系统工程第06讲课件

系统工程(C类)

上海交通大学宋元斌系统工程(C类)

上海交通大学1第四章系统模型化第一节系统模型化概述第二节系统结构的模型化第四章系统模型化第一节系统模型化概述2第二节系统结构的模型化任何系统都是由两个以上的有机联系、相互作用的要素组成的。结构：组成系统诸要素之间相互关联的方式，结构是决定系统功能的最本质的因素。（石墨与金刚石的差别就在结构方面）大规模复杂系统要素众多、层次丰富、结构复杂系统结构模型化通常是对大规模复杂系统进行数学建模和定量分析的基础。在对大规模复杂系统建模的步骤中通常包括一项重要任务“确定模型结构”。先要建立系统结构的模型，进行系统的结构分析，以求得对问题本质的全面认识，然后建立数学模型，进行定量分析。第二节系统结构的模型化任何系统都是由两个以上的有机联系、相互3构造模型的步骤明确目的和要求进行一般语言描述抓住主要变量及关系确定模型结构估计模型参数进行实验研究是否与现实相符？结束修正模型构造模型的步骤明确目的和要求进行一般语言描述抓住主要变量及关4系统结构模型结构模型：定性表示系统要素及要素间的关联情况结构模型突出表现系统要素之间的相互作用的性质。结构分析：建立系统结构模型分析系统的结构解释（经过分析后的）结构模型系统结构模型结构模型：定性表示系统要素及要素间的关联情况5系统结构分析的重要意义系统结构分析是模型化过程中的一项重要内容。对系统结构的正确认识与描述是数学模型和定量分析所无法取代的。回忆上堂课讲的逻辑模型系统结构分析的重要意义系统结构分析是模型化过程中的一项重要内6系统结构的基本表达方式集合有向图矩阵某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。问题：S1能否间接影响S6？系统结构的基本表达方式集合某系统，已经发现有7个要素，分别标7系统结构的集合表达系统中的要素系统由n（n≥2）个要素(S1,S2,…,Sn）所组成，其集合为S，可表述为：

S=S{S1,S2,…,Sn}要素之间的关系（二元关系*）要素之间的关联方式可以用S上的二元关系集合Rb表示。Rb是满足某种二元关系R的所有要素对（Si，Sj）的集合。其中，Si，Sj都属于S集合。系统结构的集合表达系统中的要素8二元关系二元关系：存在于两个要素Si和Sj之间的关系Rij常见的二元关系有因果关系、包含关系、隶属关系、影响关系、比较关系二元关系是结构分析中所研究的系统要素之间的基本关系，一般有如下三种情形：SiRSj：Si和Sj之间存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间不存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间的二元关系R不明确-~二元关系二元关系：存在于两个要素Si和Sj之间的关系Rij-9二元关系二元关系的传递性通常情况下二元关系具有传递性有SiRSj和SjRSk，则有

