6平面向量易错题精选概述

平面向量易错题集锦―、选择题：在ABC中,a5,b8,C60，则BCCA的值为()A.20B.20C.20富D.20富答案：B.错误分析:错误认为BC,CAC60，从而出错.略解：由题意可知BC，CA120,故BCCA=|BC||CA|cosBC^CA58(!)20.-_.一2关于非零向量。和b，有下列四个命题」“|a||b||ab|”的充要条件是“a和b的方向相同”；“|a||b||ab|”的充要条件是“a和b的方向相反”；“|a||b||ab|”的充要条件是“a和b有相等的模”；“|a||b||ab|”的充要条件是“a和b的方向相同”；其中真命题的个数是(一)TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4—►—►错误分析：对不等式|a||b||ab||a||b|的认识不清.答案：B.已知0、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且AP二tAB(0t1)则OA'・OP‘-的最大值为(-)-\o"CurrentDocument"A.3B.6C.9D.12正确答案:C错因:学生不能借助数形结合直观得到当|0P|cos最大时，0A・0P'即为最大

i—■—ta—ta4.若向量&(cos,sin),b=cos,sin,a与b不共线，则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于-B.a//bC.(aE(a-b)D.a^b正确答案:C错因:学生不能把a、b的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题.加上坐标法检验即可，。向量：(x，y),b向量3,x)5.已知向量&(2cos,2sin),(-,),b(0,1),则a与b的夹角为()3A-2-正确答案:A为2的圆，D."C.2-I-一错因:学生忽略考虑a与b夹角的取值范围在[0,].，思路：a原点为圆心，半径■■，■费0为平面上的定点，A、B、3A-2-正确答案:A为2的圆，D."C.2-I-一错因:学生忽略考虑a与b夹角的取值范围在[0,].，思路：a原点为圆心，半径则ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形正确答案：B错因:学生对题中给出向量关系式不能转化：20A不能拆成(OA、OA).M(a|a(12)(3,4),R},N(a|a(2,2)(4,5),R},则M(

