牛顿莱布尼兹公式定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第14页!解定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第15页!例6

设

解解：将和式改写为定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第16页!3.牛顿—莱布尼兹公式1.变上限定积分2.变上限定积分的导数小结牛顿－莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的关系．定积分——微积分基本公式共18页，您现在浏览的是第17页!莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育。1661年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年5月获学士学位；1664年1月获哲学硕士学位；1667年2月，获法学博士学位。莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解剖学、哲学、历史和外交，等等。其中以数学和哲学最为著名。莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当过教授。但他的工作领域是广泛的，他的业余活动的范围是庞大的。1716年他无声无息的死去。直到1793年，汉诺威人才为他