SiRSk

反映两个要素的间接联系，记作Rt（t为传递次数）,如SiR2Sk

注意：有些二元关系不具有传递性，如相交关系，A与B相交，B与C相交，不能退出A与C相交。强连接关系相互关联的二元关系，如有SiRSj同时有SjRSi

具有强连接关系的各要素之间存在替换性。二元关系二元关系的传递性10系统结构的集合表达该系统的基本结构可表示为：要素集合S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}二元关系集合Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。系统结构的集合表达该系统的基本结构可表示为：某系统，已经发现11系统结构的有向图表示节点表示系统构成要素有向弧表示要素之间的二元关系通路长度：节点i(Si)节点j(Sj)间的最少有向弧数，Si和Sj之间二元关系的（最少）传递次数。回路：从某节点出发，沿着有向弧通过其他节点各一次可回到该节点时，形成回路。呈强连接关系的要素节点间存在双向回路。5162374系统结构的有向图表示节点表示系统构成要素516237412系统结构的矩阵表示邻接矩阵（A）：要素间直接联系，未表示间接联系5162374如果有一列（如第j列）元素全为0，则Sj要素为系统输入要素，因为该要素节点没有入箭头。如S3和S7如果有一行（如第i列）元素全为0，则Si要素为系统输出要素，因为该要素节点没有出箭头。如S1和S5系统结构的矩阵表示邻接矩阵（A）：要素间直接联系，未表示间接13系统结构的三种描述方式比较S＝{S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S4,S6),(S6,S4),(S7,S2)}集合S1S2S3S4S5S6S7有向图0000000100000000010000000110000000000010000100000邻接矩阵S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中联系元素数目有向弧数目矩阵中“1”的数目系统结构的三种描述方式比较S＝{S1,S2,S3,S414系统结构的矩阵表示可达矩阵（M）使用矩阵形式表示有向图中各个节点之间通过任意长的路径可以到达（即间接影响）的 情况。或者说，是系统要素之间任意次传递的二元关系若M=（mij）nxn，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为t，0=<t<=r,r为最长路径（传递次数）：当t=0时，表示Si自身到达（反射性二元关系）,M=I当t=1时，表示基本的二元关系，M=A当t>=2时，表示传递的二元关系系统结构的矩阵表示可达矩阵（M）15可达矩阵可达矩阵求解：可以用邻接矩阵A加上单位矩阵I，再经过若干次自乘运算求得。M=(A+I)r最大传递次数按下式确定

(A+I)1≠(A+I)2≠

(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r

=(A+I)r+1=…=(A+I)n可达矩阵可达矩阵求解：16系统结构的有向图表示系统结构的有向图表示17系统结构的有向图表示C）可达矩阵系统结构的有向图表示C）可达矩阵18系统结构的有向图表示(A+I)3就是反映总体通达(传递)关系的可达矩阵最大路径长度（传递次数）r=3.系统结构的有向图表示(A+I)3就是反映总体通达(19区域划分5162374延续前例：进行可达矩阵计算(A+I)2=(A+I)3区域划分5162374延续前例：进行可达矩阵计算(A+I)220解释结构模型解释结构模型（InterpretativeStructuralModeling，ISM）技术是美国J·N·沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。基本思想：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，明确问题的层次和整体结构，最后用文字加以解释说明。解释结构模型解释结构模型（InterpretativeS21解释结构模型应用ISM可以提高分析员对问题的认识和理解程度。该技术广泛适用于认识和处理各类系统的结构分析问题不需高深的数学知识模型直观且有启发性各种背景人员可参加解释结构模型应用ISM可以提高分析员对问题的认识和理解程度。22ISM工作原理意识模型要素及要素关系可达矩阵区域划分级位划分解释结构模型有向图邻接矩阵多级递阶有向图提取骨架矩阵优势：可以求出利用其他方法无法找出的间接联系。这些间接联系对研究系统的整体特性具有重要意义。

修正？递阶结构模型分析报告YesNoISM工作原理意识模型要素及可达矩阵区域划分级位划分解释结23如何划分区域（1）将与要素Si（i=1，2，…，n）相关联的所有要素划分成两类集合：可达集R（Si）：由Si可到达的诸要素所构成的集合先行集A（Si）：可到达Si的诸要素所构成的集合如何划分区域（1）将与要素Si（i=1，2，…，n）相关24如何划分区域（2）求共同集C(Si)：Si的可达集和先行集的交集。

SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)

111,2,7121,22,7233，4，5，63344，5，63,4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777如何划分区域（2）求共同集C(Si)：Si的可达集和先行集25可达集、先行集、共同集的关系区域划分的集合Si本身一定在C(Si)中与Si强连接的要素一定在C(Si)中可达集、先行集、共同集的关系区域划分的集合Si本身一定在C(26区域划分的集合可达集R（Si

