2022年湖南省株洲市中考数学试卷

2022年湖南省株洲市中考数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．（4分）的绝对值等于A．2 B． C． D．2．（4分）在0、、、这四个数中，最小的数是A．0 B． C． D．3．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．4．（4分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为A．63 B．65 C．66 D．695．（4分）下列运算正确的是A． B． C． D．6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为A． B．， C．， D．7．（4分）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到A． B． C． D．8．（4分）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为A． B． C． D．9．（4分）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是A． B．是直角三角形 C． D．10．（4分）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为A． B． C． D．二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）计算：．12．（4分）因式分解：．13．（4分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是．（用最简分数表示）14．（4分）市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：人员领队心理医生专业医生专业护士占总人数的百分此★则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为．15．（4分）如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则度．16．（4分）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为．17．（4分）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则度．18．（4分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为丈．三．解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：．20．（8分）先化简，再求值：，其中．21．（8分）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为平行四边形．22．（10分）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图（Ⅱ）所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．（1）求的度数；（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．23．（10分）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：专业评委给分（单位：分）①88②87③94④91⑤90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为．（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作品，问的值是多少？（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为，若规定：①“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；②．求该作品的“综合得分”的值．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，点、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点的纵坐标为．（1）求点的横坐标；（2）记四边形的面积为，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示．25．（13分）如图所示，的顶点，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接、，已知．（1）求证：直线是的切线；（2）若线段与线段相交于点，连接．①求证：；②若，求的半径的长度．26．（13分）已知二次函数．（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点，、，，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；②若，令，求的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．

2022年湖南省株洲市中考数学试卷答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．（4分）的绝对值等于A．2 B． C． D．【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．据此解答即可．解：的绝对值等于：．故选：．2．（4分）在0、、、这四个数中，最小的数是A．0 B． C． D．【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．解：，最小的数是，故选：．3．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可．解：，，．故选：．4．（4分）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为A．63 B．65 C．66 D．69【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69，这组数据的中位数是65，故选：．5．（4分）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】．应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案；．应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案；．应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；．应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案．解：．因为，所以选项运算正确，故选项符合题意；．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意；．因为，所以选项运算不正确，故选项不符合题意．故选：．6．（4分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为A． B．， C．， D．【分析】一次函数的图象与轴的交点的横坐标是0，当时，，从而得出答案．解：当时，，一次函数的图象与轴的交点的坐标为，故选：．7．（4分）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到A． B． C． D．【分析】将①式代入②式，得，去括号即可．解：，将①式代入②式，得，，故选：．8．（4分）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边的每一个内角是，求出．解：四边形是内接四边形，，等边的顶点在上，，，故选：．9．（4分）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是A． B．是直角三角形 C． D．【分析】由菱形的性质可得，，通过证明，可得，，，由直角三角形的性质可得，即可求解．解：四边形是菱形，，，，，，，是直角三角形，，，，故选：．10．（4分）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为A． B． C． D．【分析】根据，可知，可排除，选项，当时，可知对称轴，可排除选项，当时，可知对称轴，可知选项符合题意．解：，，故，选项不符合题意；当时，，对称轴，故选项不符合题意；当时，，对称轴，故选项符合题意，故选：．二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）计算：1．【分析】根据有理数的加法法则计算即可．解：．故112．（4分）因式分解：．【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．解：原式．故．13．（4分）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是．（用最简分数表示）【分析】根据能中奖的结果数所有可能出现的结果数即可得出答案．解：所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的可能性相同，（能中奖）．故．14．（4分）市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：人员领队心理医生专业医生专业护士占总人数的百分此★则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为．【分析】根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案．解：，故．15．（4分）如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则15度．【分析】方法一：根据，，可知，从而可证，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．解：方法一：，，，在和中，，，，，．方法二：，，又，平分，，，．故15．16．（4分）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为3．【分析】设交轴于，根据轴为矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，可得四边形是矩形，且矩形面积是3，设，则，即可得．解：设交轴于，如图：轴为矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，四边形是矩形，且矩形面积是3，设，则，，矩形面积是3，，在反比例函数的图象上，，即，，故3．17．（4分）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则48度．【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．解：五边形是正五边形，，是的外角，，故48．18．（4分）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为丈．【分析】连接，根据切线的性质得到，根据正方形的性质得到，求出，结合图形计算，得到答案．解：如图，设正方形的一边与的切点为，连接，则，四边形是正方形，是对角线，，（丈，丈，故．三．解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．解：原式．20．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把代入计算即可得出答案．解：原式；把代入中，原式．21．（8分）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为平行四边形．【分析】（1）利用定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到，得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．证明：（1）在和中，，；（2），，，，四边形为平行四边形．22．（10分）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图（Ⅱ）所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．（1）求的度数；（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．【分析】（1）根据坡度的概念求出，根据平角的概念计算即可；（2）根据含角的直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，进而得到答案．解：（1）山坡②的坡度，，，；（2）在中，，，千米，千米，在中，，，千米，则（千米），该登山运动爱好者走过的路程为：（千米），答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．23．（10分）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：专业评委给分（单位：分）①88②87③94④91⑤90（专业评委给分统计表）记“专业评委给分”的平均数为．（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；（2）对于该作品，问的值是多少？（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为，若规定：①“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；②．求该作品的“综合得分”的值．【分析】（1）“不赞成”的票数总票数赞成的票；（2）平均数总分数总人数；（3）根据“赞成”的票数分“不赞成”的票数分；求出该作品的“综合得分”的值．解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：（张，答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；（2）（分；答：的值是90分；（3）①（分；②（分．答：该作品的“综合得分”的值为96分．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，点、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点的纵坐标为．（1）求点的横坐标；（2）记四边形的面积为，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示．【分析】（1）把代入即可求得；（2）求得，即可得到，，然后根据即可得到结论．解：（1）点在函数的图象上，点的纵坐标为，，解得，点的横坐标为；（2）点在函数的图象上，点的横坐标为2，，，，，，，，，．25．（13分）如图所示，的