-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件

计算方法第四章数值积分孙成立计算方法第四章孙成立§第四章数值积分§4.1机械求积公式§4.2Newton_Cotes公式§4.3变步长求积公式及其加速收敛技巧§第四章数值积分§4.1机械求积公式§4.2§4.1机械求积公式第1节引言第2节数值积分的基本方法第3节代数精度法第4节插值求积法§4.1机械求积公式第1节引言第2节数值积§4.1.1引言定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:

其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得.

被积函数f(x)是用函数表格提供;

f(x)极为复杂，求不出原函数;

大量函数的原函数不容易或根本无法求出.

只能运用数值积分,求积分近似值.问题§4.1.1引言定积分的计算可用著名的牛顿-其中,

称为积分节点，称为求积系数。

§4.1.2数值积分的基本方法就是在区间[a,b]内取n+1个点利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求的定积分.

其中,称为积分节点，称为求积其中,

称为积分节点，称为求积系数。

§4.1.2数值积分的基本方法因此，数值积分公式关键在于积分节点的选取和积分系数

的决定，其中

与被积函数f(x)

无关。称为机械求积公式。其中,称为积分节点，称为求积系数。§求积分简单算例求积分简单算例求积分此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。

用f(x)的零次多项式来近似代替于是有简单算例解左矩公式求积分此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。用推广:右矩公式中矩公式推广:右矩公式中矩公式用f(x)的一次多项式来近似代替,于是，梯形公式推广:用f(x)的一次多项式来近似代替来近似代替,于是，

特别地：当有

用f(x)的二次插值多项式,

推广:Simpson公式来近似代替,于是，特别地：当有用f§4.1.3代数精度法为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立.因此定义代数精度的概念:若积分的数值积分公式对于任意多项式都精确成立，但对不精确成立，则称该数值积分公式具m次代数精确度。

§4.1.3代数精度法为了使一个求积公对于[a,b]上线性插值，如图所示有考察其代数精度。

梯形公式算例:f(x)abf(b)f(a)对于[a,b]上线性插值，如图所示有考察其的代数精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入L0=1：=代入L1=x：=代入L2=x2：得代数精度=1梯形公式f(x)abf(b)f(a)的代数精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入L0=1：试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.算例:试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.算例:试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:算例:令试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此由此得该积分公式具有3次代数精确度.

因此由此得该积分公式具有3次代数精确度.类似地,可以证明矩形公式具0次代数精度可以证明Simpson公式具3次代数精度.类似地,可以证明矩形公式具0次代数精度可以证明Si

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

近似计算§4.1.2插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，根据拉格朗日插值公式，做f的n次插值多项式，即得到利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

近似计算§4.1.4插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由节点决定，与f(x)无关。利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似§4.1.4插值求积法-余项

N+1个节点的求积公式为插值型该求积公式至少有N

次代数精度.§4.1.4插值求积法-余项§4.2Newton-Cotes公式第1节公式的一般形式第2节低阶公式及其余项第3节复合求积公式§4.2Newton-Cotes公式第1节公式的一近似计算

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由节点决定，与f(x)无关。第1节Newton-Cotes数值求积公式近似计算利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式各节点为设函数将积分区间[a,b]分割为n等份为步长f(x)的Lagrange的插值多项式及余项分别为Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrang其中而因此对于定积分有其中而因此对于定积分有n阶Newton-Cotes求积公式其中n阶Newton-Cotes求积公式其中注意是等距节点计算:假设注意是等距节点计算:假设所以Newton-Cotes公式化为定理：使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度。为Cotes系数其中所以Newton-Cotes公式化为定理：使用n次Lag第二节低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezoid)公式及其余项(n=1)Cotes系数为求积公式为第二节低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newt上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为设在区间[a,b]上函数f(x)连续，而函数(x)可积且不变号，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使积分第二中值定理梯形公式的余项设在区间[a,b]上函数f(x)连续2.Simpson公式及其余项(n=2)Cotes系数为求积公式为2.Simpson公式及其余项(n=2)Cotes系数为求上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有次代数精度。3上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为3.Cotes公式及其余项(n=4)Cotes系数为3.Cotes公式及其余项(n=4)Cotes系数为求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度。求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cot注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法(下节)。Cotes系数表：n

