泛函分析笔记

泛函分析笔记作者：邝雪冰笔记题目：纲与开映像定理纲与开映像定理报告人：邝雪冰作者简介：邝雪冰性别：女，硕士研究生学号师：李应求教授研究方向：概率论与数理统计摘要：本节对有界线性算子的逆算子的有界性问题是在本节中做了初步的讨论，首先从引入疏集的概念，开映射，空间的完备性开始．其次，讲述三个重要的定理：开映像定理，闭图像定理，共鸣定理．有界线性算子是开映射的充分条件[1]．闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系．共鸣定理又称算子族的一致有界原理，其含义是在一定条件下由算子族的点点有界可得出范数有界[2]．一、知识背景对于解方程的问题从泛函分析的角度来看，就是对给定算子，求，使得（3.1）解的存在性表达成算子有右逆：（表示恒同算子）若令，则有；而解的唯一性表达成算子有左逆：由及存在，得，所以解唯一地被决定．也就是说解存在且唯一，当且仅当线性算子即既有左逆又有右逆．如果算子左右逆同时存在，则它们一定相等，即所以这时称算子有逆，并记此逆为．设是由集合到集合的映射，如果，且等价于，则称为由到B的单射．设是从集合到集合的映射，若,即中任一元素b都是中某元素的像，则称为到上的满射．换句话来说就是，设都是空间，，算子称为是单射，是指是1-1的，算子称为是满射，是指．若映射既是单射，又是满射，则称映射为到的双射．注设是线性空间，线性算子，如果存在，则也是线性算子；设是空间，，如果存在，且是有界线性算子，那么称是正则算子；设是空间，有界，是双射，那么是在上的线性算子．一般来说，未必是有界算子．主要内容3.1纲与纲推理定义3.1.1设是一个度量空间，集，则称是疏的，如果的内点是空．命题3.1.2设是一个度量空间，为了是疏集必须且仅须：球，使得．证明：必要性因为无内点，所以不能包含任一球．从而，使得．又由是闭，所以，使得．取便有充分性若不疏，既有内点，则．但由假设，使得．一方面有；另一方面即得矛盾．定义3.1.3在距离空间上，集合称为第一纲的，如果，其中是疏集．不是第一纲的集合是第二纲集．定理3.1.4（Baire）完备度量空间是第二纲集．证：反证法倘若是第一纲集，即存在疏集，使得（3.2）对任意球，使得；对，使得；如此继续下去，对，使得，从而（3.3）于是我们得到而（3.4）由此可见是基本列，从而，使得．另一方面在（3.4）式中令得，从而（3.5）联合（3.3）和（3.5）式，有，这与（3.2）式矛盾．3.2开映像定理如果是一个单射，则定义，它是线性的．但它的定义域不一定是全空间，当且它是一个满射时，才是到的一个线性算子，此时，我们讨论是不是连续的．定义3.2.1设为两个Banach空间，为到的映射，若对于中的任意开集，的像为中的开集，则称为开映射[3]（把开集映射为开集）．定理3.2.2（Banach）设是空间，若，它既是单射又是满射，那么．证明根据定理3.2.3证明中的第（3）段，已知即或．特别地由模的齐次性，，，有．令得．从而．这一定理有一个更一般的形式，也就是定理3.2.3．定理3.2.3设是空间，若是一个满射，则是开映像证明用，分别表示中的开球．证明是开映射，即开集，是开集，必须且仅须证明：使得（3.6）必然性是显然的．充分性由于是线性，条件（3.6）等价于，按定义，使得。因为是开集，所以．于是取，便有即是的内点．证明：使得．这是因为，而是完备的，所以至少有一个，使得非疏．即至少含有一个内点．从而，注意是一个对称凸集，便有，从而由的齐次性，取，便有．证明：．，要证，使得，即求方程在内的一个解，我们用逐次逼近法．对，按（2），，使得对，按（2），，使得························对，按（2），，使得······················于是，令，便有．而即得，又因为是连续的，所以即得．注：定理3.2.2与定理3.2.3中的Banach空间可以换成更一般的空间[4]定理3.2.2中，是第二纲集的假设是不可缺少的（满射及的完备性保证了这一点）定义3.2.4设是的线性算子，是其定义域．称是闭的，是指由，以及就能推出，而且．定理3.2.5若是空间，是的闭线性算子，满足是中的第二纲集，则并且，使得必有，适合并且．证只须证明，已知对使得．（3.7），不妨设（显然）。，按（3.7），．于是，使得．