）由Si可到达的诸要素所构成的集合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到达Si的诸要素所构成的集合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可达集和先行集的交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n区域划分的集合可达集R（Si）27区域划分起始集在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，A（Si）=C（Si）

区域划分起始集28区域划分终止集在S中只被其他要素到达影响（到达）的要素所构成的集合，记为E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，R（Si）=C（Si）区域划分终止集29区域划分判断系统要素集合S是否可分割（是否相对独立）只需判断起始集B（S）中的要素及其可达集能否分割，例如B(S)={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只需判断终止集E（S）中的要素及其先行集要素能否分割区域划分的结果可记为：

∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。不可分割区域划分判断系统要素集合S是否可分割（是否相对独立）不可分割30区域划分利用起始集B（S）判断区域能否划分在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。利用终止集E（S）来判断区域能否划分只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分利用起始集B（S）判断区域能否划分31区域划分可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延续前例：进行区域划分先列Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），再找出起始集B（S）（类似地，可以找出E（S））区域划分可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（32OO34561273456127M（P）=P1P21.区域划分（7）因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ（空集），所以两个可达集分属两个相对独立的区域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵，记为M（P）

：úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé1110110011110010011101111OO345633级位划分在某个区域内进行级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。也有教材称为“层级划分”。建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用Li表示从高到低的各级要素集合，则级位划分的结果：

∏（P）=L1，L2，…，LI（其中l为最大级位数）最高级位的要素即该系统的终止集要素。级位划分在某个区域内进行级位划分，即确定某区域内各要素所处层34级位划分级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Li）。级位划分级位划分的基本做法是：35令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩阵（子图）求得的共同集和可达集。级位划分令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：级位36级位划分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如对前例中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分级位划分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）∏（P137级位划分54631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300对P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分的结果为：∏（P1）=L1，L2，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}对P2={S1，S2，S7}进行级位划分的结果为：

∏（P2）=L1，L2，L3=

{S1}，{S2}，{S7}这时的可达矩阵为M（L）为区域块三角矩阵，如下：为什么不是三角阵？级位划分54638提取骨架矩阵骨架矩阵：也即为M（L）的最小实现矩阵。提取骨架矩阵A’的三个步骤:1.去掉各层次中的强连接要素，得到缩减矩阵M’（L）2.去掉M’（L）中要素间的越级二元关系，得到进一步简化的矩阵M’’（L）3.进一步去掉M’’（L）中自身到达的二元关系，得到骨架矩阵A’（具有最少的二元关系个数）。提取骨架矩阵骨架矩阵：也即为M（L）的最小实现矩阵。39提取骨架矩阵543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300如对原例M（L）中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理把S4作为代表要素，去掉S6。提取骨架矩阵54340提取骨架矩阵

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300如M’（L）中，去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M’（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得M’’（L）

：提取骨架矩阵54341提取骨架矩阵

543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300将M’’（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到骨架矩阵A’。提取骨架矩阵5442绘制多级递阶有向图根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图：1.分区域从上到下逐级排列系统构成要素。（终止集放在最上面）2.同级加入被删除的与某要素有强连接关系的要素（如例中的S6），及表征它们相互关系的有向弧。按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图。绘制多级递阶有向图根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图：43S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级结束多级递阶有向图S1S2S7S3S4S5S6第1级结束多级递阶有向图44以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：递阶结构模型建立过程区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图（块对角阵）（区域块三角阵）（区域下三角阵）M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）根据问题的背景，将递阶有向图转化为解释结构模型（用文字加以解释）以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程45解释结构模型的应用例子;现在以讨论人口控制综合策略问题为例，介绍在应用ISM时，如何根据人们的经验和对话过程，直接求得可达短阵，并据此建立解释结构模型。人口控制综合策略问题的讨论是这样提出的。改革开放以来，由于社会保障与保健制度的完善，人民健康水平有了很大提高，使得人们的平均寿命也有了提高，这样，死亡率就相应地降低了。同时，由于国民收入的不断增长，生活水平的不断提高等，导致生育率有所提高。因此，种种因素导致了我国人口的迅速增加。众所周知，人口的过分增长带来的影响是不利的。为此．专门成立了由各方面有关人员参加的研究小组对人口的综合控制问题进行分析研究。小组成员经过讨论分析后，决定应用ISM分析和确定影响我国总人口增长的因素，并据此制定有关政策。解释结构模型的应用例子;现在以讨论人口控制综合策略46影响人口增长的因素很多，经过小组成员讨论，提出了以下的主要因素：