C.(2,2)D.A.{(12)}C.(2,2)D.正确答案:C错因:学生看不懂题意，对题意理解错误.8.已知kZ，AB(k,1)AC(2,4)若|AB|%而，则ABC是直角三角形的概率是(C)12A.77B.777_,7_,分析:由|AB|<10及kZ知k33,2,4D'71,0,12,3,若AB(k,1与AC(2,4)垂直,12A.77B.777_,7_,分析:由|AB|<10及kZ知k33,2,・一・-八、一—八•一—3—k22k30k1或3，所以ABC是直角三角形的概率是7.设a。为单位向量，(1)若。为平面内的某个向量，则a|a官：⑵若。与a。平行，则a|a官；(3)若。与斜平行且|a|1,则aa°.上述命题中，假命题个数是()A.-0B.1一C.2一一DT-一___正确答案:站__错误原因:向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC、opOA(|ab||ac),[0,)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心正确答案:B.B.内心C.重心ABA.外心正确答案:B.B.内心C.重心AB错误原因:对OPOA(|AB|D.垂心AC’、J,[0,|AC|)理解不够.AB不清楚|AB|ACI——I与|AC|BAC的角平分线有关.11・如果abac,且a0,那么()A.bcB.bcC.bcD.b,c在a方向上的投影相等可画图正确答案:D.位错误原因:对向量数量积的性质理解不够向量AB一(3,4按向量^(1,2平移后为()一一A.(4,6)B.(2,2)C.(3,4)D.(3,8)正确答案^错因：向量平移不改变._向量^(2,0)OC(2,2)CAQTcosa,必ina)则向量皿,OB的夹角范围是()A.匕，三-]B.[0,"]C.瑚，二]D.^-^-]12124412122正确答案:A错因:不注意数形结合在解题中的应用(求出A的第一项就容易了)将函数尸2x的图象按向量&平移后得到y2x6的图象，给出以下四个命题：①a的坐标可以是(3,0)②3^的坐标可以是(3,0)和(0,6)⑤a的坐标可以是(0,6)④a的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4正确答案:D错因:不注意数形结合或不懂得问题的实质二___过ABC的重心作一直线分别交AB、AC于D、E,若ADxAB,AEyAC,(xy0),11/则一一的值为()A.4xyB.3C.2D.1正确答案:B错因:不注意运用特殊情况快速得到答案.设平面向量&(2,1),b(,1),若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是()A.(：,2川(2,)B.(2,)C.(L,)D.(,写2二一22答案:a点评:易误选c,错因:忽视a与b反向的情况.设a(x,y),b(x,y),则下列2与)共线的充要条件的有(1122①存在一个实数^，使a=Ab或b=Aa；②|a・b|=|a||b|；③亳L；④(a+b)//(a—b)xyA.1个B.2个C.3个D.4个答案:C点评:①②④正确，易错选D.①包含了当、b是否等于0的情况以原点。及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形°AB，使A90，则AB的坐标为(A.(2,5)B.(2,5)或(2,5)C.(2,5)D.(7,3)或(3,7)正解:B.设AB(x,y)，则由|°A||AB|<5222而又由°入AB得5x2y0由①②联立得x误解:公式记忆不清，—■—F设向量&(x,y),b(x,y)，贝|1122,2y2).■x2y2②2,y5或x2,y5.AB‘或未考虑到联立方程组解.11是a//b的(xyc.充分不必要条件if—f0,a//)，若a/b，22A.充要条件B.必要不充分条件x正解:C.若—x2则罕2X2y(2,5)或(—2,5)D.既不充分也不必要条件有可能x2或y2为0,故选c.y2X2yi%，此式是否成立，未考虑，选A.y220.在°AB中，°A(2cos,2sin),°B(5cos,5sin)，若°A°B5b.寸c.5、；3d.¥22则S°AB=()A.代正解:D.・.・°A-°B5.|°A||°B|cos5(为0A与OB的夹角)(2sin)2、:(•••cos!.•"罗.••S°ab2|OA1l°B误解:C.将面积公式记错，误记为S°abj°AI|°B|sin2coscos)25sin2cos|sin5*321.在ABC中，ABa,BCb，有ab。，则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定错解:C错因:忽视ab0中a与b的夹角是ABC的补角.正解:D23.已知ABC中，ABBC0,则ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案^错解:A或D错因:对向量夹角定义理解不清22.已知A(3,7),B(5,2),向量AB按a(12)平移后所得向量是()A.(2,5)B.(3,3)C.(1,7)D.以上都不是答案』错解:B答案』错解:B错因二将向量平移当作点平移.,—■■—»■24.正ABC的边长为1,设ABa,BCb,ACc，那么ab2七3C.2D.bcca()1以一一正确答案汨错误原因:不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清25.已知acbc|ab||c|0，且a和b不垂直，则ab与(ab)c()A・相等A・相等B・方向相同C.方向相反D.方向相同或相反—I-一正确答案:D错误原因:受已知条件的影响，不去认真思考a上可正可负，易选成B.已知ax2bxc0是关于x的一元二次方程，其中a,b,c是非零向量，且向量0和&不共线，则该方程()A.至少有一根B.至多有一根C.有两个不等的根D.有无数个互不相同的根正确答案汨错误原因:找不到解题思路，可用共线向量定理求解.不是用diaoata设a,b,c是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：①(ab)c①(ab)c(ca)b0②|a||b||ab|@(bc)a(ca)b不与c垂直其中正确命题的个数是(-)A.1个B.2个_C.3个正确答案无一一一二填空题：—K-—I-—*28.若向量。=x,2x,b=3x,2，且a,④若。b,则ab与c不平行—>—>—►—►D.4个1―►―►—►—>—►b的夹角为钝角，则x的取值范围是错误分析:只由a,b的夹角为钝角得到ab。,而忽视了ab0不是a,b夹角为钝角的充要条件，因为a,b的夹角为180时也有ab错误分析:只由a,b的夹角为钝角得到ab正确解法：a,6的夹角为钝角，abx3x2x23x24x0八4解得x0或x……⑴3又由a,b共线且反向可得x-……(2)3/1、,1、由(1),(2)得x的范围是(,w)U(W，0)U(W，)333

答案：（，1）U（1,0）U（4，）.333e2相同的方向作有两个向量匕（1,0）%（0,1）今有动点？，从Po（1,2）开始沿着与向量匕匀速直线运动，速度为|e1e2|;另一动点。，从Q°°（2,1）开始沿着与向量3e12e相同的方向作匀速直线运动，速度为'|3e「2e2|.设P、Q在时刻t0秒时分别在P0、。0处，项当PQP0Qo时，t秒.正确答案：2°一一°°TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"设平面向量。（2,1）,bC,17,若a与b的夹角是钝角，贝U的范围是IT—,e2相同的方向作\o"CurrentDocument"答案：（—,2^|（2,）错解：（^,）\o"CurrentDocument"2错因：“ab0”与“a和b的夹角为钝角”不是充要条件.31.a,b是任意向量，给出:①ab,②|a||b|,⑤a与b方向相反，④a0或b0,⑤a,b都是单位向量，其中是a与b共线的充分不必要条件.答案:①⑤④.错解:①⑤，错因:忽略°方向的任意性，从而漏选.32・若&2,3,b4,7,ac0,则再5方向上的投影为正确答案：•云；错误原因:投影的概念不清楚.33.已知|a|3,|b|5,如果a/人，则咄.正确答案：15.错误原因:容易忽视平行向量的概念.a、b的夹角为0。、180°.2}OP,OQA34.已知O为坐标原点仆（1,1）NM（5,5）集合A{OR||RN|2}OP,OQA且MPMQR,且0,则MPMQ.正确答案：46错误原因:看不懂题意，未曾想到数形结合的思疽三、解答题:一_一/3.3x.x、35.已知向量。(co^x,sin-x),b(co与，si与■),且x[0,品,求22222⑴a^及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是3矿求实数的值.⑴a^及|ab|；(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是2错误分析：（1）求出|abk<22cos2x后,而不知进一步化为2cosx,人为增加难度;TOC\o"1-5"\h\z—>—►—>⑵化为关于cosx的二次函数在0,1的最值问题,不知对对称轴方程讨论.答案：(1)易求abcos2x,|ab|=2cosx；(2)f(x)ab2|ab|=cos2x22cosx=2cos2x4cosx1\o"CurrentDocument"2cosx2~2厂1