Ck(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不第三节复合求积公式高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。第三节复合求积公式高次插值有Runge复合梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn由介值定理知：使即有：余项：复合梯形公式：在每个上用复合Simpson公式：44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有复合Simpson公式：44444=Sn注：为方便例1:分别利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分：

积分的相对精确值为

解：设=0.94569086

步长h=1/8。=0.94608331运算量基本相同例1:分别利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积复合求积法的余项和收敛阶：复合梯形（Trapezoid

）公式的余项：复合辛甫生（Simpson）公式的余项：复合柯特斯（Cotes）公式的余项：复合求积法的余项和收敛阶：复合梯形（Trapezoid先看复合梯形公式余项：当n充分大,时，即对复合的梯形公式有：类似地，对于复合的辛甫生公式和柯特斯公式分别有：先看复合梯形公式余项：当n充分大,而且，当h很小时，复合的梯形法、辛甫生法和柯特斯法分别有下列的误差估计式：定义若一个积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p

阶收敛的。~~~而且，当h很小时，复合的梯形法、辛甫生法和当步长h折半时，R(T),R(S),R(C)分别减至原有误差的1/4,1/16,1/64当步长h折半时，R(T),R(S),R(C)分别减至原有误例2：计算解：其中=3.138988494其中=3.141592502上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

时，T512=3.141592018Return例2：计算解：其中=3.138988494其中=3.14§4.3变步长求积公式及其加速收敛技巧Q:给定精度，如何取n?实际计算中常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复合求积公式计算，直至所求积分值满足精度要求为止。复合梯形公式的递推化：将求积区间[a,b]分成n等分，一共有个分点,n+1将求积区间再二分一次，则分点增至个，每个子区间二分后用复合梯形公式求的积分值为：2n+1h=(b-a)/n代表二分前的步长。§4.3变步长求积公式及其加速收敛技巧Q:给定精度注意到区间再次对分时将每个子区间上的积分值相加得：比较Tn和T2n得下列梯形递推公式：

递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯形公式。

直接用计算结果来估计误差的方法称为事后误差估计法

技巧：可以用T2n-Tn的值来估计误差和确定步长。注意到区间再次对分时将每个子区间上的积分值相加得：比较Tn-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件第四节龙贝格积分

/*RombergIntegration*/复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛）较慢，如何提高收敛速度？第四节龙贝格积分/*RombergIntegrati-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件注：按上面规律，可以构造线性组合系数为的新的积分公式，但当m4时，前一个系数接近于1，后一个系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。注：按上面规律，可以构造线性组合系数为Romberg序列Romberg递推算法Romberg序列Romberg递推算法-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件-数值积分-计算方法课件及实验-教学课件计算方法第四章数值积分孙成立计算方法第四章孙成立§第四章数值积分§4.1机械求积公式§4.2Newton_Cotes公式§4.3变步长求积公式及其加速收敛技巧§第四章数值积分§4.1机械求积公式§4.2§4.1机械求积公式第1节引言第2节数值积分的基本方法第3节代数精度法第4节插值求积法§4.1机械求积公式第1节引言第2节数值积§4.1.1引言定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:

其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得.

被积函数f(x)是用函数表格提供;

f(x)极为复杂，求不出原函数;

大量函数的原函数不容易或根本无法求出.

只能运用数值积分,求积分近似值.问题§4.1.1引言定积分的计算可用著名的牛顿-其中,

称为积分节点，称为求积系数。

§4.1.2数值积分的基本方法就是在区间[a,b]内取n+1个点利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求的定积分.

