2020高中数学 阶段质量检测（一）立体几何初步 北师大版2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精阶段质量检测（一）立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是(）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥解析：选B由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台,也可能是四棱柱，故C不正确;因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B.2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′。已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1,则△ABC的边BC上的高为(）A．1 B．2C.eq\r（2） D．2eq\r（2)解析：选D∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C′＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r(2）。根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半,∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2eq\r(2)。故选D.3．已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(）A．若α⊥γ,α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，mα，nβ，则α∥βC．若m∥n,m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n,m∥α,则n∥α解析：选C对于A，若α⊥γ，α⊥β,则γ∥β或γ与β相交;对于B,若m∥n，mα，nβ，则α∥β或α与β相交;易知C正确;对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C。4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(）A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交解析:选D如图所示，a,b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．5．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是()A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α解析：选C如图，l可以垂直m,且l平行α.6．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线()A．平行 B．异面C．垂直 D．相交但不垂直解析：选C分直尺所在直线在地平面内，直尺所在直线和地面垂直，直尺所在直线和地面相交三种情况讨论．7．已知a，b,c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a∥γ，b∥γ）)⇒a∥b；②eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（α∥γ，β∥γ)）⇒α∥β;③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（α∥c,a∥c)）⇒a∥α；④eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a∥γ，α∥γ））⇒α∥a。其中正确的命题是()A．①②③ B．①④C．② D．①③④解析：选C②正确．①错在可能a与b异面或相交．③④错在a可能在α内．8．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位:cm），可得这个几何体的体积是（）A。eq\f（1,2）cm3 B。eq\f（1，3)cm3C.eq\f(1,6）cm3 D。eq\f（1,12)cm3解析：选C根据三视图可知原几何体是三棱锥，V＝eq\f(1，3）Sh＝eq\f(1,3）×eq\f(1,2）×1×1×1＝eq\f（1,6）(cm3）．9．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（)A．280 B．292C．360 D．372解析：选C由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232,上面长方体的表面积为8×6×2＋6×2×2＋8×2×2＝152，又由于两个长方体的表面积重叠一部分，所以该几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360，故选C.10．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若α∥β，lα，则l∥β；③若α∩β＝l,β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是（）A．3 B．2C．1 D．0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确;借助于三棱柱可知③正确．11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(）A。eq\f(3,16） B。eq\f(9，16)C.eq\f(3，8) D。eq\f(9,32)解析：选A如图所示,设球的半径为R,由题意知OO′＝eq\f(R，2），OF＝R,∴r＝eq\f(\r(3)，2）R.∴S截面＝πr2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)R））2＝eq\f（3π，4）R2。又S球＝4πR2，∴eq\f（S截面，S球)＝eq\f（\f(3π，4）R2,4πR2）＝eq\f（3，16）。12.如图，在三棱柱ABC。A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC,AB的中点，点F在棱CC1上,AB＝BC＝CA＝CF＝2,AA1A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l,则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥N.ADF的体积为eq\f（\r(3），7）C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF解析:选C连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则VN。ADF＝VD­AFN，当N与C1重合时,VD.AFN取最小值为eq\f(\r(3),6),故B错;当BM＝1时,可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°,即CM⊥DF。又∵AD⊥平面CBB1C1,CM平面CBB1C1，∴AD⊥CM。∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确;过C1作C1G∥FA交AA1于点G。若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1平面A1GC1,∴C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为______cm2。解析：圆柱的底面半径为r＝eq\f(1，2)×4＝2（cm），∴S侧＝2π×2×4＝16π(cm2)．答案：16π14．如图,长方体ABCD。A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AD解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，知MN⊥平面ABCD。∴MN⊥AD。答案：垂直15．