2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 1.5.1 平面上两点间的距离 学案

课题:§1.5.1平面上两点间的距离目标要求1、理解并掌握两点间的距离公式及应用．2、理解并掌握坐标法证题的方法．学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．重点难点重点：两点间的距离公式及应用．难点：坐标法证题的方法．教学过程基础知识点1.两点间的距离公式(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=_______________QUOTE,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=__________.(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.【思考】两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2=?为什么?2.中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则______________.【课前基础演练】题1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于()A．5B．eq\r(37)C．eq\r(13)D．4题2．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是()A．(－6，7)B．(6，7)C．(6，－7)D．(－6，－7)题3．已知点M(m，－1)，N(5，m)且MN＝2eq\r(5)，则实数m等于()A．1B．3C．1或3D．－1或3题4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2)D．6＋eq\r(10)题5．已知平面上两点A(x，eq\r(2)－x)，B(eq\f(\r(2),2)，0)，则AB的最小值为()A．3B．eq\f(1,3)C．2D．eq\f(1,2)题6．已知点A(1，1)，B(4，3)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值为________.题7．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为eq\r(2)，则A，B两点间的距离为________.【当堂巩固训练】题8．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则eq\f(AC,CB)的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．3D．2题9．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5题10．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB等于()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)题11．到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0题12．已知直线l：kx－y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是()A．eq\r(10)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(6)D．3eq\r(5)题13．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)题14．若点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点的距离的取值可以是()A．6B．8.5C．10D．12题15．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.题16．点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.题17．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).求证：△ABC是等腰三角形．【课堂跟踪拔高】题18．已知直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为()A．41B．eq\r(41)C．eq\r(39)D．39题19．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2B．4C．5D．eq\r(17)题20．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B走过的路程是()A．5eq\r(2)B．2eq\r(5)C．5eq\r(10)D．10eq\r(5)题21．(多选题)某同学在研究函数f(x)＝eq\r(x2＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－1))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－0))2)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小值为eq\f(\r(2),2)B．函数f(x)的最小值为eq\r(2)C．函数f(x)没有最大值D．函数f(x)有最大值题22．已知直线eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1分别与x轴、y轴交于A，B两点，则|AB|等于________．题23．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，则D是线段AC的中点，则中线BD长为__________．题24．已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．题25．(1)已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AD))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(DC))2)).(2)已知动点C与两个定点A(0，0)，B(3，0)的距离之比为eq\f(\r(2),2)，若△ABC边BC的中点为D，求动点D的轨迹方程．编号：007课题:§1.5.1平面上两点间的距离目标要求1、理解并掌握两点间的距离公式及应用．2、理解并掌握坐标法证题的方法．学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．重点难点重点：两点间的距离公式及应用．难点：坐标法证题的方法．教学过程基础知识点1.两点间的距离公式(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=.(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.【思考】两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2=?为什么?提示:能,因为=.2.中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则【课前基础演练】题1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于()A．5B．eq\r(37)C．eq\r(13)D．4【解析】选A.MN＝eq\r(（2＋1）2＋（1－5）2)＝5.题2．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是()A．(－6，7)B．(6，7)C．(6，－7)D．(－6，－7)【解析】选A.设点B的坐标是(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝－2，,\f(－1＋y,2)＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝7.))题3．已知点M(m，－1)，N(5，m)且MN＝2eq\r(5)，则实数m等于()A．1B．3C．1或3D．－1或3【解析】选C.因为|MN|＝eq\r(（m－5）2＋（－1－m）2)＝eq\r(2m2－8m＋26)，所以eq\r(2m2－8m＋26)＝2eq\r(5)，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.题4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是()A．2eq\r(3)B．3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2)D．6＋eq\r(10)【解析】选C.因为AB＝eq\r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq\r(2)，BC＝3，AC＝eq\r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，所以△ABC的周长为6＋3eq\r(2).题5．已知平面上两点A(x，eq\r(2)－x)，B(eq\f(\r(2),2)，0)，则AB的最小值为()A．3B．eq\f(1,3)C．2D．eq\f(1,2)【解析】选D.因为AB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋（\r(2)－x）2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≥eq\f(1,2)，当且仅当x＝eq\f(3\r(2),4)时等号成立，所以ABmin＝eq\f(1,2).题6．已知点A(1，1)，B(4，3)，点P在x轴上，则PA＋PB的最小值为________.【解析】如图所示，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，则PA′＝PA.所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B.因为A′B＝eq\r(（1－4）2＋（－1－3）2)＝5，所以PA＋PB≥5.故PA＋PB的最小值为5.答案：5题7．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为eq\r(2)，则A，B两点间的距离为________.【解析】设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，因为|a－b|＝eq\r(2)，所以AB＝eq\r(（a－b）2＋[（2a－1）－（2b－1）]2)＝eq\r(5)|a－b|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)【当堂巩固训练】题8．