线性代数课件：第七章 线性空间与线性变换（第三讲）

§3坐标与坐标变换

3.1向量的坐标

在上一节中,我们知道:n维线性空间中任一向量都可以由V的基唯一地线性表示.由此引出了坐标的概念．

定义3.1

设V是数域F上的n维线性空间,ε1,ε2,···,εn是V的一个基.对于V中任一向量α,则有数域F

中唯一的一组数a1，a2,···,an,使得称有序数组a1,a2

,···,an为向量α在基ε1,ε2,···,εn下的坐标，记为第七章机动目录上页下页返回结束

借用矩阵乘法的形式，记则α的坐标可以方便地用一个n维列向量(数组向量)表达出来：机动目录上页下页返回结束

显然,在取定的基ε1,ε2,···,εn之下,V中向量与其坐标是相互惟一决定的.或者说,在取定基之下,V中向量与数域V中上的n维列向量(数组向量)是一一对应的．

例3.1

求数域F上的线性空间F2×2中向量在基下的坐标.机动目录上页下页返回结束则得到α在这组基下的坐标机动目录上页下页返回结束

解给出向量

在基E11,E12,E21,E22

下的线性表示在基E11，E12，E21，E22下的坐标为

注意,如果基的排列次序变为E11,E21,E12,E22,则例3.1中向量α的坐标中各分量亦要相应的随之改变,而有

请大家记住，基与坐标都是严格有序的概念.机动目录上页下页返回结束类似可知，F2×2中向量

一般地，线性空间R[x]n中向量在基下的坐标为机动目录上页下页返回结束

例3.2

线性空间R[x]3中的向量在基1,x,x2下的坐标为

例3.3

设V是集合{(a,0,b)|a,b∈R}对于通常数组向量加法与数乘运算下所成的实数域R上线性空间,求V中向量α=(2,0,-3)在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,0,1)下的坐标

解由即知

例3.4

设V是二阶实对称矩阵全体的集合对于通常矩阵加法与矩阵数乘运算所成的实数域R上的线性空间.求V中向量在基下的坐标.机动目录上页下页返回结束

解因为所以A在基ε1,ε2

,ε3下的坐标为

我们已经知道了在取定基之下,向量与坐标的一一对应关系.下面的三个定理将进一步揭示这种对应关系的深刻内涵.

定理3.1在n维线性空间中,对于任一基,向量α为零向量的充分必要条件是α的坐标为(0,0,···,0)T.

定理3.1的成立是明显的.它表明:向量与其坐标保持着为零（或非零）的一致性.机动目录上页下页返回结束

定理3.2

设V是数域F上的

n维线性空间.在基ε1,ε2,···,εn下,如果α的坐标为β的坐标为

则1）α+β的坐标为2）kα的坐标为

证明设即有机动目录上页下页返回结束于是可见α+β的坐标为又对任意k∈F

，有故知kα的坐标恰是机动目录上页下页返回结束

定理3.2可推广为：在基ε1,ε2,···,εn之下,若向量组α1,α2,···,αs的坐标为，

则对数域F上的任意数k1,k2,···,k

s,向量k1α1+k2α2+···+ksαs的坐标为

以上结果说明：向量与其坐标的对应关系保持加法，保持数乘，从而保持线性组合的关系式.

定理3.3

设V是数域F上的n维线性空间.在V的一个基ε1,ε2,···,εn之下,向量组α1,α2,···,αs线性相关的充分必要条件是它们的坐标(作为F上的n维数组向量)线性相关.机动目录上页下页返回结束ⅰ)V中向量α1,α2,···,αs线性相关；ⅱ)有数域F中不全为零的数k1,k2,···,ks,使k1α1+k2α2+···+ksαs=0；ⅲ)有数域F中不全为零的数k1,k2,···,ks,使

这里,0=(0，0，···，0)T;ⅳ)数域F上的n维数组向量线性相关.

定理3.3说明：向量组与其相应的坐标组保持着线性相关（线性无关）的一致性.机动目录上页下页返回结束

证明利用定理3.1及3.2，便知以下四种说法互为充分必要条件，从而本定理成立.

证明

已知1,x,x2是R[x]3的基,而g1,g2,g3在基1,x,x2下的坐标为显然线性无关,故知g1,g2,g3亦线性无关.再由本章定理2.1知,作为3维线性空间的3个线性无关向量,g1,g2,g3便是R[x]3的基.机动目录上页下页返回结束

例3.5

对于线性空间R[x]3，证明是一个基.

3.2基变换与坐标变换

例3.6

已知线性空间R3中的向量α=(1,2,-1)T.试求α在基以及在另一个基下的坐标.机动目录上页下页返回结束

解显然,α在基ε1,ε2

,ε3下的坐标为(1,2,-1)T.(注意它在形式上和向量α一模一样,但在概念上不能把空间中的向量与它们的坐标相混淆).设α在基ε’1,ε’2

,ε’3下的坐标为(x1,x

2,x

3)T,则应有即解这个方程组得解毕.机动目录上页下页返回结束同一向量在不同基下的坐标通常是不同的.

设V是数域F上的n维线性空间.ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,

ε’n

是V的两个基.并设（1）若令机动目录上页下页返回结束则A中第i列恰是向量ε’i在基ε1,ε2,···

,εn下的坐标.显然,矩阵A是惟一确定的,并且是可逆的.为了今后应用的方便,我们把(1)式形式地表达为（2）

通常把(2)式称为基变换公式,其中的n阶矩阵A称为由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的过渡矩阵(或称变换矩阵).(2)式这种形式乘法还具有如下的结合律：机动目录上页下页返回结束其中A,B均为矩阵并且是可以相乘的.

在（2）式两端同时右乘A-1，便得

这说明由基ε’1,ε’2,···,ε’

n到基ε1,ε2,···,εn的过渡矩阵恰是由基ε1,ε2,···,εn到基ε’1,ε’2,···,ε’n的过渡矩阵的逆矩阵.机动目录上页下页返回结束于是有机动目录上页下页返回结束

下面研究同一向量在两基下的坐标间的关系.设基ε1,ε2,···,εn与基ε’1,ε’2,···,ε’n之间的关系如（2）式,向量在这两个基下的坐标分别为根据向量在取定基下坐标的惟一性，得或写成（3）机动目录上页下页返回结束(3)或(3)’叫做坐标变换公式.我们看到:从本质上说,是基变换决定了坐标变换.总结以上结果得到下面定理.

定理3.4

设n维线性空间V中,向量α在基ε1,ε2,···,εn及ε’1,ε’2,···,ε’n之下的坐标分别为(x1,x2,···,xn)T及(x1’,x2’,···,x

n’)T.如果两基间的变换公式如(2),则坐标变换公式为(3)或(3)’.

例3.7

在线性空间R3中，求出由基机动目录上页下页返回结束到基的变换公式，并求向量ξ=(4,12,6)T在基α1,α2,α3下的坐标(x1,x2,x3)T。

解首先容易得到由基ε1,ε2,ε3到基α1,α2,α3的变换公式为(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A，机动目录上页下页