福建省厦门市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题-理

PAGE福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期期中考试高二年数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1.已知是两个不相等的正数，是的等差中项，是的等比中项，则与的大小关系是A.B.C.D.2．在中，内角，，对应的边分别为，，，若，则角等于A．B．C．或D.或3．若关于的二次不等式的解集为实数集，则实数的取值范围是A．或B.C.或D.4．下列各函数中，最小值为的是A．,且B．，C．,D．,5.等差数列{}的前项和记为,若为常数,则下列各数中恒为常数的是A．B．C．D．6.已知变量满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里8.关于的不等式的解集为，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于A．6B．79.小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则A.B.C.D.10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为，则这样的数列共有A.2个B.3个C.4个D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.在等比数列中，，则等于▲.12.已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为▲.13.设函数，则不等式的解集是▲.14.要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲(单位：元)．15.已知方程，其一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围为▲.16．平面内有个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该个圆把平面分成个区域，那么▲.三、解答题：本大题共6小题，共76分。17．（本小题满分12分）在中，内角，，对应的边分别为，，（），且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，且边上的中线长为，求的面积．18．（本小题满分12分）已知等比数列满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n+1＋47<0成立的正整数n的最小值．第2页（共4页）19．（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设正数满足，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围。20.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前项和且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前项和，若对任意恒成立，求实数的最小值.第3页（共4页）21．（本小题满分14分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加万元，该设备使用后，每年的总收入为万元，设从今年起使用年后该设备的盈利额为万元。（Ⅰ）写出的表达式；（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备。问用哪种方案处理较为合算?请说明理由.22.（本小题满分14分）已知数列的前项和。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，，试比较与的大小，并予以证明。第4页（共4页）厦门一中2015-2016学年高二（上）期中考理科数学答题卷班级班级座号姓名准考证号题号选择题填空题171819202122总分得分二.填空题：11.；12.；13.；14.；15.；16..三.解答题：17.(本题满分12分)解： 118.(本题满分12分)解：第1页（共4页）座位号座位号19.(本题满分12分)解：20.(本题满分12分)解：第2页（共4页）21（本题满分14分）解：第3页（共4页）22．（本题满分14分）解：第4页（共4页）厦门一中2015-2016学年高二（上）期中考理科数学试题参考答案一、选择题：BCBDBCADAC二、填空题：11.4；12.；13.；14.；15.；16..10.解∵设等差数列首项为a，公差为d，依题意有na+n(n−1)d＝972，即[2a+（n-1）d]n=2×972

．因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2×97，972，2×972四者之一．

若d＞0，则知2×972≥n（n-1）d≥n（n-1）＞（n-1）2．

故只可能有n=97．于是

a+48d=97．

此时可得n=97，d=1，a=49

或

n=97，d=2，a=1．

若d=0时，则由（3）得na=972，此时n=97，a=97

或

n=972，a=1．

故符合条件的数列共有4个，故答案为C．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵，∴．即．∵，∴，∵，∴，∴．…………4分（Ⅱ）∵，∴.…………7分（Ⅲ）由及（Ⅰ）知，所以，，.…………8分设，则，又在中，由余弦定理得即解得…………10分故…………12分18.解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项

∴a1（2+q2）=3a1q（1），a1（q+q3）=2a1q2+4（2）

由（1）及a1≠0，得q2-3q+2=0，∴q=1，或q=2，…………4分

当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，…………5分

把q=2代入（2）得a1=2，所以，an=2•2n-1=2n；…………6分

第1页（共4页）（Ⅱ）bn＝an＋log2eq\f(1,an)＝2n＋log2eq\f(1,2n)＝2n－n.…………7分所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(21－2n,1－2)－eq\f(n1＋n,2)＝2n＋1－2－eq\f(1,2)n－eq\f(1,2)n2.…………9分因为Sn－2n＋1＋47<0，所以2n＋1－2－eq\f(1,2)n－eq\f(1,2)n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.…………11分因为n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.…………12分19.解：（Ⅰ）不等式或或即或或，…………4分于是原不等式的解集为…………6分（Ⅱ）因为，所以，…………8分当且仅当即时取得最小值，…………9分因为对任意都成立，所以，…………11分于是，所求实数的取值范围是.…………12分20.解：（Ⅰ）由，解得………4分于是，………5分（Ⅱ）因为，所以，………7分第2页（共4页）因为对任意恒成立，………8分且………10分当且仅当时，取“”，所以………11分，即实数的最小值为………12分.21.解：（Ⅰ）.………3分（Ⅱ）由得：即，解得，由知，，即从第三年开始盈利………6分（Ⅲ）方案①：年平均盈利为，则，当且仅当，即时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元.……10分方案②：，当时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．………14分22．（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即………1分，当时，，，………3分.又数列是首项和公差均为1的