(1)期望寿命S1(7)环境污染程度S7(2)医疗保健水平S2(8)国民收入S8(3)国民生育能力S3(9)国民素质S9(4)计划生育政策S4(10)出生率S10(5)国民思想风俗S5(11)死亡率S11(6)食物营养S6(12)总人口S12影响人口增长的因素很多，经过小组成员讨论，提出了以下的主要47这些影响人口增长的因素可以通过小组成员的经验进行分

析，并经过多次小组讨论，以确定它们之间的关系。VVAAAAS1VVVS2VVAAS3VVAAXS4VVAAS5VVVS6VVS7VVVS8VVS9VS10VS11

S12其中：V表示方格图中的行(或上位)要素直接影响到列(或下位)要素；A表示列要素对行要素有直接影响；X表示行列两要素相互影响(称之为强连接关系)。这些影响人口增长的因素可以通过小组成员的经验进行分

析，并48（1）根据人口增长因素的相互影响关系，可得到邻接矩阵，按S1，S2，…，S12的顺序安排影响关系的取值（1）根据人口增长因素的相互影响关系，可得到邻接矩阵，按S149（2）根据邻接矩阵求可达矩阵（2）根据邻接矩阵求可达矩阵50区域划分略区域划分略51（3）级位划分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,11,121,2,6,7,8121,2,3,11,122233，10，122,3,6,8344,5,10,124,5,8,94,554,5,10,124,5,8,94,561,3,6,10,11,126671,7,11,127781,3,4,5,8,10,11,128894,5，9,10,12991010,123,4,5,6,8,9,10101111,121,2,6,7,8,111112121,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1212S12为第1级要素（3）级位划分52级位划分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,111,2,6,7,8121,2,3,112233，102,3,6,8344,5,104,5,8,94,554,5,104,5,8,94,561,3,6,10,116671,7,117781,3,4,5,8,10,118894,5，9,109910103,4,5,6,8,9,1010111,2,6,7,8,1111S10，S11为第2级要素级位划分SiR(Si)53级位划分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)111,2,6,7,8121,2,322332,3,6,8344,54,5,8,94,554,54,5,8,94,561,3,66671,77781,3,4,5,88894,5，999S1，S3，S4，S5为第3级要素

级位划分SiR(Si)54级位划分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)22226666777788889999S2，S6，S7，S8，S9为第4级要素

