固体物理考试-复习

1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢a1aia1a/2(ijk)a1a/2(jk)a2aja2a/2(ijk)a2a/2(ki)a3aka3a/2(ijk)a3a/2(ij)2、试证面心立方的倒格子是体心立方证：设与晶轴 a、b、c平行的单位矢量分别为 i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取为a1a(jk),a2a(ki),a3a(ij)由倒格子公式得222b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2]可得倒格基矢为：b12(ijk),b22(ijk),b32(ijk),aaa3、考虑晶格中的一个晶面urrrr（hkl），证明：(a)倒格矢Ghhb1kb2lb3垂直于这个晶面；b晶格中相邻两个平行晶面的间距为dhkl2；(c)对于简单立方晶格有()urGhd2h2a2l2。k2证明：（a）晶面（hkl）在基矢a1、a2、a3上的截距为a1、a2、a3。作矢量：hklm1a1a2，m2a2a3，m3a3a1hkkllh显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且aa21hb1kb2lb3m1Ghkha1a22ha2a32ka3a12la1a20hkaaaaaaa123a23a1231同理，有m2Gh0，m3Gh0所以，倒格矢Ghhkl晶面。（b）晶面族（hkl）的面间距为：aGha1hb1kb2lb32dhkl1hGhhGhGh（c）对于简单立方晶格：Gh2h2k21l22ad2h2a2l2k24、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限。解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出，dw区间对应两个同样大小的波矢区间dq。2/a对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2个振动模式，dw围则包含dz2dqLdqL个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定义2dzLdqL为模式密度，根据此定义可得模式密度为：D(w)dw再利用Ldwvvw0D(w)dwN式中N为原子数，a为晶格常数，得w00aawmw2ew/kBTD(w)dw由公式CvkBkBTw/kBT2得其热熔量为0e1wmLw2ew/kBTdww得CvkB2作变量变换x0vkBTew/kBT1kBT2x2w0CvLkBTD/Texdxz其中Dv0ex1kB在高温时x是小量，上式被积分函数exx2exz11因此，晶格的高温热熔量LCVakBNkB在低温时D/T,CV中的被积函数按二项式展开成级数exx2x2nenx则积分exx2dx2LkB2Texz0exz此时期热熔量CV3v1n1135、模式密度计算模式密度的一般表达式：gVdS3①2qq德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于 q。即 cq代入①式，容易得到：V14V2g3c2c32c21）三维情况模式密度对于三维情况，ω=cq2②在q空间等频率面为球面，半径为：qc在球面上，q(q)d2Cq2CdqC是一个常数，且球面积分为：ds4q2，因此：gVdsV1dsV14q2V112③23q23q232cq22c32（2）二维情况模式密度对于二维情况， q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：qc二维情况下的 q空间中的密度为： A/(2π)2，（这里A为二维晶格的面积），而且有：q(q)d2Cq2CdqCdL2q所以对于ω=cq2，二维情况的模式密度为：g()dnAdLA2qA④d(2)2q(q)(2)22Cq4C（3）一维情况模式密度同理，在一维情况下， q空间有两个等频点 +q和-q。仿上面的方法可以得到：dnLdqL1L⑤g()q(q)2d(2)(2)2Cq2C总之，色散关系为ω=cq2的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率ω的?，0，-?次方成比例。271cos2ka),式中a是晶格6、已知一维晶格中电子的能带可写成E(k)ma2(coska88常数，m是电子的质量，求，能带宽度，电子的平均速度，在带顶和带底的电子的有效质量。解：（1）、当ka，E（k）有最大值，Emax2[7(1)1]22ma88ma2当k=0时，E（k）有最小值Emin2(711)0所以：EEmaxEmin22ma88ma121asin2ka]1sin2ka)（2）、vma2[asinka(sinka4ma4（3）、m*22E/k2，2E[kE(k)](a2coska1a2cos2ka)2因为2k2Kma2所以当k=0时，带顶，m*|k02m2ma2(a21a2)22，带底，m*(k22m当k)2a2a2aa()3ma227、用紧束缚近似求出面心立方及晶格s态原子能级相对应的能带函数解面心立方晶格vvvv——s态原子能级相对应的能带函数sJ0ikRsE(k)sJ(Rs)eRsNearests原子态波函数具有球对称性J1vi0*vvvvvvJ(Rs)(Rs)[U()V()]i0()}d0svvvikRE(k)sJ0J1esRsNearest—— 任选取一个格点为原点—— 最近邻格点有 12个个最邻近格点的位置a,a,00,a,aa,0,a222222aaaaa0,a,,00,,2,22222a,a,00,a,aa,0,a222222a,a,00,a,aa,0,a222222vavavvsvvvJ0J1eikRsRsij0kE(k)s22RsNearestvvvvvvvvi(kxikyjkzk)(aiaj0k)eikRse22eia(kxky)kxaisinkxakyaisinkya2(cos22)(cos2)2——类似的表示共有12项——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带Esv(k)sJ0kakyacoskakakyaka4J1(cosxcosxcoszcoscosz)2222229、电子在周期场中的势能．1m2b2(xna)2,当nabxnab2V(x)0，当(n-1)a+bxnab其中a＝4b，是常数．(1)试画出此势能曲线，求其平均值.用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度．解：(I)题设势能曲线如下图所示．势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以V(x)11a1abV(x)V(x)dxaV(x)dxLLabb题设a4b，故积分上限应为ab3b，但由于在b,3b区间V(x)0，故只需在b,b区间积分．这时，n0，于是1bm2b(b22)dxm22xb1x3b12。VV(x)dxbxbbbmbab2a2a36（3），势能在[-2b,2b] 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数V(x)V0Vmcosmx,Vm2m2b2b

2b0

V(x)cosm xdx 12b b

b0

V(x)cosmxdx2bm2xdx第一个禁带宽度Eg2V1,以m1代入上式,Egb2x2)cos1(b1b02b利用积分公式u2cosmuduumusinmu2cosmu2sinmu得m2m3Eg116m2b2第二个禁带宽度E2V,以m2代入上式,代入上式3g22Eg2m2(b2x2)cosxdx再次利用积分公式有Eg22m22bb0b12、能，结合能，体弹性模量计算正格子与倒格子的关系面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方 。晶体：构成粒子（原子，分子，集团）周期性排列的固体，具有长程有序性，有固定的熔点，具有自限性，各向异性和解理性特点的固体。布拉伐点阵：晶体的周期性结构可以看作相同的点在空间周期性无限分布所形成的系统，称为布拉伐点阵。布拉伐格子： 在空间点阵用三组不共面平行线连起来的空间网格称为布拉伐格子。基元：布拉伐格子中的最小重复单位称为基元。原胞：在布拉伐格子中的最小重复区域称为原胞。晶胞：为了同时反应晶体的周期性和对称性，常常选取最小的重复单位的整数倍作为重复单元，这种单元称为晶胞对称操作是指一定的几何变换。如某物体如绕某一轴旋转一定角度或对某一平面作镜象反映等等.一种晶体可以有多种不同形式的对称操作，描述晶体的对称性的方法就是找出能使它复原的所有对称操作。布拉菲晶格：由基元代表点在空间中的周期性排列所形成的晶格称为布拉菲晶格布里渊区：在倒格子中，以某个倒格点作为原点，作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成有置外的相等区域，称为布里渊区。布洛赫定理：晶体中电