量子力学课件

上节课复本征方程、本本征方程、本征函数、本征厄密算动量算符的厄密动量本征方dx*ˆxdx(ˆx)yAoxzL

px

2nx;p

L

;

Lny,ny

,

p

（二）（二）（（1）角动量算符的形

p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O Lr

量子力学角动量算符为ˆ量子力学角动量算符为

2xxzyi(yzyxzi(zxzyxi(xyLirxiyjrxy z

)zx )zx(yˆz

(zˆ

ˆ

(ˆ

)2y2(yy

zy

(z

xz

(x

y

)2(I)(I)由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项，所直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量解，为此我们采用球坐标较为方便 处理角动量问题的思 直角坐标系变换为球坐标

球坐标ˆY(,)2Y(ˆY(,)2Y(,ˆzY共同本征函分离变

Y(,

分别求

由波函数的标准条件确定波函由归一化条件确定系4 y

(II)球坐直角坐标与球坐标之间的变换关球坐r=r(x,y,x=x(r,,对于任意函数f(r)，其中rxyz的函数，

xrxrsinyrsinsinrzrosz/x2y2ztany/

x2,x3

x,y,5分

x开

r

r

写y r

为

z

r

x

rsin

cos

r

x

y

z

yzz

rsinrcos

sin

z/y/

将（1）式两边将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：

sin

cos

r

sin

sin

r

cos6x

rsin

cos

r

sin

cos

r

sin

sin

r

cosyrsin

sin zr coszrr

x

y

z

分别xyz求rcos

偏导数得x tanx

r

rsin

同x同

1cosr1

cossin

rsin

可y

cosr

sin

1r

得z得

r

sin7x

rsin

cos

r

x

y

z

yrsin

sin

cosz/

zxr coszxr

tan

分别xyz

理x理

r

sinsin偏导数得

y z

1cosrsintan

cos2

x

tan

cos2

rsin

sin

cos2

1sinrsin8代入直角坐标系的xrsincos；yrsinsin

rcos sincos 1coscos

1sin x

sin

sin

sin

1cos

sin

1cos y

sinz

cos

1sin xxi(yzLyi(zxxzzi(xyx

i[sin

i

9x

sin

cos

rsin

rcos

sin

cos

1cos

cos

1sin

sin

sin

sin

1cos

sin

1cos

sinˆ2ˆ2ˆ2xˆ2y2(ˆ2z (z2 (2)2zi1(sin)12]

cos

1sin sin

sin2

（2）本征方(ILzˆ()id(ILz

il解()ce解I、角动量为可观测量，要求本征值lz为实数II、波函数单值条件，要求当2角回到原

ce

lz

i

(2即eilz即e

]

] 于是

m0,

m0,il

本征函

ce

ceim

2eimeind0

(nm)20得

|2

c21

d

im

1c ceceilz

2

最后得最后得 的本征函数和本征值lz

m1

m

eim m() e按ˆz厄密性要求

*ˆz

(ˆz)*其中

和是粒子的任意两个态。*

zd

*(i

|0i*|0i

|2|20ˆ0(L)*z*ˆ

厄厄|00i*|00*(2

)(2)

*(0)(0)(2）*(0) *(2

(2)

(0)由i

lz

可知， lz 本征值，（）常数(II)L2

L2,)

2Y(

无量

球谐函数方

sin

(sin

)

sin2

2

2Y(或[sin

(sin

)

1sin2

2

Y(

2[ sin 2

(sin

)

ˆ

2]

(sin ) sin sin2,)2Y(,ˆ其中

对于

(sin

)

Y(,

通过分离变量，可以L2和Lz的共同本征令：Y(,

求解方

)

Y(,

代入上面方2

(sin

) ]()()

2()(2

ˆ

)()() ()()

2()(sin

2

(

()(

)()

m2

(

1

(sin

)

m

令：

1sin

)

m2sin2

m2 (1

)

1

2

2

m2

12连带Legendre方或参考曾谨言m

时12

2 Legendre方程，设Taylor级数kk

代入，得到递推k kk1k2 k1k

从第l项截断，变为多项

Legendre方程的解Legendre多项2l2

或l－1

2l2r

l2r

r

2lr!lr

2r连带Legendre方程的解：连带Legendre多项2pm 122

dl

1l;m

dlmˆY(,)2Y(,方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式 (,

(1)m

Pm(cos)eimlm

mm1eim

Lz的本征函ll

Y (,

归一化系数，由归一化条件确

Y*(,

(,)

dd N

lm(l(l|m|)!(2l1)4(l|m|)!由于量子数由于量子数ℓ表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。 Y

(,

(,)

dd lm

ll

或参考曾谨言【量子力学】上册(III)(III)根据球函数定义Ylm

,

Nlm

m

)eimPlPl (,)(1)mY lm lmm可可知，对应一l值，m取值0±1±2±3,(2l+1)个值。因此当l确定后，尚有(2l+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个l值有(2l+1)个量子状态，这种现象称为简并，其简(2l+1)度。xx i ,x,y,[ˆx

ˆy]

证 [ˆxˆyyˆzzˆzˆxˆz[yˆz,zˆxxˆz]

y,zˆ

xˆz[ˆz,zˆx][ˆz

xˆz][

y,zˆx][zˆy

xˆz[ˆz,zˆx][zˆy,xˆzy[ˆz,zˆx][y,zˆx]ˆzz[ˆy

xˆz

xˆzˆˆzzˆxˆzˆyz[ˆz,ˆx]y[ˆz,z]ˆ

ˆz]ˆ

[z,

ˆ

ˆy(i)ˆxx(i)ˆi[xˆyˆx [ˆyˆzˆx合记合记之i称为Levi符号其意义如下：123其中，，或x,y,xx

ˆ2

ˆ

ˆ2 xˆ2 x

ˆ2

ˆ

ˆ2

zyxyxzˆyˆxˆyˆzˆzzyxyxz可证ˆ2y0 ˆzˆyˆy可证ˆ2y0 [ˆxˆy[ˆxˆyˆyˆxˆxˆyˆyˆxˆxˆyˆ20x[ˆzx

,ˆ

]

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆz 量子论的发展几乎就是年轻人的天下1925年，海森堡做出矩阵力学的时候，他刚刚24岁爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁德布罗意1923年提出相波的时候，31岁在历史上闪闪发光的量子论的主要人物成名时 泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特23岁约尔当23岁薛定谔36岁，波恩43岁。波恩在哥廷根的理论班，叫做“波 ” 古德斯密特（Goudsmit,SamuelAbraham)荷兰- 卒于内华达。古德斯密特的专 的自旋。和乌伦贝克一样，他也在1927年来到 期