余弦函数正切函数的图象与性质一学案人教B版

余弦函数、正切函数的图象与性质一自主学习知识梳理1．余弦函数图象的画法1依据诱导公式co＝ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1＋\fπ,2，要得到＝co的图象，只须把＝in的图象向______平移______个单位长度即可．余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如下图所示：2用“五点法”画出余弦函数＝co在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：__________，__________，________，________，________2．正弦函数、余弦函数的性质对比：函数＝in＝co图象定义域值域奇偶性周期性最小正周期：____最小正周期：____单调性在________________上单调递增；在__________________上单调递减在____________上单调递增；在______________上单调递减最值在______________时，ma＝1；在__________时，min＝－1在__________时，ma＝1；在____________时，min＝－1自主探究与正弦曲线一样，余弦曲线同样既是中心对称图形，也是轴对称图形．1函数＝co∈R的对称中心有________个，它们的坐标是______________；对称轴有________条，它们的方程是____________．2函数f＝Acoω＋φAω≠0当且仅当__________时，函数f的图象关于点0,0中心对称；当且仅当____________时，函数f的图象关于直线＝0轴对称．对点讲练知识点一余弦函数的单调性例1求函数＝3coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,3－\f,2的单调递增区间．回顾归纳确定函数＝Ainω＋φ或＝A·coω＋φ单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ω＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．变式训练1求函数＝ogeq\f1,2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,3－\f,2的单调递增区间．知识点二余弦函数的最值例21求函数＝3co2－4co＋1，∈eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co1\fπ,3，\f2π,3的值域；2已知函数＝acoeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\fπ,3＋3，∈eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co10，\fπ,2的最大值为4，求实数a的值回顾归纳求三角函数最值的两种基本类型1将三角函数式化为＝Acoω＋φ＋的形式，结合有界性求最值；2将三角函数式化为关于co或in的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．变式训练2若函数＝a－bcob>0的最大值为eq\f3,2，最小值为－eq\f1,2，求函数＝－4acob的最值和最小正周期．知识点三余弦函数图象的对称性例3已知函数＝2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\f2,3π1在该函数的对称轴中，求离轴距离最近的那条对称轴的方程；2把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值．回顾归纳关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：1f＝Ainω＋φ或Acoω＋φ的图象关于＝0对称f0＝A或－A2f＝Ainω＋φ或Acoω＋φ的图象关于点0,0中心对称f0＝0变式训练3把函数＝coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1＋\f4π,3的图象向右平移φ个单位，正好关于轴对称，求φ的最小正值．1．余弦函数＝co∈R是偶函数，而且是周期函数，＝Ainω＋φ一样，函数＝Acoω＋φω≠0的周期也是eq\f2π,|ω|2．与正弦曲线类似，函数＝Acoω＋φω>0，φ>0的图象也可由＝co的图象通过变换得到，变换规律相同．3．在研究＝Acoω＋φ的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ω＋φ＝2π∈Z时取得最大值，在ω＋φ＝2π＋π∈Z时取得最小值课时作业一、选择题1．函数＝2－co的单调递增区间是A．[2π＋π，2π＋2π]∈ZB．[π＋π，π＋2π]∈Z\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co12π，2π＋\fπ,2∈ZD．[2π，2π＋π]∈Z2．若＝in是减函数，＝co是增函数，那么角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数＝coin的最小正周期是\fπ,2B．πC．2πD．4π4．要得到＝coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12－\fπ,4的图象，只要将＝in2的图象A．向左平移eq\fπ,8个单位B．向右平移eq\fπ,8个单位C．向左平移eq\fπ,4个单位D．向右平移eq\fπ,4个单位5．