级位划分SiR(Si)55（4）按层次级别重新排列可达矩阵S4，S5构成回路（4）按层次级别重新排列可达矩阵56提取骨架矩阵的步骤略。有兴趣的同学可以自己补充。提取骨架矩阵的步骤略。有兴趣的同学可以自己补充。57（5）多级递阶结构图（5）多级递阶结构图58（6）解释结构模型（6）解释结构模型59分析解释以往，我国制订有关政策的中心是放在计划生育上，但是，在模型建立以后，可以清楚地看到环境污染和食物营养等因素也是影响总人口的重要因素。1）总人口系统是一个4级的多级递阶系统。其中，影响总人口增长的直接因素是出生率与死亡率。不言而喻，为使总人口增长不致太快，关键是要控制出生率。2）从第2级和第3级的因素分析，影响死亡率大小的直接因素是期望寿命。而影响出生率大小的因素是国民生育能力、计划生育政策，以及国民思想风俗。其中，国民生育能力的大小与人口的年龄结构有关。可以控制的因素是计划生育政策，且对出生率影响较大。而且，它还和国民思想风俗相互影响。分析解释以往，我国制订有关政策的中心是放在计划生育上，但是，60分析解释2）（续）如果计划生育政策宣传和执行得好，同时人们“重男轻女”的观念改变的话，就会较好地控制出生率的大小；反之，会使出生率提高。因此，关键在于计划生育政策的执行和人们传统思想的转变。3）再看第4级和第3级要素之间的关系。在第4级要素中，国民收入、医疗水平、食物营养对生育能力都有影响。而环境污染水平直接影响期望寿命。总之，提高国民收入水平，增强国民素质，都会改变人们的旧观念，有利于计划生育政策的执行。总之，通过上述工作和分析，为控制我国总人口数的增长而采取的相应政策和措施提供了科学依据。分析解释2）（续）如果计划生育政策宣传和执行得好，同时人们“61课后作业（1）教材P80页第21题的(只做图a）（2）教材P80页第23题的(只做图2，只用规范方法做，即课堂讲的方法做）课后作业（1）教材P80页第21题的(只做图a）62系统工程(C类)

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上海交通大学63第四章系统模型化第一节系统模型化概述第二节系统结构的模型化第四章系统模型化第一节系统模型化概述64第二节系统结构的模型化任何系统都是由两个以上的有机联系、相互作用的要素组成的。结构：组成系统诸要素之间相互关联的方式，结构是决定系统功能的最本质的因素。（石墨与金刚石的差别就在结构方面）大规模复杂系统要素众多、层次丰富、结构复杂系统结构模型化通常是对大规模复杂系统进行数学建模和定量分析的基础。在对大规模复杂系统建模的步骤中通常包括一项重要任务“确定模型结构”。先要建立系统结构的模型，进行系统的结构分析，以求得对问题本质的全面认识，然后建立数学模型，进行定量分析。第二节系统结构的模型化任何系统都是由两个以上的有机联系、相互65构造模型的步骤明确目的和要求进行一般语言描述抓住主要变量及关系确定模型结构估计模型参数进行实验研究是否与现实相符？结束修正模型构造模型的步骤明确目的和要求进行一般语言描述抓住主要变量及关66系统结构模型结构模型：定性表示系统要素及要素间的关联情况结构模型突出表现系统要素之间的相互作用的性质。结构分析：建立系统结构模型分析系统的结构解释（经过分析后的）结构模型系统结构模型结构模型：定性表示系统要素及要素间的关联情况67系统结构分析的重要意义系统结构分析是模型化过程中的一项重要内容。对系统结构的正确认识与描述是数学模型和定量分析所无法取代的。回忆上堂课讲的逻辑模型系统结构分析的重要意义系统结构分析是模型化过程中的一项重要内68系统结构的基本表达方式集合有向图矩阵某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。问题：S1能否间接影响S6？系统结构的基本表达方式集合某系统，已经发现有7个要素，分别标69系统结构的集合表达系统中的要素系统由n（n≥2）个要素(S1,S2,…,Sn）所组成，其集合为S，可表述为：

S=S{S1,S2,…,Sn}要素之间的关系（二元关系*）要素之间的关联方式可以用S上的二元关系集合Rb表示。Rb是满足某种二元关系R的所有要素对（Si，Sj）的集合。其中，Si，Sj都属于S集合。系统结构的集合表达系统中的要素70二元关系二元关系：存在于两个要素Si和Sj之间的关系Rij常见的二元关系有因果关系、包含关系、隶属关系、影响关系、比较关系二元关系是结构分析中所研究的系统要素之间的基本关系，一般有如下三种情形：SiRSj：Si和Sj之间存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间不存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间的二元关系R不明确-~二元关系二元关系：存在于两个要素Si和Sj之间的关系Rij-71二元关系二元关系的传递性通常情况下二元关系具有传递性有SiRSj和SjRSk，则有

