天津大学概率论与数理统计条件概率2课件

引例1:掷一个骰子，已知掷出了偶数点，求掷出的是2的概率.引例2:在52张扑克中任取一张,已知是草花的条件下,求是5的概率.引例1:掷一个骰子，已知掷出了偶数点，求掷出的是2的概率.1显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的任意两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

一般地，设A、B是中的两个事件，则显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的任意两个事件，其2

例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.在不了解案情细节(事件B)前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为甲、乙、丙分别为P(A1)、P(A2)、P(A3)，但在知道案情细（知道B发生后）这个估计就有了变化.比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.

即P(A1|B)变大，P(A2|B)，P(A3|B)变小例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙3条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率条件概率与无条件概率若一般地条件概率无条件概率4概率

P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都5条件概率也是概率,故具有概率的性质：3)可列可加性

1)非负性

2)规范性

条件概率也是概率,故具有概率的性质：3)可列可加性63).

设B1，B2,…两两不相容，则有3).设B1，B2,…两两不相容，则有7乘法法则

推广乘法法则推广8

某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解令A

灯泡能用到1000小时

B

灯泡能用到1500小时所求概率为例1

例1某厂生产的灯泡能用1000小时的概率解令9练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”则所求概率为练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的102例下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？要求的概率为条件概率解设“乌龟活到x岁”

由于活到100岁的乌龟一定活到60岁，所以有于是2例下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：（11例1

掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法(定义）1:解法（缩小样本空间）2:解:设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于10}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算例1掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数12例2

从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,已知其中1张是假钞.求2张都是假钞的概率.解一令A

表示“其中1张是假钞”.B表示“2张都是假钞”由缩减样本空间法得下面两种解法哪个正确？例2例2从混有5张假钞的20张百元钞票中任解一令A表13解二令A

表示“抽到2张都是假钞”.B表示“2张中至少有1张假钞”则所求概率是（而不是！）.所以解二令A表示“抽到2张都是假钞”.B表示“2张中14例3设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件产品,已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为多少?解:设A=“两件产品中至少有一件是不合格品”

B=“两件产品都不合格品”4又因为故所求的概为:例3设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件产品,已知15

例：一个学生欲到图书馆借一本参考书．图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．问该学生在该图书馆能够借到书的概率是多少？例：一个学生欲到图书馆借一本参考书．图书馆购进这种书的概率16例：

盒中有3个红球，2个白球。每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球3次,试求第1、2次取得白球、第3次取得红球的概率。例：盒中有3个红球，2个白球。每次从盒中任取一只，观察其颜17例4

为了防止意外,矿井内同时装有A与B两两种报警设备,已知设备A

单独使用时有效的概率为0.92,设备B

单独使用时有效的概率为0.93,在设备A失效的条件下,设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.设事件A,B

分别表示设备A,B有效

已知求解例4例4为了防止意外,矿井内同时装有A与B两设事件A,18解由即故解法二解由即故解法二19例3

盒中装有50个产品,其中30个一等品，20个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解

令Ai

为第

i次取到一等品（1）例3例3盒中装有50个产品,其中30个一等品，20个解20(3)提问：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更简单（2）(3)提问：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更简单21(4)(4)22练一练

甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。解设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”则练一练甲，乙，丙3人参加面试抽23三、全概率公式与贝叶斯公式例:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B三、全概率公式与贝叶斯公式例:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产24

样本空间的划分样本空间的划分25称该式为全概率公式。称该式为全概率公式。26

例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．解

设Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品．显然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

构成完备事件组．依题意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产27例4：一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

解：用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.例4：一场精彩的足球赛将要举行，5张同样的卡片，只有一张上28显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.即则表示“第i个人未抽到入场券”由于因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到29

这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，这就是有关抽签顺序问题的正确解答.30例2：n张奖券中有2张有奖的，求第k个人中奖的概率例2：n张奖券中有2张有奖的，求第k个人中奖的概率31

一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,（1）求第三次才取得合格品的概率.（2）求第三次取得合格品的概率.（3）已知第三次取得合格品，求前两次都取得合格品的概率.例3一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个32求三次内取得合格品的概率.

