初中数学专题《因式分解》含答案解析（十字相乘与分组分解法）

专题14.7因式分解-十字相乘与分组分解法（能力提升）一、选择题。1．（2022春•邵东市期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）2．（2022秋•朝阳区校级期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．2，3 B．2，﹣3 C．1，﹣6 D．﹣1，﹣63．（2022秋•周村区校级月考）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．14．（2022春•市中区期末）若多项式x2+kx﹣6可以因式分解为（x﹣2）（x+3）则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．25．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．126．（2022春•汉寿县期末）多项式x2﹣（y2﹣4y+4）分解因式结果正确的是（）A．（x+y+2）（x﹣y﹣2） B．（x+y﹣2）（x﹣y+2） C．（x+y﹣2）（x+y+2） D．（x﹣y+2）（x+y+2）7．（2021秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）8．（2021•金华二模）利用函数知识对代数式ax2+bx+c（a≠0）的以下说法作出判断，则正确的是（）A．如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）B．存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c C．如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c D．如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c9．（2022•静安区二模）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常数c的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣511．（2022•丰顺县校级开学）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（）A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）12．（2021秋•丰泽区校级期末）已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2二、填空题。13．（2021•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝．14．（2022春•雁塔区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k的因式是（x﹣2）和（x﹣1），则k的值是．15．（2022•莲池区校级开学）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么p的值为，q的值为．16．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝．17．（2017•渠县二模）分解因式：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝．18．（2022春•威宁县期末）请阅读以下因式分解的过程：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣12＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）．这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式：x2+2x﹣3＝．三、解答题。19．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．20．（2022秋•乳山市期中）因式分解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2．21．（2022秋•龙华区校级期中）分解因式：（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．22．（2022春•杭州期中）给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．23．（2022秋•泰山区校级月考）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n+m的值．24．（2021春•左权县月考）阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人说，无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由．25．（2021秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝；（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝．26．（2022秋•娄星区校级月考）阅读以下文字并解决问题：形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．（2）用配方法证明：无论y取何值：的值恒为正数．专题14.7因式分解-十字相乘与分组分解法（能力提升）一、选择题。1．（2022春•邵东市期末）把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+1） C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）【答案】B。【解答】解：原式＝x2﹣（y2﹣2y+1）＝x2﹣（y﹣1）2＝（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选：B．2．（2022秋•朝阳区校级期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．2，3 B．2，﹣3 C．1，﹣6 D．﹣1，﹣6【答案】C。【解答】解：∵把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣2）（x+3），∴a＝﹣2+3＝1，b＝（﹣2）×3＝﹣6，故选：C．3．（2022秋•周村区校级月考）若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（）A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1【答案】B。【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．故选：B．4．（2022春•市中区期末）若多项式x2+kx﹣6可以因式分解为（x﹣2）（x+3），则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】A。【解答】解：由题意得：x2+kx﹣6＝（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，则k＝1．故选：A．5．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12【答案】A。【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，∴a+2c＝2+2×（﹣7）＝2+（﹣14）＝﹣12，故选：A．6．（2022春•汉寿县期末）多项式x2﹣（y2﹣4y+4）分解因式结果正确的是（）A．（x+y+2）（x﹣y﹣2） B．（x+y﹣2）（x﹣y+2） C．（x+y﹣2）（x+y+2） D．（x﹣y+2）（x+y+2）【答案】B。【解答】解：原式＝x2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．故选：B．7．（2021秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b） B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2 D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）【答案】C。【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正确，故A不符合题意；B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正确，故B不符合题意；C．a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C错误，故C符合题意；D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正确，故D不符合题意；故选：C．8．（2021•金华二模）利用函数知识对代数式ax2+bx+c（a≠0）的以下说法作出判断，则正确的是（）A．如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）B．存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c C．如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c D．如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c【答案】C。【解答】解：A．∵x＝p或q时，ap2+bp+c与aq2+bq+c不一定等于0，∴A错误；B．