概率统计学-平稳过程

第十二章平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.

第一节严平稳过程一．定义1随机过程，如果对任意维分布函数,任意实数,满足:

则称为严平稳过程,或称狭义平稳过程.

1严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布与参数的原点选取无关,二.严平稳过程的一维,二维分布函数的性质特殊地,取

一维分布函数二维分布函数2上式表明:严平稳过程的一维分布函数不依赖于参数,

二维分布函数仅依赖于参数间距

而与本身无关.

三.(1)离散状态随机过程,严平稳性条件3(2)连续状态随机过程,严平稳性条件一维概率密度函数二维概率密度函数4四.严平稳过程的数字特征的性质设

为连续状态严平稳过程(常数);

(常数);(常数);5(仅依赖于,而不依赖于

);于是得到6

定理一

设是严平稳过程,如果过程的二阶矩存在,那么

(1)均为常数,与参数无关;(2)仅依赖于参数间距,而不依赖于

.7数字特征的这一性质也称为平稳性.定理一的逆定理是不成立的.

例1(Bernoulli序列)独立重复地进行某项试验,每次试验成功的概率为,失败的概率为

.

表示第次试验成功的次数,是严平稳过程.

试验证8(即，分布函数不变)例2

设是相互独立的标准正态随机变量,试验证随机过程不是严平稳过程,

的数字特征也不具有平稳性.9第二节广义平稳过程

(一)广义平稳过程的定义定义2

设随机过程,对于任意,满足:(1)存在且有限;(2)是常数;(3)仅依赖于,而与无关,则称为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程.

10参数集为整数集或可列集的平稳过程又称为平稳序列,或称平稳时间序列.(二)广义平稳过程的数字特征的性质设是平稳过程,则(1)仅依赖于,而与无关;(2)是常数;(3)是常数;

11(5)(仅依赖于,而与无关)。是常数;

(4)问题:12三.平稳过程的例子随机相位正弦波式中和

是常数,

是上服从均匀分布的随机变量.

验证是平稳过程.

例113例2

随机振幅正弦波

,其中

和都是随机变量,且

验证是平稳过程.14例4

通讯系统中的加密序列设

是相互独立的随机

变量序列.同分布,

同分布,设则加密序列是平稳序列.1516

例5

随机电报信号

电报信号用电流或给出,任意时刻的电报

信号为或的概率各为.又以表示内信号变化的次数,已知是一泊松

过程,则是一个平稳过程.泊松过程的定义171819

20解21四.

严平稳过程与广义平稳过程的关系推论

存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义平稳过程22五.两个平稳过程的关系下文中广义平稳过程简称平稳过程.定义3

设和是两个平稳过程,如果互相关函数仅是参数间距

的函数,则称与平稳相关,或称其为

联合平稳的.此时23定义4

称为标准互协方差函数.

特别当时,称两个平稳过程互不相关.

(均为常数).24第三节正态平稳过程一.正态过程

正态随机变量复习：一维正态随机变量,概率密度二维正态随机变量维正态分布概率密度其中协方差矩阵

定义5

如果随机过程,对任意正整数

,服从正态分布则称为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.独立正态过程:如果

是正态过程,独立正态过程.

同时又是独立过程,则称为正态序列:正态过程,如果是可列集,记那么,

是正态序列.二.正态平稳过程设是正态过程,服从正态分布,则必存在,即二阶矩存在.定义

如果正态过程又是(广义)平稳过程,则

称为正态平稳过程.

定理二：设是正态过程.则为严平稳过程为广义平稳过程.例1

设正态过程的均值函数

自相关函数

试写出过程的一维、二维概率密度函数.解例2

设是正态平稳过程,且令

证明是平稳过程.第四节遍历过程(历经过程)一.时间均值和时间相关函数函数

样本函数在区间

设随机过程任固定样本上的函数平均值定义为

在上的函数平均值定义为当变化时,33

定义6

称为随机过程

对于参数的平均值,通常称为随机过程

的时间均值.显然是一个随机变量.在任意处,给任意实数，过程在和的两个状态的乘积

在上的平均值,

记为34定义7

称为随机过程的时间相关函数.(显然它是一个随机过程.)对随机过程时间均值

定义,

35时间相关函数

例1

求随机相位正弦波的时间均

值和时间相关函数.(记住这个例题的结论,以后要用)3637二.各态遍历性定义8

设是一个平稳过程或

{即,

为常

数,且

的均值具有各态遍历性;注：(1)如果则称过程38(2)

如果

则称过程的自相关函数具有各态遍历性.(3)均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或说,该平稳过程具有遍历性.

(三)遍历过程的例子例1