笛卡尔与解析几何

１６４７年深秋的一个夜晚，在巴黎近郊，两辆马车疾驰而过。马车在教堂

的门前停下。身佩利剑的士兵押着一个瘦小的老头儿走进教堂。他就是近代数学

奠基人、伟大的哲学家和数学家笛卡尔。由于他在著作中宣传科学，触犯了神权

，因而遭到了当时教会的残酷迫害。

才学里，烛光照射在圣母玛丽亚的塑像上。塑像前是审判席。被告席上的笛

卡尔开始接受天主教会法庭对他的宣判：“笛卡尔散布异端邪说，违背教规，亵

渎上帝。为纯洁教义，荡涤谬误，本庭宣判笛卡尔所著之书全为禁书，并由本人

当庭焚毁。”笛卡尔想申辩，但士兵立即把他从被告席上拉下来，推到火盆旁，

笛卡尔用颤抖的手拿起一本本凝结了他毕生心血的著作，无可奈何地投入火中。

笛卡尔１５９６年生于法国。８岁入读一所著名的教会学校。主要课程是神

学和教会的哲学，也学数学。他勤于思考，学习努力，成绩优异。２０岁时，他

在普瓦界大学获法学学位。之后去巴黎当了律师。出于对数学的兴趣，他独自研

究了两年数学。１７世纪初的欧洲处于教会势力的控制之下。但科学的发展已经

开始显示出一些和宗教教义离经背道的倾向。笛卡尔和其他一些不满法兰西政治

状态的青年人一起去荷兰从军体验军旅生活。

说起笛卡尔投身数学，多少有一些偶然性。有一次部队开进荷兰南部的一个

城市，笛卡尔在街上散步，看见用当地的

佛来米语书写的公开征解的几道数学

难题。许多人在此招贴前议论纷纷，他旁边的一位中年人用法语替他翻译了这几

道数学难题的内容。第二天，聪明的笛卡尔兴冲冲地把解答交给了那位中年人。

中年人看了笛卡尔的解答十分惊讶。巧妙的解题方法，准确无误的计算，充分显

露了他的数学才华。原来这位中年人就是当时有名的数学家贝克曼教授。笛卡尔

以前读过他的著作，但是一直没有机会认识他。从此，笛卡尔就在贝克曼的指导

下开始了对数学的深入研究。所以有人说，贝克曼“把一个业已离开科学的心灵

，带回到正确、完美的成功之路”。１６２１年笛卡尔离开军营遍游欧洲各国。

１６２５年回到巴黎从事科学工作。为综合知识、深入研究，１６２８年变卖家

产，定居荷兰潜心著述达２０年。

几何学曾在古希腊有过较高的发展，欧几里得、阿基米德、阿波罗尼都对圆

锥曲线作过深入研究。但古希腊的几何学只是一种静态的几何，它既没有把曲线

看成一种动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方法。文艺复兴运动以后，哥白

尼的日心说得到证实，开普勒发现了行星运动的三大定律，伽利略又证明了炮弹

等抛物体的弹道是抛物线，这就使几乎被人们忘记的阿波罗尼曾研究过的圆锥曲

线重新引起人们的重视。人们意思到圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线

，而且是与自然界的物体运动有密切联系的曲线。要计算行星运行的椭圆轨道，

要求出炮弹飞行所走过的抛物线，单纯靠几何方法已无能为力。古希腊数学家的

几何学已不能给出解决这些问题的有效方法。要想反映这类运动的轨迹及其性质

，就必须从观点到方法都要有一个新的变革，建立一种在运动观点上的几何学。

古希腊数学过于重视几何学的研究，却忽视了代数方法。代数方法在东方（

中国，印度，阿拉伯）虽有高度发展，但缺少论证几何学的研究。后来，东方高

度发展的代数传入欧洲，特别是文艺复兴运动欧洲数学在古希腊几何学和东方代

数学的基础上有了巨大的发展。

笛卡尔在数学上的杰出贡献就在于将代数和几何巧妙地联系在一起，从而创

造了解析几何这门数学学科。

１６１９年在多瑙河的军营里，笛卡尔用大部分时间思考着他在数学中的新

想法：能不能用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢？要这样做就必须找到

一座能连接（或说融合）几何与代数的桥梁－－使几何图形数值化。笛卡尔用两

条互相垂直且交于原点的数轴作为基准，将平面上的点的位置确定下来，这就是

后人所说的笛卡尔坐标系。笛卡尔坐标系的建立，为用代数方法研究几何架设了

桥梁。它使几何中的点Ｐ与一个有序实数偶（x,y)构成了一一对应关系。

坐标系里点的坐标按某种规则连续变化，那末，平面上的曲线就可以用方程

来表示。笛卡尔坐标系的建立，把过去并列的两个数学研究对象“形”和“数”