其中,称为积分节点，称为求积其中,

称为积分节点，称为求积系数。

§4.1.2数值积分的基本方法因此，数值积分公式关键在于积分节点的选取和积分系数

的决定，其中

与被积函数f(x)

无关。称为机械求积公式。其中,称为积分节点，称为求积系数。§求积分简单算例求积分简单算例求积分此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。

用f(x)的零次多项式来近似代替于是有简单算例解左矩公式求积分此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。用推广:右矩公式中矩公式推广:右矩公式中矩公式用f(x)的一次多项式来近似代替,于是，梯形公式推广:用f(x)的一次多项式来近似代替来近似代替,于是，

特别地：当有

用f(x)的二次插值多项式,

推广:Simpson公式来近似代替,于是，特别地：当有用f§4.1.3代数精度法为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立.因此定义代数精度的概念:若积分的数值积分公式对于任意多项式都精确成立，但对不精确成立，则称该数值积分公式具m次代数精确度。

§4.1.3代数精度法为了使一个求积公对于[a,b]上线性插值，如图所示有考察其代数精度。

梯形公式算例:f(x)abf(b)f(a)对于[a,b]上线性插值，如图所示有考察其的代数精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入L0=1：=代入L1=x：=代入L2=x2：得代数精度=1梯形公式f(x)abf(b)f(a)的代数精度。解：逐次检查公式是否精确成立代入L0=1：试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.算例:试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.算例:试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:算例:令试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此由此得该积分公式具有3次代数精确度.

因此由此得该积分公式具有3次代数精确度.类似地,可以证明矩形公式具0次代数精度可以证明Simpson公式具3次代数精度.类似地,可以证明矩形公式具0次代数精度可以证明Si

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

近似计算§4.1.2插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，根据拉格朗日插值公式，做f的n次插值多项式，即得到利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

近似计算§4.1.4插值求积法利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由节点决定，与f(x)无关。利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:近似§4.1.4插值求积法-余项

N+1个节点的求积公式为插值型该求积公式至少有N

次代数精度.§4.1.4插值求积法-余项§4.2Newton-Cotes公式第1节公式的一般形式第2节低阶公式及其余项第3节复合求积公式§4.2Newton-Cotes公式第1节公式的一近似计算

利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:

利用插值多项式,则定积分容易计算。

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的n次插值多项式，即得到Ak由节点决定，与f(x)无关。第1节Newton-Cotes数值求积公式近似计算利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式各节点为设函数将积分区间[a,b]分割为n等份为步长f(x)的Lagrange的插值多项式及余项分别为Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrang其中而因此对于定积分有其中而因此对于定积分有n阶Newton-Cotes求积公式其中n阶Newton-Cotes求积公式其中注意是等距节点计算:假设注意是等距节点计算:假设所以Newton-Cotes公式化为定理：使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度。为Cotes系数其中所以Newton-Cotes公式化为定理：使用n次Lag第二节低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式1.梯形(trapezoid)公式及其余项(n=1)Cotes系数为求积公式为第二节低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newt上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为设在区间[a,b]上函数f(x)连续，而函数(x)可积且不变号，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使积分第二中值定理梯形公式的余项设在区间[a,b]上函数f(x)连续2.Simpson公式及其余项(n=2)Cotes系数为求积公式为2.Simpson公式及其余项(n=2)Cotes系数为求上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有次代数精度。3上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为3.Cotes公式及其余项(n=4)Cotes系数为3.Cotes公式及其余项(n=4)Cotes系数为求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度。求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cot注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法(下节)。Cotes系数表：n

Ck(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不第三节复合求积公式高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。第三节复合求积公式高次插值有Runge复合梯形公式：在每个上用梯形公式：=

Tn由介值定理知：使即有：余项：复合梯形公式：在每个上用复合Simpson公式：44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有复合Simpson公式：44444=Sn注：为方便例1:分别利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分：

积分的相对精确值为

解：设=0.94569086

步长h=1/8。=0.94608331运算量基本相同例1:分别利用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积复合求积法的余项和收敛阶：复合梯形（Trapezoid

）公式的余项：复合辛甫生（Simpson）公式的余项：复合柯特斯（Cotes）公式的余项：复合求积法的余项和收敛阶：复合梯形（Trapezoid先看复合梯形公式余项：当n充分大,时，即对复合的梯形公式有：类似地，对于复合的辛甫生公式和柯特斯公式分别有：先看复合梯形公式余项：当n充分大,而且，当h很小时，复合的