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1。则该半正多面体共有________个面,其棱长为________．解析：先求面数，有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面,中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地,对于凸多面体,顶点数（V）＋面数（F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图,设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF,过H，G分别作HM⊥AF,GN⊥AF，垂足分别为M,N,则AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f（\r（2），2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f（\r（2），2)x＋x＋eq\f（\r（2)，2）x＝1。解得x＝eq\r（2）－1,即半正多面体的棱长为eq\r（2)－1.答案:26eq\r(2）－116．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD.C，有如下四个结论：①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD中点E,连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E,∴BD⊥平面AEC，又AC平面AEC，故AC⊥BD，故①正确;②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝eq\f(\r（2），2）a。由①知∠AEC是直二面角A.BD.C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形,故②正确;③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°,故③不正确；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE,MN.则MN∥AB，且MN＝eq\f（1，2)AB＝eq\f(1，2）a,ME∥CD，且ME＝eq\f(1，2)CD＝eq\f（1，2）a，∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝eq\f（\r（2），2）a，AC＝a，∴NE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1，2)a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN＝60°，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m)．（1)该几何体是由哪些简单几何体组成的；(2)求该几何体的表面积和体积．解:(1）从三视图中可以看出，该几何体是组合体，上面的几何体是圆锥，下面的几何体是长方体，且圆锥底面圆和长方体上底的一组对边相切．(2）易得圆锥的母线长为eq\r(32＋12）＝eq\r(10），则表面积S＝S圆锥侧＋S长方体－S圆锥底＝π×1×eq\r(10）＋2（2×3＋1×3＋1×2)－π×12＝(eq\r(10)－1）π＋22，体积V＝2×3×1＋eq\f（1，3)×π×12×3＝6＋π，故所求几何体的表面积是(eq\r（10）－1）π＋22（m2），体积是6＋π（m3)．18．（12分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4.(1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面面积;（3）在（2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ，求VⅠ∶VⅡ(体积之比)．解:(1）将侧面沿某条母线剪开铺平得到一个矩形，邻边长分别是4π和4,则从下底面出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4eq\r（1＋π2)。（2）连接OA，OB，∵截面ABCD将底面圆周截去eq\f（1,4），∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2,∴AB＝2eq\r（2）,而截面ABCD是矩形且AD＝4,∴S截面ABCD＝2eq\r(2）×4＝8eq\r(2)。(3）依题知V圆柱＝Sh＝16π，三棱柱AOB。DO1C则VⅠ＋8＝eq\f(1，4)V圆柱＝4π,∴VⅠ＝4π－8，而VⅡ＝V圆柱－VⅠ＝12π＋8，于是VⅠ∶VⅡ＝eq\f(π－2,3π＋2）.19．(12分）如图，在四棱锥P。ABCD中,底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E,F分别是PB，PC的中点．（1)证明:EF∥平面PAD;(2)求三棱锥E­ABC的体积V。解：（1）证明：在△PBC中，E，F分别是PB,PC的中点，∴EF∥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD。（2)连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G。则EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f（1，2)PA。在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°,BP＝2，∴AP＝AB＝eq\r(2）,EG＝eq\f（\r(2)，2)。∴S△ABC＝eq\f(1，2)AB·BC＝eq\f(1,2）×eq\r(2)×2＝eq\r(2),∴VE.ABC＝eq\f（1,3)S△ABC·EG＝eq\f（1，3）×eq\r（2)×eq\f(\r(2），2）＝eq\f(1，3).20．（12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD.A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2,∠BAD＝60°，E,M，N分别是BC，BB1,A1D的中点．(1)证明:MN∥平面C1DE;（2)求点C到平面C1DE的距离．解：（1）证明:连接B1C，ME。因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1，2）B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND＝eq\f(1,2)A1D。由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.（2)过点C作C1E的垂线,垂足为H。由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE由已知可得CE＝1，C1C＝4,所以C1E＝eq\r（17)，故CH＝eq\f(4\r（17）,17)。从而点C到平面C1DE的距离为eq\f(4\r(17)，17）.21．（12分）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE。（1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC(2）求证:BE⊥D1A证明:（1)取AB的中点G，连接EG,FG,则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G,EG平面EFG，FG平面EFG,D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC,∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC。(2)易证BE⊥EA,平面D1AE⊥平面ABCE。平面D1AE∩平面ABCE＝AE.∴BE⊥平面D1AE.又D1A平面D1AE∴BE⊥D1A22．(12分）如图,已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