统一起来，把几何方法和代数方法统一起来，从而使传统的数学有了一个新的突

破。

关于笛卡尔的这一发现，有些史料曾有这样一段记述：由于对科学目的和科

学方法的狂热追求，新几何的影子不时萦绕脑际。１６１９年１１月１０日这一

天，笛卡尔做了一个触发灵感的梦。他梦见一只苍蝇，飞动时划出一条美妙的曲

线，然后一个黑点停在有方格的窗纸上，黑点到窗棂的距离确定了它的位置，梦

醒后，笛卡尔异常兴奋，理性主义的理性追求竟由此顿悟而生！笛卡尔后来曾说

，他的梦象一把打开宝库的钥匙，这把钥匙就是坐标几何，由于教会势力的控制

，笛卡尔的坐标几何的思想未能及时公诸于世。为避免教会的迫害，１６３７年

，也就是奇妙梦幻的１８年春秋以后，笛卡尔在荷兰匿名出版了《科学中正确运

用推理和寻求真理的方法论》一书。书中抨击繁琐哲学，倡导科学为人类造福，

主张人应该主宰自然。笛卡尔的哲学思想，反映了１７世纪法国资产阶级反对封

建主义，发展生产，发展科学的历史要求。对当时的科学发展有着决定性的影响。

《几何学》是该书的一篇附录。在这篇附录中笛卡尔介绍了他所创立的解析几何

几何学。１７世纪以来，数学的巨大发展很大程度上归功于笛卡尔的解析几何学。

作为附录的《几何学》虽是这位伟大哲学家的唯一一篇数学论文，然而它的历史

价值却使笛卡尔的名字千古流芳。

１７６０年２月１１日笛卡尔在斯德哥尔摩病逝。由于教会的阻止，仅有几个

友人为其送葬。其著作在他死后也被教会列为禁书。可是，这位对科学作出巨大贡

献的学者却受到广大科学家和革命者的敬仰和怀念。法国大革命之后，笛卡尔的骨

灰和遗物被送进法国历史博物馆。１８１９年其骨类被移入圣日耳曼圣心堂中。墓

碑上镌刻着：

笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，

第一个为争取和捍卫理性权利而奋斗的人近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡尔（R.Descartes，1596-1650，哲学名言："我思故我在"）和费马（P.DeFermat，1601-1665）。

笛卡尔出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师。他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校。1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的。

关于笛卡尔创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡尔终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的"晨思"的习惯，他在一次"晨思"时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡尔随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（11月10日），他作了三个连贯的梦，笛卡尔后来说，正是这三个梦向他揭示了"一门奇特的科学"和"一项惊人的发现"，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩。

