北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测试试题 文

北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测

试试题文

本试卷共150分，考试时间120分钟。、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。—x己知全集U=R，集合A={x|三0},B={x|y=lg(3x—1)}，则An(B)=xU111A.(0,1]B.(0,3]C.(3,1]D.(—g,3]a—2i己知aWR,复数z=(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a=3+i22A.B.—C.6D.—633某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取25名职工进行问卷调查,若采4•下列函数中，在区间(0,+^)上单调递增的是1x+1A.y=3—xB.y=logxC.y=D.y=05x2x+2则|AB|=9A.4B.-213C.~216.己知tan(a—-)=—三,435则|AB|=9A.4B.-213C.~216.己知tan(a—-)=—三,4316D.可兀则sin(2a+—)—2sin(兀—a)cos(兀+a)=271131A.—B.—C.——D.-55525x+y—2>07•设变量x、y满足约束条件<x-2y+4>0，且z=kx+y的最大值为12,则实数k的值为x—y—4<0A.—2B.—3C.2D.3

兀&在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,v,若a=l,c=2\：3,bsinA=asin(-3—B),贝9sinC=21B.21C.~~T2D21B.21C.~~T2D国199•某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l,则该三棱锥外接球的表面积为A.27nB.28nC.29nD.30n10.函数y=3cosx-1ex的大致图象是6x2y2l11.已知双曲线C：-1=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l：y=\/3x与C交于A,Ba2b2两点，AF,BF的中点分别为M,N,若以线段MN为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为A.3—J3B.2U3—1C.+2D.丫3+1uuuuruuuruuur在△ABC中，AB=8,AC=6,ZA=60o,ABC的外心，若AMAB+卩AC，入，yWR,则4入+3u=3A.4578B.C.D.—333、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。TOC\o"1-5"\h\z己知｛a｝为等比数列，若a=3,a=12，则“a=。n357兀若函数f(x)=2cos(x+2B)+cos2x(0〈e〈—)的图象过点M(0,1),贝Vf(x)的值域为。黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用,其定义为：

1,当x=纟(p,q都是正整数，纟是既约真分数)TOC\o"1-5"\h\zR(x)=<qpp0,当x=0,1或［0,1］上的无理数若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2—x)+f(x)=0,当xW［0,l］时,18f(x)=R(x),则f(§)+f(lg30)=。16•如图，正方体ABCD—AiBiCR的棱长为a,E、F分别是AB、BC的中点，过点D「E、F的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为。三、解答题：共70三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。(12分)某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表(单位：人)：超过1小时不超过1小时壬2281416能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数。p(rp(r:>t)0.0500.0100.001i3.8416A35io.mK2二n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)(12分)已知数列｛a｝是等差数列，其前n项和为S,且a=5,S—3a=7；数列｛b｝为等nn342n比数列。且b=a,b=S。1249(1)求数列｛a｝和｛b｝的通项公式；nna1(2)若c=-^n，设数列｛c｝的前n项和为T,求证^WTWl。nbnn3nn(12分)如图，已知四边形ABCD为梯形，AB//CD,ZCBA=90。，四边形ACFE为矩形，且平面ACFE丄平面ABCD，又AB=BC=CF=a，CD=2a。求证：DE丄BF；求点E到平面BDF的距离。5x2y2(12分)己知点M(2,三)在椭圆E：+一=1(a>b>0)上,A，A分别为E的左、右顶3a2b21259点，直线A1M与A2M的斜率之积为—9，F为椭圆的右焦点，直线l：x=2。(1)求椭圆E的方程；⑵直线m过点F且与椭圆E交于B,C两点，直线BA、CA分别与直线l交于P,Q两点。试22问：以PQ为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标。否则，请说明理由。(12分)已知函数f(x)=lnx—ax,aWR。当a=—1时，求曲线y=f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程；当a>1时，求证：函数g(x)=f(x)+a恰有两个零点。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。［选修4—4：坐标系与参数方程选讲］(10分)以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐\x二4+1cosa标方程是P=6sine+4cose，直线l的参数方程是5,(t为参数)。［y二3+1sina求曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于M、N两点，且|MN|=4J3,求直线l的倾斜角a。［选修4—5：不等式选讲］(10分)己知函数f(x)=|3x+1|—|3x+2|的最大值为m,a,b,c均为正实数，且a+b+c=m。111求证：一+~+—-9;abc求证:pa+、；b+\:c<\：3。第第2页共7页第第1页共7页中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年11月测试理科数学（二卷）答案•选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.123456789101112ADCBADDCABDD二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.314.15.(-00,7]16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.解：/(x)=sillx—a/3cosx=2sin(x)（1）令2滋—今“一彳52氐+今（心）得2k.7T-—<X<2k7T+—(itGZ)66TTSjT故函数/(兀)的单调递增区间为2k7T一一,2^+—(kwZ)TOC\o"1-5"\h\z66B=2上龙B=2上兀,3或332”B=21c7r或B=2kn-\：n^keZ3