3.3闭图像定理就线性算子而言，主要讨论连续性与闭性间的关系．定理3.3.1（B.L.T）设是空间到空间的连续线性算子，那么能唯一延拓到上成为连续线性算子，使得，且．证任取，，依据在上连续，从而有界，即，使得．于是．由此可见是中的基本列，已设完备，所以，使得．故仅依赖于，而与中的无关．因此，可以定义．容易得出是线性的，还有，并且．推论3.3.2（等价范数定理）设线性空间上有两个模与．如果关于这两个模都构成空间，而且比强，则与必等价．证明把看成是由的线性算子，由假设比强，即，使得．因此是连续的，它既是单射又是满射。依定理3.2.2。可逆且连续，即有，使．又因与是同一个元素，所以与等价．定理3.3.3（闭图像定理）设是空间．若是的闭线性算子，并且是闭的，则是连续的．证明因为是闭的，所以作为的线性子空间可看成空间．在上，定义一个范数如下：现证明也是空间．由（当），可知与，使得，且．由的闭性得，从而．因此．显然比强，有等价范数定理与等价，故，使得注集合称为算子的图像，而实际上是在乘积空间上的模，因此称为图模．算子是闭的，实际上就是按图模是闭的．3.4共鸣定理定理3.4.1（共鸣定理或-致有界定理）设是的空间，是的空间，如果，使得,那么存在常数，使得．证，定义.显然，是上的范数，且强于.下面证明完备，事实上，如果（当）．由的完备性，，使得（当）,又因为,,使得.从而对有.于是（当）,即.再根据等价范数定理，与等价，从而常数，使得.由此立即推出.注条件：,,意味着,使得.(3.8)而结论，，则可以看做是，存在于无关的常数，使得(3.9)(3.8)式意味着算子族点点有界；(3.9)式则意味着算子族一致有界．因此本定理给出条件保证点点有界蕴含一致有界，故称“一致有界”定理．另一方面，如果我们从反面来叙述本定理将有：使得．因此本定理又有“共鸣定理”．定理2.316（Banach-stieinhaus定理）设是的空间，是的空间，是的每个稠密子集，若,,则都有(3.10)的充分必要条件是：有界；(3.10)式对成立．证必要性．根据共鸣定理是显然的.充分性．假定，对及,取,使得便有再取足够大，使得，便有．3.5应用定理3.5.1（Lax-Milgram定理）设是Hilbert空间上的一个共轭双线性函数，满足：（1)使；(3.11)(2),使(3.12)那么必存在唯一的有连续逆的连续现行算子，满足(3.13)．(3.14)证由题可知，存在唯一适合(3.13)式的算子，今证其（1）是单射，若有,满足，则，从而.特别取由(3.12)式即得到。（2）是满射，先证是闭的，事实上，，使得(3.15)由(3.12)式样得既得（当).从而是基本列，因此，使得，并由的连续性和(3.15)式得，即，于是闭．再证，倘若，则，即．特别取，再利用假设(3.12)有，即得（3.17）由此可见是满射的．再利用Banach逆算子定理，．因为，所以，即得(3.14)式．定理3.5.2（Lax等价定理）如果，对成立，那么为了，其中与分别是与的解，必须仅且须，使得成立．证明充分性由和，得（当）必要性，令，，便有．因此，（当，）由共鸣定理，得有界．例子例1设为同一数域上的赋范空间，令求证：为赋范空间[5]．证明显然满足范数公理，又因，当时，当时，故满足范数公理．因此，为赋范空间．例2考虑第一型Fredholm积分方程（3.16）其中是某个常数，是上的二元连续函数，．方程（3.16）简化为（3.17）其中，是到的线性算子．固定，使．令则是到的算子，但它不一定是线性的．由是压缩的，从而在上有唯一不动点。它的不动点即是方程（3.16）的解．这说明，算子方程（3.17）存在唯一连续解，从而线性算子是到上的一一映射．由于是Banach空间，则是有界的．换句话说的在范数意义下的微小变动，所导致的解的相应变动也是很小的．例3设为同一数域上的赋范空间，令求证：为赋范空间．证明因为因此，满足三角不等式，又显然满足严格正性及齐次性，故为赋范空间．三、小结本节最要讲解了开映像定理，闭图像定理，共鸣定理三个定理.首先从逆算子出发，讨论逆算子的有界性.由稠密性导入第一纲集,不是第一纲集的集合称为第二纲集.其次,由映射,开集,延伸到由开集映射到开集的开映像定理.有界线性算子是开映射的充分条件.再则就是闭图像定理,闭图像定理主要是研究算子的连续性与闭性的关系.最后,共鸣定理.