—>—>—►—►x0,—cosx0,12从而:当0时，fxmin1与题意矛盾，0不合题意；

TOC\o"1-5"\h\z一31当01时，fxmin2212,-；一c一，35一当1时，fxmin14-,解得泌不满足1;1综合可得：实数的值为二.36.在ABC中，已知AB2,3,AC1,k，且ABC的一个内角为直角，求实数k的值.错误分析:是自以为是，凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案：⑴若BAC90,即AB、AC,■■故ABAC0,从而■■故ABAC0,从而23k0,解得k⑵若BCA90,即BCACBCACAB1,k3,故12—；3；，也就是BCAC0kk30,解得kT13；♦♦■.■⑶若ABC90,即BCAB,也就是BCAB0,而BC1,k3,故23k3「3"13「11综合上面讨论可知，k五或k—-—或k—.TOC\o"1-5"\h\z23337.已知向量川(h1,)向量n与向量川夹角为亍，且m•n1,(1)求向量口；(2)若向量口与向量4(1,0的夹角为^，向量？(cosA,2cos2C)，其中A、C为ABC的\o"CurrentDocument"22内角，且A、B、£依次成等差数列，试求n+p的取值范围.解：(1)设n(x,y)贝U由<m,n>二项得：cos<m,n>=~二一「%：①-4Im[n|.,2Vx2y22由m•n=-1得xy1②一-x0x1一一联立①②两式得[或八y1y0.・・n二(0,1)或(1,0)⑵•.•<n,q>=互，得n•q=02(1,0).・.n=(0,1)若「(1，0)则n・q=10,故n—►

・.・2BAC,ABCB3"CJAn+p=(cosA,2cos2?1)=(cosA,co瓦)・.・n+P'1cos2A1cos2CY(1,0).・.n=(0,1)・.・2BAC,ABCB3"CJAn+p=(cosA,2cos2?1)=(cosA,co瓦)・.・n+P'1cos2A1cos2CY22=*'cos2Acos2C=1cos2AcosL2A)■312cos2A——sin2A122rr2—11]—i牌cos2Av'3cos2Asin2A2212'cos2Acos2C二It2'cos2A|l1\2...0・..02Acos(2A—)338.已知函数f(x)m|xdgsin,1),当2・.・112,1|(m2A—3'33v;2商

弓7)・.・n+P5"3且m0)设向量&(1cos2),b(2,1)c(4sin,1),f(ab)m|1cos2|2mcos2,f(cd)m|1cos2于是有f（ab)-f(cd)2m(cos2sii2)2mcos2・.・(0,")4.・.2(0,5).•・cos20..•当m0时，2mcos0,即f(ab)f(cd)当m0时，2mcos0,即f(ab)f(cd)(0,云)时，比较f(ab^f(cd)的大小.二一A—>—>解：ab22cos，cd2sin2122cos2|2msin（1）当f（A、B）取最小值时，求C（2）当AB分时,将函数f（A、B）按向量p平移后得到函数f（A、B）2cos2A,求p,、，3、，1、(sii2A解：(1)f(A、B)(sin2AV3sin2A「(co&2Bcos2B」1(sii2A（cos2B上）212当sin2A辛，cos2B：时取得最小值，22

A)2・・・A30或60,B30,则C180AB120或A)2⑵f(A、B)sir22Acos22(.A)<3sin2Acos2sii22Acos22A<3sin2Acos2A22cos(2A—)32cos(2AU)333p号2k,3)1、—.—.—.=，x)(m为常数)，且a1、—.—.—.=，x)(m为常数)，且a,b不共线,若向量&,b的夹角落<a,b>为锐角，求实数乂的取值范围.解:要满足a,b*mx即解:要满足a,b*mx即x(mxmx2mx—L1)为锐角，只须a土0且x=0mx2:mxmx2xL一i"八—11°当m0时，x0或x—m2°当m0时，x(m