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则eq\f(AC,CB)的值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．3D．2【解析】选D.由两点间的距离公式，得AC＝eq\r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4eq\r(2)，CB＝eq\r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq\r(2)，故eq\f(AC,CB)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.题9．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5【解析】选C.由AB＝eq\r(（a＋2）2＋（3＋1）2)＝5，得(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5.题10．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB等于()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)【解析】选D.设A(x，0)，B(0，y)，因为AB中点是P(2，－1)，所以eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1，所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，所以AB＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).题11．到点A(1，3)，B(－5，1)的距离相等的动点P满足的方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0【解析】选B.设P(x，y)，则eq\r(（x－1）2＋（y－3）2)＝eq\r(（x＋5）2＋（y－1）2)，即3x＋y＋4＝0.题12．已知直线l：kx－y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是()A．eq\r(10)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(6)D．3eq\r(5)【解析】选B.由题易得直线l：kx－y＋2－k＝0，即k(x－1)－y＋2＝0，过定点M(1，2).因为点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，所以y＝1－2x，MP＝eq\r(（x－1）2＋（1－2x－2）2)＝eq\r(5x2＋2x＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,5)))\s\up12(2)＋\f(9,5))，故当x＝－eq\f(1,5)时，|MP|取得最小值eq\f(3\r(5),5).题13．直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于eq\r(2)的点的坐标是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－1，2)D．(0，1)【解析】选BC.设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且eq\r(（x0＋2）2＋（y0－3）2)＝eq\r(2)，两式联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝2.))题14．若点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点的距离的取值可以是()A．6B．8.5C．10D．12【解析】选ABC.因为点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，所以－6≤x≤3.因为线段4x＋3y＝0(－6≤x≤3)过原点，所以点P到坐标原点的最近距离为0.又点(－6，8)在线段上，所以点P到坐标原点的最远距离为eq\r(（－6）2＋82)＝10.所以点P到坐标原点的距离的取值范围是[0，10].题15．若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________.【解析】PO＝eq\r(x2＋（1－x）2)＝eq\r(2x2－2x＋1)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))≥eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)题16．点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.【解析】设对称点坐标是(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－5,a－2)·（－1）＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b＋5,2)＝1.))解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1).答案：(－4，－1)题17．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).求证：△ABC是等腰三角形．【证明】因为AB＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，所以AC＝BC.又因为点A，B，C不共线，所以△ABC是等腰三角形．【课堂跟踪拔高】题18．已知直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为()A．41B．eq\r(41)C．eq\r(39)D．39【解析】选B.设M(x，y)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝\f(－2＋x,2)，,0＝\f(5＋y,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－5，))所以M(4，－5).则M到原点的距离为eq\r(（4－0）2＋（－5－0）2)＝eq\r(41).题19．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2B．4C．5D．eq\r(17)【解析】选D.根据中点坐标公式，得eq\f(x－2,2)＝1，且eq\f(5－3,2)＝y.解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq\r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(17).题20．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B走过的路程是()A．5eq\r(2)B．2eq\r(5)C．5eq\r(10)D．10eq\r(5)【解析】选C.根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5).所以A′B＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝5eq\r(10).题21．(多选题)某同学在研究函数f(x)＝eq\r(x2＋1)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f(x)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－1))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－0))2)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小值为eq\f(\r(2),2)B．函数f(x)的最小值为eq\r(2)C．函数f(x)没有最大值D．函数f(x)有最大值【解析】选BC.设f(x)＝eq\r(（x－0）2＋（0－1）2)＋eq\r(（x－1）2＋（0－0）2)，可理解为动点P(x，0)到两个定点A(0，1)，B(1，0)的距离和．如图：由三角形三边关系可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\r(2)，当点P和点B重合时，等号成立，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))最小值为eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))无最大值，所以函数f(x)的最小值为eq\r(2)，没有最大值．题22．已知直线eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1分别与x轴、y轴交于A，B两点，则|AB|等于________．【解析】由已知，令x＝0得y＝4，所以B(0，4)，令y＝0得x＝3，所以A(3，0)，所以|AB|＝eq\r(42＋32)＝5.答案：5题23．在△ABC中，A(1，3)，B(2，－2)，C(－3，1)，则D是线段AC的中点，则中线BD长为__________．【解析】由eq\f(1－3,2)＝－1，eq\f(3＋1,2)＝2，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BD))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－2))2)＝eq\r(25)＝5.答案：5题24．已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．【解析】方法一：因为AB＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，AC＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又BC＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，所以AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，所以△ABC是等腰直角三角形．方法二：因为kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又AC＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，AB＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，所以AC＝AB，所以△ABC是等腰直角三角形．题25．(1)已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A