••施三角形的内角，•任年••b?=6f'+c2-laccosBa+c+ac=9•9分9分-1112分12分当且仅当a=c=G时，4购C面积的最大值是也4(1)取PC的中点F,连接OF,EF,IE是的中点，・•・EFHBC,且BC=2EF,又ADHBC,BC=2AD:.AD//EF且・•・四边形ADFE是平行四边形,・•・AEHDF,又DFu平面PDC,AE(Z平面PCQAEH平面PDC.(2)若PD二DC,则APDC是等腰三角形，・•・DF丄PC,又AE/IDF,・•・ME丄PCTPD丄平面ABCD,BCu平面ABCD:.PD丄BC,又EC丄CD,CD"PD=D:.丄平面PDC,•/DFu平面PDC・•・BCLDF:.BC1AE又ME丄PC,PCC\BC=C・•・/E丄平面P*C,10分连接EC,AC,贝iZACE就是直线/C与平面PBC10分第第3页共7页设PD=CD=BC=2,在RtbPCB中，求得PC=2忑,PB=2^3,EC=*,在RtMDC中，求得月TOC\o"1-5"\h\z・・・在Rt^AEC中，cosZ£G4=—=.12分AC£519（1）设事件4为“甲盒中取出，个红球”，事件巧为“乙盒中取出丿个红球”则尸S戶方一，卩但）=亡|设事件C为“4个球中恰有1个红球”.•・p(c)=h(4A)+p(ja)=g

c；C.•・p(c)=h(4A)+p(ja)=g

c；C：C；C：1015101510…3分（2）g可取的值为0丄2,3,4z**a0z^2了、0^»22・•“(加o)=F(4A)=誉•吿=乔吃=1)=P(C)琉「0「2「2「0厂1「1「0「2]i卩（訂2）"（4A）+P（也）+耳4心）=青•青+青•青+青•青二炸7分厂1厂1厂2厂0厂2厂0广1厂1o陀=3）★（裁2）叫佔）=昔・岩+昔•害恃9分5"65610分厂、2广0「2「010分•屮_）“（裁2）=苛•苛孑•••§的分布列为:01234P3311915010255050TOC\o"1-5"\h\z.E§=0x2+1x丄+2x^+3x2+4x丄=?12分50102550505第第页共7页20.(1)设A(xvyx),B(x2,y2),A/(x0,j0),则x0="計>0而心>0而心x0-4TOC\o"1-5"\h\z由k•k&p——1得—4=—2,即x0=2・5分(2)设直线AB:x=m(y—y0)+2即AB:x=nw—myQ+2,其中m=—Ck0)"k与抛物线y2一4x联立得y24叩+4tny0-8=0,vA=16m2-4(4〃％-8)>0,/.nr<2则>\+必=4加,yLy2=4my0-8,7分所以|AB|=J1+肘y{-y21=J1+肿•J16〃『-16〃％+32,而p到直®的距离必汨所以S'PAB=如昭=21砂0+21J卅-叭+2•……心分’・・・宀2,加冷所以比刃姑=2(2m2所以比刃姑=2(2m2+2)>/2-m1=4(7222+1)丁2-莎-k21-2>2£分21121.(1)解：若cz=(),•.•=，令厂(x)=_=0,「.x=eXX当r(.x)>0时,0<x<e,/.f(x)在(0,e)上单调递增,当八兀)<0时,x>e,:.f(x)在(e?+oo)上单调递减.•••产(兀)极大值=/'(*)=丄……3分e当xt(t时，/(x)-»-oo,

当X—>-Hx)时，/(x)t(T,.•./(%)&-oo,(2)证法一:h]x/(x)=o=0,/.\nx=ax,Inx=a•ehirInx,,In七是比*-。的两根，设心=ln兀I，/=hix2,g(t)=/•e\g\t)=(1-t)e-,.•£(/)在(・8,1|上单调递增，在［1,+8)上单调递减,•••gajpg©)，圖<切则必有ovt]<i<z2,构j卷函数G(/)=g(l+/)_g(l_/)昇丘(0,1)G(t)=g'(l+/)+g'(l—/)=卞宦・D>0,e••・G(7)在虫(0,1)上单调递增,・•・G(t)>G(0)=0,•••g(2-fi)>g(A)=g02),又・.•2_也e(l,+oo),g(z)在虫(1,48)上单调递减,12分In/InX)+Inx2>2,即x{x2>e12分In/证法二:不妨设1<e<A^,•・・/g)*g,.•.旦l=,即.竺=皿xxx2.X,In设x2=^(/>r),,,/=l^=llLL±12i，叽InxAInX,•/Inx2=ln^)=Inr4-InX1=Inr+—=—,.-.ln^+lnx,=—-lnr，f—If—1t—\要证xt-x2>e2»即证In西+Inx2=匕片-lnr>2，即证In/设心”譽(f>l)，第第6页共7页<•4(z+1)<•4(z+1)2・•・g(t)在(l,+oo)单调递增•12分•••g(l)=O,•••g(/)〉g(l)_O,•••16勺十111兀2>2,即xrx2>e12分（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）（兀、（1）因为直线/的极坐标方程为2psin0一一=9,\6丿(*1)(*1)即2qsin勺cos^—79kZ乙)=9.由兀=qcos&,尹=psin^，TOC\o"1-5"\h\z可得直线/的直角坐标方程为兀—Q+9=0.2分,[x=4cosa,,将曲线C的参数方程彳.，消去参数°,[y=2sina22得曲线C的普通方程为—=1.4分164（2）设Q（4cosa,2sina）,ag[0?2^）.点P的极坐标〔4,彳]，化为直角坐标为（2,2石）.贝9M（2cosa+l,sina+石）.6分所以点M到直线/的距离〃=中,所以点M到直线/的距离〃=中,仙吩半）,2cosa+l-2"7->/77+斤•\/3(sina+>/J)+9|>/7sin(0-a)+7|丘［7-&7+呵=^AB[d=2d丘［7-&7+呵10分•••厶忆松面积的最大值为7+",最小