Lamb波频散曲线快速计算与绘制

Lamb波频散曲线快速计算与绘制秦鹏【摘要】超声Lamb波已成为快速检测各种金属板材与薄壁管件健康质量的重要手段，但由于其传播过程中的频散和多模态特性使其在应用上受到了一定程度的限制.应用中若相关参数选择不当，会使得检测回波信号相互叠加而难以识别，快速精确的计算频散曲线则是正确选择参数的基础.基于此，在详细分析频散曲线特点的基础上，弓1入了曲线追踪法，并利用该方法完成了相应的软件设计，实现了频散曲线的快速绘制.该软件可用于各种材料的Lamb波频散曲线快速绘制，为检测中的Lamb波模态选择、发射频率等相关参数设置提供了可靠的理论依据.【期刊名称】《太原科技大学学报》【年(卷)，期】2017(038)004【总页数】5页(P260-264)【关键词】Lamb波;频散曲线;相速度;曲线追踪【作者】秦鹏【作者单位】中北大学，太原030051【正文语种】中文【中图分类】TG115.28+5;O242.7Lamb波为超声导波的一种，已广泛用于各中板材和管材的健康质量检测与监测以及材料特性分析［1］。Lamb波在波导传播过程中，携带了与材料特性、波导厚度以及与传播频率有关的群速度、相速度、幅值衰减等相关信息，且由于其具有传播衰减小、传播距离远而受到广泛应用［2］,但又由于其频散关系复杂、多模态等特点，使其应用受到了一定限制，所以在实际应用中，快速精确获取相应频散曲线是Lamb波模态正确选择、模态精确控制以及模态准确分离的基础，决定着超声Lamb波的检测效果与检测精度［3-5］。许多国内夕卜学者对频散曲线数值计算方法做了大量的研究，目前多以Rose等［6］提出Lamb波频散曲线的数值计算方法为基础来绘制，该方法对频厚积和相速度逐点代入，求解超越方程的过零点，然后利用二分法找出相应频厚积的解。文献［7］对频散方程的定义域作分区讨论，避免了频散方程的复数运算。本文通过分析Lamb波的频散方程、频散曲线的特性，优化算法，改进编程思想，引入曲线追踪法实现Lamb波频散曲线的快速计算与绘制。频散方程用于确定波导内特定频率Lamb波所对应的传播速度，对于Lamb波的频散曲线的描述可先从分析其频散方程及其特点出发。选一无约束薄板作为研究对象，几何描述如图1,其在x和z方向无限大，y方向的厚为2h，利用弹性动力学推导出Lamb波的频散方程［7］如下：其中p、q分别为式中k为波数，数值上等于3/cp,cL为纵波，cT为横波。通过对这组方程求解，可得到波导中传播Lamb波相速度cp和频率3的频散关系。对于给定的频率将会有无数个相速度cp值满足该方程，这即是Lamb波的频散特性。这组方程看似简单，但无解析解只能通过数值方法得到其数值解，且这些解中存在有限个实数解和无数个复数解，而只有实数解对应的Lamb波传播模态，因此在绘制频散曲线时，只求实数解，可利用分段函数的方法来求解。以对称模态的方程求解为例，将式(2)代入方程(1)可得：根据Lamb波相速度cp与cT、cL的关系，将其分为三个区段重新整理这一超越方程。区域一，当cP<cT时，式(3)可写成：利用三角公式tanhx=-itan(ix),cothx=icot(ix)，可得：同理分析cT<cp<cL,cp>cL区域的表达式以及反对称模态各区域的表达式，可将式(1)整理成：对称模态和反对称模态群速度可由相速度利用公式：将k=3/cp代入(8)式整理可得：2.1频散曲线特点分析频散曲线如图2所示，是超越方程实数解的集合，从图中可见曲线具有以下几个特点：(1)曲线在整个频厚积范围内连续，且随频厚积增大，A0、S0模态的曲线趋于瑞丽波波速cR，其余模态趋于横波波速cT;(2)所有的频散曲线经过纵波波速cL其斜率都会发生变化；(3)在截止频率附近其相速度趋于无穷大。2.2频散曲线绘制方法设计根据频散曲线特点，引入曲线追踪法求解超越方程数值解。具体方法如下：求初始值，选择最大频厚积值3h,利用迭代法求解方程(6)、(7)获得该频厚积处各个模态的相速度值cp(in)，以及每一模态曲线对频厚积3h的一阶导数k，=dcp/d(3h)和二阶导数2.之所以先求最大频厚积处的值，因为根据频散曲线特点(1)，此频厚下各阶曲线的值都集中在cR~cL间。求解相速度初值时，可缩小相速度cp的迭代范围，即限制在cR~cL间，cp的初始值设为cR，以减小计算量。曲线追踪，如示意图3让频厚积减小一个步长到3h-d(3h)处，利用曲线斜率k，计算相应模态此处的相速度值。根据曲线二阶导k"来确定数值解的迭代方向，当k">0则向上迭代，反之则向下迭代。