SiRSk

反映两个要素的间接联系，记作Rt（t为传递次数）,如SiR2Sk

注意：有些二元关系不具有传递性，如相交关系，A与B相交，B与C相交，不能退出A与C相交。强连接关系相互关联的二元关系，如有SiRSj同时有SjRSi

具有强连接关系的各要素之间存在替换性。二元关系二元关系的传递性72系统结构的集合表达该系统的基本结构可表示为：要素集合S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}二元关系集合Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。系统结构的集合表达该系统的基本结构可表示为：某系统，已经发现73系统结构的有向图表示节点表示系统构成要素有向弧表示要素之间的二元关系通路长度：节点i(Si)节点j(Sj)间的最少有向弧数，Si和Sj之间二元关系的（最少）传递次数。回路：从某节点出发，沿着有向弧通过其他节点各一次可回到该节点时，形成回路。呈强连接关系的要素节点间存在双向回路。5162374系统结构的有向图表示节点表示系统构成要素516237474系统结构的矩阵表示邻接矩阵（A）：要素间直接联系，未表示间接联系5162374如果有一列（如第j列）元素全为0，则Sj要素为系统输入要素，因为该要素节点没有入箭头。如S3和S7如果有一行（如第i列）元素全为0，则Si要素为系统输出要素，因为该要素节点没有出箭头。如S1和S5系统结构的矩阵表示邻接矩阵（A）：要素间直接联系，未表示间接75系统结构的三种描述方式比较S＝{S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S4,S6),(S6,S4),(S7,S2)}集合S1S2S3S4S5S6S7有向图0000000100000000010000000110000000000010000100000邻接矩阵S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中联系元素数目有向弧数目矩阵中“1”的数目系统结构的三种描述方式比较S＝{S1,S2,S3,S476系统结构的矩阵表示可达矩阵（M）使用矩阵形式表示有向图中各个节点之间通过任意长的路径可以到达（即间接影响）的 情况。或者说，是系统要素之间任意次传递的二元关系若M=（mij）nxn，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为t，0=<t<=r,r为最长路径（传递次数）：当t=0时，表示Si自身到达（反射性二元关系）,M=I当t=1时，表示基本的二元关系，M=A当t>=2时，表示传递的二元关系系统结构的矩阵表示可达矩阵（M）77可达矩阵可达矩阵求解：可以用邻接矩阵A加上单位矩阵I，再经过若干次自乘运算求得。M=(A+I)r最大传递次数按下式确定

(A+I)1≠(A+I)2≠

(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r

=(A+I)r+1=…=(A+I)n可达矩阵可达矩阵求解：78系统结构的有向图表示系统结构的有向图表示79系统结构的有向图表示C）可达矩阵系统结构的有向图表示C）可达矩阵80系统结构的有向图表示(A+I)3就是反映总体通达(传递)关系的可达矩阵最大路径长度（传递次数）r=3.系统结构的有向图表示(A+I)3就是反映总体通达(81区域划分5162374延续前例：进行可达矩阵计算(A+I)2=(A+I)3区域划分5162374延续前例：进行可达矩阵计算(A+I)282解释结构模型解释结构模型（InterpretativeStructuralModeling，ISM）技术是美国J·N·沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。基本思想：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，明确问题的层次和整体结构，最后用文字加以解释说明。解释结构模型解释结构模型（InterpretativeS83解释结构模型应用ISM可以提高分析员对问题的认识和理解程度。该技术广泛适用于认识和处理各类系统的结构分析问题不需高深的数学知识模型直观且有启发性各种背景人员可参加解释结构模型应用ISM可以提高分析员对问题的认识和理解程度。84ISM工作原理意识模型要素及要素关系可达矩阵区域划分级位划分解释结构模型有向图邻接矩阵多级递阶有向图提取骨架矩阵优势：可以求出利用其他方法无法找出的间接联系。这些间接联系对研究系统的整体特性具有重要意义。

