大数定律和中心极限定理资料课件

第四章大数定律与中心极限定理大数定律从理论上解决：中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分布为极限分布，即用正态分布作近似计算。用样本均值近似代替理论均值问题：用频率近似代替概率问题：第四章定义4.1

若存在常数a，使对任给常数,有则称随机变量序列依概率收敛于a

。切比雪夫(Chebyshev)不等式

设的期望E和方差D存在，则对任给常数，有或当n充分大时，几乎所有的都落在a的邻域内。只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。定义4.1若存在常数a，使对任给常数证（对连续型）设~则证（对连续型）设~则补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。解设表示同时开着的灯的数量，则~补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯例设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算并验证切比雪夫不等式例设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计1/12C补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计1/12C定理4.1（切比雪夫大数定律）设相互独立，证前n个随机变量的算术平均由切比雪夫不等式定理4.1（切比雪夫大数定律）设推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的次数，则对任给常数有即事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。证设则由定理4.1得证。推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设相互独立且同分布，即独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。由定理4.1定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设相互独立且同分§4.2中心极限定理定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）设随机变量相互独立且同分布，则对任何实数

x，有当n充分大时，（近似）~§4.2中心极限定理定理4.3（林德伯格－列维Lin注意：不必知道的确切分布，只要求独立、同分布。条件还隐含了每个对总和的影响不大。定理的实际意义：…注意：不必知道的确切分布，只要求独立、同分布。条件补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。解设表示第袋味精的重量，可以认为是独立同分布的，又设表示100袋味精的重量，所求概率为：分布未知由中心极限定理,补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值1若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。设所有的取整误差是相互独立的,且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布.若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.例1相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）设~则对任何实数

x，有~连续型离散型当n充分大时,定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）设~则对任何实数下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1):在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机器超过85台的概率。解设为100台中正常工作的台数，则~B(100,0.8),由定理4.4得例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1)机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台机器正常工作才不影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台解设为正常工作的台数，则~B(100,p).机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补例设某地成年男子身高X~N(170，102)(单位：cm)，随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有70人解:设身高在160cm～180cm之间用事件A表示,则设Y表示身高在160cm～180cm之间的人数，则np=68.26,npq=21.67.因而近似有Y～N(68.26,21.67),Y～B(100,0.6826),身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补例设某注：~•可用正态分布近似；•当p很小，np不太大时，可用泊松分布近似。当n充分大时，~~~注：~•可用正态分布近似；•当p很小，np不太大时，P.111解设每辆车装n箱，重量为，第箱的重量为P.111解设每辆车装n箱，重量为，第箱的重由中心极限定理，~N(50n,25n)查表得解得n<98.0199，即最多装98箱。由中心极限定理，~N(50n,25n)查表得解得设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,补例~某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.保险公司亏本的概率设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中证补例证补例根据独立同分布的中心极限定理，根据独立同分布的中心极限定理，例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解设为500件中的一级品数，则~B(500,0.1),由中心极限定理得(1)现从中任取500件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算:这500件中一级品比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;由切比雪夫不等式例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解设(2)解:设至少应取n件,为n件中的一级品数,则~B(n,0.1

).(2)至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的把握大于95%？(2)解:设至少应取n件,为n件中的一级品数,则(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解练习对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解根据独立同分布的中心极限定理，根据独立同分布的中心极限定理，由德莫佛－拉普拉斯定理知,由德莫佛－拉普拉斯定理知,李雅普诺夫资料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6Jun.1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov.1918inOdessa,Russia李雅普诺夫资料AleksandrMikhailovich德莫佛资料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England德莫佛资料AbrahamdeMoivreBorn:2拉普拉斯资料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France拉普拉斯资料Pierre-SimonLaplace作业P113-114

3,4,5,6,7,8,9作业P113-114

3,4,5,6,7,第四章大数定律与中心极限定理大数定律从理论上解决：中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分布为极限分布，即用正态分布作近似计算。用样本均值近似代替理论均值问题：用频率近似代替概率问题：第四章定义4.1

若存在常数a，使对任给常数,有则称随机变量序列依概率收敛于a

。切比雪夫(Chebyshev)不等式

设的期望E和方差D存在，则对任给常数，有或当n充分大时，几乎所有的都落在a的邻域内。只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。定义4.1若存在常数a，使对任给常数证（对连续型）设~则证（对连续型）设~则补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。解设表示同时开着的灯的数量，则~补例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯例设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算并验证切比雪夫不等式例设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计1/12C补例:设~e(),用切比雪夫不等式估计1/12C定理4.1（切比雪夫大数定律）设相互独立，证前n个随机变量的算术平均由切比雪夫不等式定理4.1（切比雪夫大数定律）设推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的次数，则对任给常数有即事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。证设则由定理4.1得证。推论（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设相互独立且同分布，即独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。由定理4.1定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设相互独立且同分§4.2中心极限定理定理4.3（林德伯格－列维Lindberg-Levy定理）设随机变量相互独立且同分布，则对任何实数

x，有当n充分大时，（近似）~§4.2中心极限定理定理4.3（林德伯格－列维Lin注意：不必知道的确切分布，只要求独立、同分布。条件还隐含了每个对总和的影响不大。定理的实际意义：…注意：不必知道的确切分布，只要求独立、同分布。条件补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。解设表示第袋味精的重量，可以认为是独立同分布的，又设表示100袋味精的重量，所求概率为：分布未知由中心极限定理,补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值1若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.例1：计算机在进行加法时，每个加数取整数。设所有的取整误差是相互独立的,且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布.若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.例1相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？补例：用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）设~则对任何实数

x，有~连续型离散型当n充分大时,定理4.4（棣莫弗－拉普拉斯定理）设~则对任何实数下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。例（P.113A.2)有10000盏电灯，夜晚每盏灯开例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1):在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机器超过85台的概率。解设为100台中正常工作的台数，则~B(100,0.8),由定理4.4得例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工作，(1)机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台机器正常工作才不影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台解设为正常工作的台数，则~B(100,p).机器正常工作的概率应该提高到多少？(2)若该厂至少要85台身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补例设某地成年男子身高X~N(170，102)(单位：cm)，随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有70人解:设身高在160cm～180cm之间用事件A表示,则设Y表示身高在160cm～180cm之间的人数，则np=68.26,npq=21.67.因而近似有Y～N(68.26,21.67),Y～B(100,0.6826),身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补例设某注：~•可用正态分布近似；•当p很小，np不太大时，可用泊松分布近似。当n充分大时，~~~注：~•可用正态分布近似；•当p很小，np不太大时，P.111解设每辆车装n箱，重量为，第箱的重量为P.111解设每辆车装n箱，重量为，第箱的重由中心极限定理，~N(50n,25n)查表得解得n<98.0199，即最多装98箱。由中心极限定理，~N(50n,25n)查表得解得设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设X为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛－拉普拉斯定理知,补例~某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.保险公司亏本的概率设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中证补例证补例根据独立同分布的中心极限定理，根据独立同分布的中心极限定理，例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解设为500件中的一级品数，则~B(500,0.1),由中心极限定理得(1)现从中任取500件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理计算:这500件中一级品比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;由切比雪夫不等式例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.(1)解设(2)解:设至少应取n件,为n件中的一级品数,则~B(n,0.1

).(2)至少应取多少件才能使一级品的