然后利用牛顿拉夫逊迭代法获得此处的相速度值。⑶依次重复步骤(2)可完成该模态所有的相速度值。2.3软件设计根据频散曲线追踪的方法，用MATLAB快速计算频散曲线的具体步骤如下输入原始数据，E(杨氏模量)、。(泊松比)、K(体积弹性模量或不可压缩性系数)；求最大处频厚积的各阶模态的相速度值；求解3hn=3hmax处各阶模态的初始值，取相速度的初始值cp=cR;代入式(6)、(7)等号左边表达式，记录计算结果的正负号和此时的cp值；以一定的步长连续增加相速度的值m+dcp，并重复1)步骤，直到(6)、(7)等号左边表达式结果发生符号变化，即可确定m之间有方程的解；利用迭代法(牛顿拉夫逊法等)，求出满足一定精度的解，用同样的方法求出各阶曲线的解…；将3h减小一个步长3hn-1=3hn-d(3h),重复1)~2)步骤，求得该频厚积处各阶模态的相速度值…,以及各阶曲线在该频厚积处的曲线斜率=cp(3hn)-cp(3hn-1)/d(3h).继续减小频厚积，依次求出3hn-2=3hn-1-d(3h)处的各阶模态的相速度，斜率k、以及二阶导；⑶连续以一定的步长d(3h)依次减小频厚积，求整个频厚积范围内各阶模态的相速度值；1)对于每一模态，其迭代初始值由上一频厚积处的cp和斜率k获得，即cp(3hn--k-d(wh)为初始值，迭代方向则由k"确定。利用牛顿拉夫逊法求解公式(6)、(7)；重复步骤1)完成所有频厚积下各阶曲线的求解；⑷保存数据，绘制相速度频散曲线图。该方法绘制的低碳钢频散曲线如图4.基于这种算法，设计了Lamb波频散曲线快速绘制软件(软件界面如图5),该软件可以快速绘制各种材料的频散曲线。目前软件中已内置了低碳钢、406高强度钢板、1Cr13材料等常用材料的频散曲线，也可自定义材料的超声特性，快速计算绘制其相应的频散曲线、保存、查询任一点的相关参数。所得结果，可辅助科研人员完成Lamb波模态的选择，频厚积的确定，以及探头频率的选择。利用该软件已辅助完成了不等厚薄板焊接质量检测系统的设计，该检测系统待检测的薄板为不等厚焊接(如图6)，焊缝的一边为1.6mm厚的低碳钢薄板，另一边为2.6mm逐渐变厚的低碳钢底座。由于为薄板焊接，所以检测中采用Lamb波脉冲回波式的检测方法，又因为波导为变壁厚，为能简单清晰地解释回波信号，希望所选的Lamb波在波导传播过程中其群速度不随频厚积的变化而产生较大的变化。从频散曲线图可看出S0、A0模态在频厚积大于4MHz-mm时其群速度接近为常数，可为Lamb波待选模态。再结合声压在板横截面上的分布方式，以及有限元分析，最终选择A0作为检测模态，探头频率选择为5MHz，即入射点的频厚积为8MHz-mm,基于此设计的系统可检测大于①0.5以上的当量气孔。Lamb波频散曲线是将超声Lamb波成功用于工业无损检测的基础。本文利用曲线追踪法快速完成了Lamb波频散曲线的绘制，提高了频散曲线的绘制精度，缩短频散曲线的绘制时间。基于此开发了Lamb波频散曲线快速绘制软件，该软件可绘制各种材料的频散曲线，为模态选择、模态分离和缺陷的智能识别提供了可靠依据。【相关文献】OLSONSE.AnalyticalModelingofLambWavesforStructuralHealthMonitoring[C]//ThirdEuropeanWorkshoponStructuralHealthMonitoring,Granada,Spain,2006.MOLLJ,REZK-SALAMAC,SCHULTERT,etal.InteractivesimulationandvisualizationofLambwavepropagationinisotropicandanisotropicstructures[J].JournalofPhysics:ConferenceSeries,2011,305(1):12095-12104.HAYASHIT,ENDOHS.CalculationandvisualizationofLambwavemotion[J].Ultrasonics,2000,38(1):770-773.SANDERSONR.Aclosedformsolutionmethodforrapidcalculationofguidedwavedispersioncurvesforpipes[J].WaveMotion,2015,53:40-50.ZHUKAIGE,FANGDAINING.Calculationofdispersioncurvesforarbitrarywaveguidesusingfinit