在0,2π内使in>|co|的的取值范围是\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,4，\f3π,4\b\c\\rc\]\a\v4\a\co1\fπ,4，\fπ,2∪eq\b\c\\rc\]\a\v4\a\co1\f5π,4，\f3π,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,4，\fπ,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f5π,4，\f7π,4二、填空题6．函数＝eq\r2co＋1的定义域是____________．7．方程2＝co的实数解有________个．8．为得到函数＝co的图象，可以把＝in的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．三、解答题9．判断下列函数的奇偶性并求最小正周期．1f＝coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1π－\fπ,2；2f＝ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f2,3＋\f3,2π10．已知＝gco21求它的定义域、值域；2讨论它的奇偶性；3讨论它的周期性；4讨论它的单调性．1．余弦函数、正切函数的图象与性质一答案知识梳理1．1左eq\fπ,220,1eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,2，0π，－1eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f3,2π，02π，12函数＝in＝co图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－eq\fπ,2＋2π，eq\fπ,2＋2π]∈Z上单调递增；在[eq\fπ,2＋2π，eq\f3π,2＋2π]∈Z上单调递减在[－π＋2π，2π]∈Z上单调递增；在[2π，π＋2π]∈Z上单调递减最值在＝eq\fπ,2＋2π∈Z时，ma＝1；在＝－eq\fπ,2＋2π∈Z时，min＝－1在＝2π∈Z时，ma＝1；在＝π＋2π∈Z时，min＝－1自主探究1无数eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,2，0，∈Z无数＝π，∈Z2f0＝0f0＝A或f0＝－对点讲练例1解＝3coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,3－\f,2＝3coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f,2－\fπ,3由2π－π≤eq\f,2－eq\fπ,3≤2π∈Z解得4π－eq\f4,3π≤≤4π＋eq\f2,3π∈Z，∴函数＝3coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,3－\f,2的单调递增区间为eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co14π－\f4,3π，4π＋\f2π,3∈Z．变式训练1函数＝ogeq\f1,2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,3－\f,2的单调递增区间是eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co14π＋\f2π,3，4π＋\f5π,3∈Z．例21eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co1－\f1,4，\f15,422或－1变式训练2ma＝2，min＝－2，T＝2π例3解1令2＋eq\f2,3π＝π，∈Z，解得：＝eq\fπ,2－eq\fπ,3，∈Z令＝0，＝－eq\fπ,3；令＝1，＝eq\fπ,6∴函数＝2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\f2π,3的对称轴中离轴最近的一条对称轴的方程是＝eq\fπ,62设该函数向右平移φ个单位后解析式为＝f，则f＝2coeq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co12－φ＋\f2π,3＝2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\f2,3π－2φ∵＝f的图象关于原点0,0对称，∴f0＝2coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f2π,3－2φ＝0∴eq\f2π,3－2φ＝π＋eq\fπ,2，∈Z解得：φ＝eq\fπ,12－eq\fπ,2令＝0，得：φ＝eq\fπ,12∴φ的最小正值是eq\fπ,12变式训练3φ的最小正值为eq\fπ,3课时作业1．D\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co12π－\f2,3π，2π＋\f2,3π，∈Z\f3,2π9．解1f＝coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\fπ,2－π＝inπ，∴f－＝in－π＝－inπ＝－f．∴f是奇函数．最小正周期T＝eq\f2π,π＝22f＝ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f2,3＋\f3,2π＝－coeq\f2,3∴f－＝f．∴f是偶函数．最小正周期T＝eq\f2π,\f2,3＝3π10．解1要使函数f＝gco2有意义，则co2>0，即－eq\fπ,2＋2π<2<eq\fπ,2＋2π，∈Z，－eq\fπ,4＋π<<eq\fπ,4＋π，∈Z，∴函数的定义域为eq\b\c\{\rc\}\a\v4\a\co1|－\fπ,4＋π<<\fπ,4＋π，∈Z由于在定义域内0<co2≤1，∴gco2≤0，∴函数的值域为－∞，0]．2∵f－＝gco[2·－]＝gco2＝f，∴该函数是偶函数．3∵co2的周期为π，即co2＋π＝co2∴f＋π＝gco2＋π＝gc