二项式系数的性质课件

第一章计数原理二项式系数的性质第一章计数原理一.复习引入1.二项式定理及其特例：2.二项展开式的通项：3.二项式系数，依次为：一.复习引入1.二项式定理及其特例：2.二项展开式的通项：3(a+b)1……(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n二.新授计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中1112113311464115101051………………1615201561…172135352171(a+b)1……(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b(a+b)111121133114641151010511615201561…………此表叫作：二项式系数表(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n……………………………………1二.新授(a+b)11112113杨辉三角杨辉三角人物介绍杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。早在1261年，“杨辉三角”在其编著的《详解九章算法》中出现，此书还说明了表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的（1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。人物介绍杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育三.探究成果展示(a+b)111121133114641151010511615201561…………(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n……………………………………三.探究成果展示(a+b)11112每行两端都是1；除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和.即：性质1.每行两端都是1；性质1.1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是

(1+x)n(1+x)它的展开式中xr项的系数可以表示为2.通过以上两个问题你联想到了什么？思考如下问题：1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是思考如下问题：展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数其定义域是：展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r2468101214161820369f(r)Orf(r)=2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=2468101214161820369f(r)Orf(r)=………………性质2.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即：11121133114641151010511615201561…………………………性质2.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离2468101214161820369f(r)Orf(r)=2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=二项式系数的增减性及最大值性质3.2468101214161820369f(r)Orf(r)=即：当为偶数时，最大为，二项式系数最大二项式系数的增减性及最大值当为奇数时，最大为，且当时二项式系数最大；性质3.证明：即：当为偶数时，最大为，二项式系(P27)各二项式系数和

在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质

——赋值法(是数学中一种常用方法).11

121

1331

1464115101051

1615201561

性质4.二项式系数的和(P27)各二项式系数和在二项式定理中，令(奇数项的二项式系数和)(偶数项的二项式系数和)解：令x=-1得拓展：在展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。(奇数项(偶数项解：令x=-1得拓展：(温故知新)设集合中有个元素，则该集合的子集个数为.请结合本章知识给予合理解释。解：按子集中元素的个数分类，元素个数分别为0,1,2,3，……，n个。对应子集个数依次有：故子集个数(温故知新)解：按子集中元素的个数分类，2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大的项是().C热身小练习:A.第6项B.第7项

C.第6项和第7项D.第5项和第6项此种类型的题目应该先找准r的值，然后再确定第几项。注：1、在(a＋2b)11展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项C2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大C热身小练习:

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1）（3）先增后减，中间项最大；（4）（赋值法）课堂小结：

（2）如果二项式的幂指数n是：①偶数，则中间一项的二项式系数最大。②奇数，则中间两项的二项式系数最大。观察-归纳-论证一般地，展开式的二项式系数有如下性质：二项式系数性质，杨辉三角告诉你；

左右两边相对称，先增后减中间大；观察归纳再论证，数学学习真有趣！分类讨论时时记，赋值求和很有效；二项式系数性质，杨辉三角告诉你；左右两边相对称，先增后减中间第一章计数原理二项式系数的性质第一章计数原理一.复习引入1.二项式定理及其特例：2.二项展开式的通项：3.二项式系数，依次为：一.复习引入1.二项式定理及其特例：2.二项展开式的通项：3(a+b)1……(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n二.新授计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中1112113311464115101051………………1615201561…172135352171(a+b)1……(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b(a+b)111121133114641151010511615201561…………此表叫作：二项式系数表(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n……………………………………1二.新授(a+b)11112113杨辉三角杨辉三角人物介绍杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。早在1261年，“杨辉三角”在其编著的《详解九章算法》中出现，此书还说明了表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的（1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。人物介绍杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育三.探究成果展示(a+b)111121133114641151010511615201561…………(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)n……………………………………三.探究成果展示(a+b)11112每行两端都是1；除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和.即：性质1.每行两端都是1；性质1.1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是

(1+x)n(1+x)它的展开式中xr项的系数可以表示为2.通过以上两个问题你联想到了什么？思考如下问题：1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是思考如下问题：展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数其定义域是：展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r2468101214161820369f(r)Orf(r)=2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=2468101214161820369f(r)Orf(r)=………………性质2.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.即：11121133114641151010511615201561…………………………性质2.对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离2468101214161820369f(r)Orf(r)=2468101214161820369f(r)Or2224262830323436f(r)=二项式系数的增减性及最大值性质3.2468101214161820369f(r)Orf(r)=即：当为偶数时，最大为，二项式系数最大二项式系数的增减性及最大值当为奇数时，最大为，且当时二项式系数最大；性质3.证明：即：当为偶数时，最大为，二项式系(P27)各二项式系数和

在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质

——赋值法(是数学中一种常用方法).11

121

1331

1464115101051

1615201561

性质4.二项式系数的和(P27)各二项式系数和在二项式定理中，令(奇数项的二项式系数和)(偶数项的二项式系数和)解：令x=-1得拓展：在展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。(奇数项(偶数项解：令x=-1得拓展：(温故知新)设集合中有个元素，则该集合的子集个数为.请结合本章知识给予合理解释。解：