∵最多存在两个实数m≠n，使得am2+bm+c＝an2+bn+c，∴B错误；C．∵ac＜0，则Δ＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，∴C正确；D．∵ac＜0，则△不一定大于0，抛物线与x轴没有交点，∴D错误；故选：C．9．（2022•静安区二模）如果把二次三项式x2+2x+c分解因式得x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），那么常数c的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【答案】B。【解答】解：∵x2+2x+c＝（x﹣1）（x+3），（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3，∴c＝﹣3．故选：B．10．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【答案】A。【解答】解：∵多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故选A．11．（2022•丰顺县校级开学）用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（）A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）【答案】C。【解答】解：A．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）+（2y﹣xy）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么A分组正确，故A不符合题意．B．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣xy）+（2y﹣2x）＝（x2﹣xy）﹣（2x﹣2y）＝x（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣2），那么B分组正确，故B不符合题意．C．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2+2y）+（﹣xy﹣2x）无法进行分组分解，那么C分组错误，故C符合题意．D．x2﹣xy+2y﹣2x＝（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）＝x（x﹣2）﹣y（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣y），那么D分组正确，故D不符合题意．故选：C．12．（2021秋•丰泽区校级期末）已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2【答案】A。【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都为整数，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故选：A．二、填空题。13．（2021•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．【答案】（m﹣n）（a+b）（a﹣b）。【解答】解：原式＝（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2＝（m﹣n）（a2﹣b2）＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．故答案为：（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．14．（2022春•雁塔区校级期中）若关于x的二次三项式x2﹣3x+k的因式是（x﹣2）和（x﹣1），则k的值是2．【答案】2。【解答】解：由题意得：x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2，∴k＝2．故答案为：2．15．（2022•莲池区校级开学）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么p的值为1，q的值为3．【答案】1，3。【解答】解：根据题意得：x2+px﹣6＝（x+q）（x﹣2）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，∴p＝q﹣2，﹣2q＝﹣6，解得：p＝1，q＝3．故答案为：1，3．16．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．【答案】（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）。【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），∴可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b为待定系数，∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，解得a＝﹣2，b＝1，∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．故答案为：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．17．（2017•渠县二模）分解因式：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y+1）。【解答】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y+1）．18．（2022春•威宁县期末）请阅读以下因式分解的过程：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣12＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）．这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式：x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．【答案】（x+3）（x﹣1）。【解答】解：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝[（x+1）+2][（x+1）﹣2]＝（x+3）（x﹣1）．故答案为：（x+3）（x﹣1）．三、解答题。19．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．【解答】解：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝4（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2＝（m﹣n）（4a2﹣b2）＝（m﹣n）（2a+b）（2a﹣b）．20．（2022秋•乳山市期中）因式分解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2．【解答】解：（1）2m2n﹣nm﹣m3n＝﹣mn（﹣2m+1+m2）＝﹣mn（m﹣1）2；（2）（x﹣2）（x﹣3）﹣2＝x2﹣5x+6﹣2＝x2﹣5x+4＝（x﹣4）（x﹣1）．21．（2022秋•龙华区校级期中）分解因式：（1）4ab﹣16ab3（2）2x2﹣2y（2x﹣y）；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）．（4）4x2﹣5x﹣6（用十字相乘法）．【解答】解：（1）4ab﹣16ab3＝4ab（1﹣b2）＝4ab（1+b）（1﹣b）；（2）2x2﹣2y（2x﹣y）＝2（x2﹣2xy+y2）＝2（x﹣y）2；（3）a（a﹣3）+2（3﹣a）＝a（a﹣3）﹣2（a﹣3）＝（a﹣3）（a﹣2）；（4）4x2﹣5x﹣6＝（4x+3）（x﹣2）．22．（2022春•杭州期中）给出三个多项式：①a2+3ab﹣2b2，②b2﹣3ab，③ab+6b2．（1）请任选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；（2）当a＝4，b＝﹣7时，求第（1）问所得的代数式的值．【解答】解：（1）选择①③（答案不唯一），a2+3ab﹣2b2+ab+6b2．＝a2+4ab+4b2＝（a+2b）2；（2）当a＝4，b＝﹣7，原式＝（4﹣14）2＝100．23．（2022秋•泰山区校级月考）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n+m的值．【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，∴3+n＝m，3n＝﹣15，∴n＝﹣5，m＝﹣2，∴m+n＝（﹣2）+（﹣5）＝﹣7．24．（2021春•左权县月考）阅读下列材料：提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人说，无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由．【解答】解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣（2x﹣6y）＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）；（2）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4．∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣5）2+（y+4）2+4＞0．即：无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数．25．（2021秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整