立体几何复习

PAGE15-第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底面：互相平行,侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公,共边都平行且相等))(2)棱锥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底面：是多边形,侧面：都是有一个公共顶点的三角形))(3)棱台棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[做一做]1．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体 D．三棱柱2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体3．(2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是()A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形eq\a\vs4\al(考点一)__空间几何体的结构特征________________给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．31.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．eq\a\vs4\al(考点二)__空间几何体的三视图(高频考点)________(1)(2013·高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2015·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．②④③2.(2015·河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()_考点二：空间几何体的直观图__________________已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．若将本例中△A′B′C′是边长为a的正三角形改为△ABC是边长为a的正三角形，求直观图△A′B′C′的面积．1.(2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()2．给出下列几个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2 D．33．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()4．(2015·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为()A．2 B．3C．4 D．55．(2015·昆明三中、玉溪一中统考)如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为eq\f(2,3)，则其侧视图的面积为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),6)6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．7．(2014·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．8．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[做一做]1．(2014·高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2 D．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．3eq\r(3)C．2eq\r(3) D．31．辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．3．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[做一做]3．(2014·高考陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(32π,3)B．4C．2π D.eq\f(4π,3)4.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8，8eq\a\vs4\al(考点一)__空间几何体的表面积__________________(1)(2014·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．2＋eq\f(1＋\r(5),2)π B．2＋eq\f(1＋2\r(5),2)πC．2＋(1＋eq\r(5))π D．2＋eq\f(2＋\r(5),2)π1.(1)(2014·高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18(2)(2015·江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示，则其表面积等于________．eq\a\vs4\al(考点二)__空间几何体的体积(高频考点)__________(1)(2014·高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)(2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为()A．3B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(\r(3),2)(3)(2014·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.2.(1)(2015·太原市模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,4)))cm3B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(π,2)))cm3C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,4)))cm3 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(41＋\f(π,2)))cm3(2)(2013·高考江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.eq\a\vs4\al(考点三)__球与空间几何体的接、切问题__________(2015·唐山市统一考试)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．2B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)3.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝________．方法思想——求空间几何体的体积、面积问题(补形法)(1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(8π,3)B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π(2)已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．1.(2015·河南洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6) D．11．(2015·安徽合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)2.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)3．(2015·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π)B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)4．(2015·浙江嘉兴市高三模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A．2 B．4C．8 D．125．(2015·湖北荆州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B．πC.eq\f(4π,3) D．2π6．(2015·福建福州一中月考)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为eq\f(9,8)，底面周长为3，则棱柱的高h＝________．7．(2014·高考山东卷)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．8．(2014·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．9．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.1．(2014·高考大纲全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9π D.eq\f(27π,4)2．(2015·成都模拟)已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a＝()A.eq\f(5,2)B．3C.eq\f(7,2) D．43．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝1，则四面体A-EFB的体积等于________．4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．5．如图所示，从三棱锥P­ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P­ABC中，求证：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P­ABC的体积．第3讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂αl⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b[做一做]1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒a∥α④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))⇒a∥α其中正确的命题是()A．①②③ B．①④C．② D．①③2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．eq\a\vs4\al(考点一)__线面平行的判定及性质(高频考点)_______如图，在四棱锥P­ABCD中,CD∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，若PM＝MB，求证：CM∥平面PAD.(2)(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.①求证：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱锥D­BC1C的体积．eq\a\vs4\al(考点二)__面面平行的判定与性质______________如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?[规律方法]判定面面平行的方法：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．2.(2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积.eq\a\vs4\al(考点三)__平行关系的综合应用________________(2015·河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．1．(2015·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m2．(2015·大连市双基测试)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α，则a∥β3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形5.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．6．(2015·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β；④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.8.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中点．(1)求证：AM＝CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC.1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且eq\f(B1M,MA)＝eq\f(C1N,NB)，求证：MN∥平面A1B1C1D1.2.如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．3.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.第4讲直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈[0，eq\f(π,2)]．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．④当θ＝eq\f(π,2)时，二面角叫做直二面角．[做一做]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是()A．平行B．垂直C．异面 D．以上都有可能2.如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C11．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交．(2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[做一做]3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直eq\a\vs4\al(考点一)__线面垂直的判定与性质(高频考点)_______直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下三个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直；(3)求体积问题．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M­CDE的体积．1.(1)(2015·大庆市第二次质检)如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离．(2)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面PAB.eq\a\vs4\al(考点二)__面面垂直的判定和性质______________(2014·高考江苏卷)如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.2.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．求证：(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.eq\a\vs4\al(考点三)__垂直关系的综合应用________________(2014·高考北京卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别为A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E­ABC的体积．3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长等于2，求三棱锥C­B1ED的体积；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.eq\a\vs4\al(考点四)__平面图形的翻折问题__________________如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1­BCD，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；(2)求证：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．考题溯源——空间线面垂直关系的证明(2013·高考湖南卷)如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.