人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡尔之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果。笛卡尔笛卡尔（Descartes，1596—1650），法国著名的哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。笛卡尔生于法国西部都兰群拉哈小城的一个贵族家庭。他8岁时进入耶稣学校拉弗莱什公学学习，由于他自幼聪明好学，很得到家长和老师的喜欢。1612年，他到巴黎普瓦界大学攻读法律，四年后荣获博士学位，不久成为一名律师。1618年他前往荷兰从军。服役期间，他仍对数学感兴趣，阅读了大量有关数学、物理学的书籍。1621年，笛卡尔脱离了军队，但由于当时正逢内乱，他于是就到了丹麦、德国、意大利等地。1628年笛卡尔移居荷兰，他的前半生基本上都是在荷兰度过的，他所有著作几乎全是在荷兰完成的。后被瑞典克里斯蒂娜女王请到斯德哥尔摩，直到去世。他的主要著作有：《指导哲理之原则》、《论世界》、《方法论》、《形而上学的沉思》、《哲学原理》、《论音乐》、《论巴尔扎克的书简》等。1633年笛卡尔写了一部《论世界》，宣传哥白尼的日心说。《论世界》共分三个部分：《屈光学》、《气象学》和《几何学》。《几何学》的发表标志着解析几何学的诞生，是数学史上划时代的光辉巨著。在这本著作中，笛卡尔把代数的方法应用到了几何学上，创立了解析几何学。他把几何学代数化了，用代数方程来表示几何的图形。他建立了直角坐标系，把数学的两大基本要素“数”与“形”统一起来，可以用代数方法研究解决几何问题，也可以运用几何方法来解决代数问题。这从根本上改变了从古希腊开始的代数与几何分离的趋向，从而推动了数学发展的进程。笛卡尔的解析几何对于后来牛顿、莱布尼茨建立微积分理论发挥了非常重要的作用。笛卡尔生活在资本主义社会与封建社会处在激烈交锋的时代，资本主义作为体现上升时期的新力生量，它标榜人的理性，要求人们一切要凭理性去判断，靠理性去推动人的实践；封建社会以教会神权的信仰来禁锢人的感性，乃至理性的创造力。在这两个理念价值斗争得难解难分的时代，笛卡尔的理性主义的哲学及其美学也充分反映了这种激烈矛盾的时代状况。在哲学思想上，笛卡尔信奉的是理性主义哲学观，他认为在当下时代，一切都要靠理性去判断，但他的理性概念是不完全、不彻底的，他企图用思维来证实存在，提出了“我思故我在”的哲学命题，他所理解的理性主要是指先天的与生俱来的良知良能。他说：“善于判断和辨别真伪的能力——这其实就是人们所说的良知或理性——在一切人之中生来就是平等的。”这就割裂了认识与实践的关系，导致理性与现实实践的脱节。他既承认物质世界，又承认精神世界，在精神与物质何为本源的问题上，他取了个折衷态度，认为世界有两个本源，一个是物质本原，另一个是精神本原，这就是著名的二元论，也就是因为这种认识的不彻底性，笛卡尔最终滑向了唯心主义。笛卡尔在给麦尔生神父的信中，集中讨论了关于美的定义问题。他认为“所谓美和愉快的都不过是我们的判断和对象之间的一种关系；人们的判断既然彼此悬殊很大，我们就不能说美和愉快能有一种确定的尺度”。这个关于美的认识一方面看到了美和愉快是主客体之间形成的一种关系，美从来都不是纯主体或纯客体的，它是主客体“交往”的结果。可以说笛卡尔看到了这个方面，有一定的理论认识价值。但另一方面他又认为因为人们的判断差别很大，就否认关于美的某种确定性，因此难免会又犯了相对论的毛病。他以听众接受标准来试探性地给美下了一个定义：“在感性事物之中，凡是令人愉快的既不是对感官过分容易的东西，也不是对感官过分难的东西，而是一方面对感官既不太易，能使感官还有不足之感，使得迫使感官向往对象的那种自然欲望还不能完全得到满足；另一方面对感官又不太难，不至使感官疲倦，得不到娱乐。”这个定义尽管似是而非的说出了关于美和愉悦的某些特征，但仍然很模糊，带有很强的试探性。在《论巴尔扎克的书简》里，笛卡尔还从文章的形式的角度对美提出了新的认识，这种认识与以前的认识相比又加深了一步。他说：“这些书简里照耀着优美和文雅的光辉，就像一个十全十美的美人身上照耀着美的光辉那样，这种美不在某一特殊部分的闪烁，而在所有各部分总起来看，彼此之间有一种恰到好处的协调和适中，没有哪一部分突出到压倒其他部分，以致失去其余部分的比例，损害全体结构的完美。”在这段话中，笛卡尔认为美在于形式各个部分所形成的完美比例的和谐，言辞所形成的优美和文雅的光辉等。这种从形式方面来认识美的形成与表现，可以说看到了形式部分对形成美所具有的支持作用，形式美也是组成美的主要因素之一。但仅仅从形式方面的因素着眼，相对忽视了内容的因素，仍然是不全面的；而且从形式方面来谈美，以前的文艺理论家早就提过，