修正？递阶结构模型分析报告YesNoISM工作原理意识模型要素及可达矩阵区域划分级位划分解释结85如何划分区域（1）将与要素Si（i=1，2，…，n）相关联的所有要素划分成两类集合：可达集R（Si）：由Si可到达的诸要素所构成的集合先行集A（Si）：可到达Si的诸要素所构成的集合如何划分区域（1）将与要素Si（i=1，2，…，n）相关86如何划分区域（2）求共同集C(Si)：Si的可达集和先行集的交集。

SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)

111,2,7121,22,7233，4，5，63344，5，63,4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777如何划分区域（2）求共同集C(Si)：Si的可达集和先行集87可达集、先行集、共同集的关系区域划分的集合Si本身一定在C(Si)中与Si强连接的要素一定在C(Si)中可达集、先行集、共同集的关系区域划分的集合Si本身一定在C(88区域划分的集合可达集R（Si

）由Si可到达的诸要素所构成的集合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到达Si的诸要素所构成的集合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可达集和先行集的交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n区域划分的集合可达集R（Si）89区域划分起始集在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，A（Si）=C（Si）

区域划分起始集90区域划分终止集在S中只被其他要素到达影响（到达）的要素所构成的集合，记为E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，R（Si）=C（Si）区域划分终止集91区域划分判断系统要素集合S是否可分割（是否相对独立）只需判断起始集B（S）中的要素及其可达集能否分割，例如B(S)={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只需判断终止集E（S）中的要素及其先行集要素能否分割区域划分的结果可记为：

∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。不可分割区域划分判断系统要素集合S是否可分割（是否相对独立）不可分割92区域划分利用起始集B（S）判断区域能否划分在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。利用终止集E（S）来判断区域能否划分只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分利用起始集B（S）判断区域能否划分93区域划分可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延续前例：进行区域划分先列Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），再找出起始集B（S）（类似地，可以找出E（S））区域划分可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（94OO34561273456127M（P）=P1P21.区域划分（7）因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ（空集），所以两个可达集分属两个相对独立的区域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵，记为M（P）

：úúúúúúúúúûùêêêêêêêêêëé1110110011110010011101111OO345695级位划分在某个区域内进行级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。也有教材称为“层级划分”。建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用Li表示从高到低的各级要素集合，则级位划分的结果：

∏（P）=L1，L2，…，LI（其中l为最大级位数）最高级位的要素即该系统的终止集要素。级位划分在某个区域内进行级位划分，即确定某区域内各要素所处层96级位划分级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Li）。级位划分级位划分的基本做法是：97令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），i<n}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），i<n}

式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩阵（子图）求得的共同集和可达集。级位划分令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：级位98级位划分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如对前例中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分级位划分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）∏（P199级位划分54631275463127M（L）=L1L2L3L1L2L300对P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分的结果为：∏（P1）=L1，L2，L3={S5}，{S4，S6}，{S3}对P2={S1，S2，S7}进行级位划分的结果为：

∏（P2）=L1，L2，L3=

{S1}，{S2}，{S7}这时的可达矩阵为M（L）为区域块三角矩阵，如下：为什么不是三角阵？级位划分546100提取骨架矩阵骨架矩阵：也即为M（L）的最小实现矩阵。提取骨架矩阵A’的三个步骤:1.去掉各层次中的强连接要素，得到缩减矩阵M’（L）2.去掉M’（L）中要素间的越级二元关系，得到进一步简化的矩阵M’’（L）3.进一步去掉M’’（L）中自身到达的二元关系，得到骨架矩阵A’（具有最少的二元关系个数）。提取骨架矩阵骨架矩阵：也即为M（L）的最小实现矩阵。101提取骨架矩阵543127543127M’（L）=L1L2L3L1L2L300如对原例M（L）中的强连接要素集合{S4，S6}作缩减处理把S4作为代表要素，去掉S6。提取骨架矩阵543102提取骨架矩阵

543127543127M’’（L）=L1L2L3L1L2L300如M’（L）中，去掉第三级要素到第一级要素的超级二元关系“S3R2S5”和“S7R2S1”，即将M’（L）中3→5和7→1的“1”改为“0”，得M’’（L）

：提取骨架矩阵543103提取骨架矩阵

543127543127A’=M’’（L）-I=L1L2L3L1L2L300将M’’（L）主对角线上的“1”全变为“0”，得到骨架矩阵A’。提取骨架矩阵54104绘制多级递阶有向图根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图：1.分区域从上到下逐级排列系统构成要素。（终止集放在最上面）2.同级加入被删除的与某要素有强连接关系的要素（如例中的S6），及表征它们相互关系的有向弧。按A’所示的邻接二元关系，用级间有向弧连接成有向图。绘制多级递阶有向图根据骨架矩阵A’，绘制出多级递阶有向图：105S1S2S7S3S4S5S6第1级第2级第3级结束多级递阶有向图S1S2S7S3S4S5S6第1级结束多级递阶有向图106以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程：递阶结构模型建立过程区域划分级位划分强连接要素缩减剔除超级关系去掉自身关系绘图（块对角阵）（区域块三角阵）（区域下三角阵）M→M（P）→M（L）→M’（L）→M’’（L)→A’→D（A’）根据问题的背景，将递阶有向图转化为解释结构模型（用文字加以解释）以可达矩阵M为基础，以矩阵变换为主线的递阶结构模型的建立过程107解释结构模型的应用例子;现在以讨论人口控制综合策略问题为例，介绍在应用ISM时，如何根据人们的经验和对话过程，直接求得可达短阵，并据此建立解释结构模型。人口控制综合策略问题的讨论是这样提出的。改革开放以来，由于社会保障与保健制度的完善，人民健康水平有了很大提高，使得人们的平均寿命也有了提高，这样，死亡率就相应地降低了。同时，由于国民收入的不断增长，生活水平的不断提高等，导致生育率有所提高。因此，种种因素导致了我国人口的迅速增加。众所周知，人口的过分增长带来的影响是不利的。为此．专门成立了由各方面有关人员参加的研究小组对人口的综合控制问题进行分析研究。小组成员经过讨论分析后，决定应用ISM分析和确定影响我国总人口增长的因素，并据此制定有关政策。解释结构模型的应用例子;现在以讨论人口控制综合策略108影响人口增长的因素很多，经过小组成员讨论，提出了以下的主要因素：

(1)期望寿命S1(7)环境污染程度S7(2)医疗保健水平S2(8)国民收入S8(3)国民生育能力S3(9)国民素质S9(4)计划生育政策S4(10)出生率S10(5)国民思想风俗S5(11)死亡率S11(6)食物营养S6(12)总人口S12影响人口增长的因素很多，经过小组成员讨论，提出了以下的主要109这些影响人口增长的因素可以通过小组成员的经验进行分

析，并经过多次小组讨论，以确定它们之间的关系。VVAAAAS1VVVS2VVAAS3VVAAXS4VVAAS5VVVS6VVS7VVVS8VVS9VS10VS11

S12其中：V表示方格图中的行(或上位)要素直接影响到列(或下位)要素；A表示列要素对行要素有直接影响；X表示行列两要素相互影响(称之为强连接关系)。这些影响人口增长的因素可以通过小组成员的经验进行分

析，并110（1）根据人口增长因素的相互影响关系，可得到邻接矩阵，按S1，S2，…，S12的顺序安排影响关系的取值（1）根据人口增长因素的相互影响关系，可得到邻接矩阵，按S1111（2）根据邻接矩阵求可达矩阵（2）根据邻接矩阵求可达矩阵112区域划分略区域划分略113（3）级位划分SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)11,11,121,2,6,7,8