一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,（1）求第三次才取得合格品的概率.（2）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，例2-1-2“第i次取得合格品”,设解“第i

次取得次品”（i=1，2，3），则所求概率为所求事件为（1）求三次内取得合格品的概率.一批零件共100个,次品率为33⑵设A

表示事件“三次内取得合格品”,则A

有下列几种情况:①第一次取到合格品,②第二次才取到合格品,③第三次才取到合格品,⑵设A表示事件“三次内取得合格品”,则A有下列几种情况34例：设袋中有3个白球，2个红球。现用掷骰子的办法决定取球的数量。如果掷出的点数小于3，则从中取2个球；否则从中取3个球。用X表示取出的白球数，（1）求P{X=2}（2）如果已知取出2个白球，问掷出的点数不超过3的概率是多少？解：设A={掷出的点数不超过3}；B={取出2个白球}；例：设袋中有3个白球，2个红球。现用掷骰子的办法决定取球的数35称该式为贝叶斯公式。称该式为贝叶斯公式。36每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有

i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率(2)通过检验的产品中恰有i

件次品的概率例5例5每100件产品为一批,已知每批产品中i037解设一批产品中有

i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A

为一批产品通过检验则已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与解设一批产品中有i件次品为事件Bi,i=0,38结果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080结果如下表所示i039称为后验概率，它是得到了信息—A

发生,再对导致

A

发生的原因发生的可能性大小重新加以修正i较大时，

称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件

A

的原因

本例中，i较小时，称为后验概率，它是得到了信息—A发生,再对导致A40例6

由于随机干扰,在无线电通讯中发出信号“•”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”还是“—”的概率哪个大？解设原发信号为“•”为事件

B1

原发信号为“—”为事件

B2收到信号“不清”为事件A例6例6由于随机干扰,在无线电通讯中发出信解设原发信号41已知：可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”的可能性大已知：可见,当收到信号“不清”时,原发信号为42例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.

B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只43例8：(1)在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不浇水花凋谢的概率为0.8，浇水花仍会凋谢的概率为0.15，你有90%的把握确信邻居会记着帮你浇花，求(1)在你回来时，花活着的概率；(2)如果花凋谢了，你的邻居忘记帮你浇花的概率.例8：(1)在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不44例9:学生在考试中做一道有四个选项的单项选择题,如果他不知道正确答案,就做随机猜测,假设学生知道正确答案的概率为0.2.现从卷面看题答对了,求该学生确实知道正确答案的概率例9:学生在考试中做一道有四个选项的单项选择题,如果他不知道45例10:

：数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号，问发射端发的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：设A={发射端发射信号“0”}，

B={接收端接收到信号“1”}．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)例10:：数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中46例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，47定理2(p18)设A1，…,An是S的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BS，有

式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:定理2(p18)设A1，…,An是S的一个划分，且P(48甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？解设B=“从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球”，则例7甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从49已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。例8已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。50例6.由于修理状况不同,机器生产次品部件服从三种不同的概率.如果机器正常运作,它以概率0.02生产次品部件.如果机器老化,它以概率0.1生产次品部件.如果它需要修理,它以概率0.3生产次品部件.机器正常运作的概率为0.8,老化的概率为0.1,需要修理的概率为0.1.随机取一个部件是次品的概率.例6.由于修理状况不同,机器生产次品部件服从三种不同的概率.51例.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。(与互逆)

解:设例.某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有52公Bayes

式在医学上的应用应用公Bayes式在医学上的应用应用53应用举例——肠癌普查设事件表示第i次检查为阳性,事件B表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：某患者首次检查反应为阳性,试判断该患者是否已患肠癌？若三次检查反应均为阳性呢？应用举例——肠癌普查设事件表示第i次检查为阳性54由Bayes公式得首次检查反应为阳性患肠癌的概率并不大由Bayes公式得首次检查反应为阳性55接连两次检查为阳性患肠癌的可能性过半接连两次检查为阳性56两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.连续三次检查为阳性几乎可断定已患肠癌两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.连续三次检查为57[例8]用甲胎蛋白法普查肝癌,令

C={被检验者患肝癌}

A={甲胎蛋白检验呈阳性}

由资料已知P(A|C)=0.95,而被检验者未患肝癌的情况下甲胎蛋白检验呈阳性的概率为0.1,又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004,在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率P(C|A)=0.00378

.[例8]用甲胎蛋白法普查肝癌,令

C={被检验者患肝58复查后确实有病：

第三次复查后确实有病：

复查后确实有病：第三次复查后确实有病：59第四次复查后确实有病：

第四次复查后确实有病：60一个部件经销商从仓库购买部件。这些部件要么由A供应商生产，要么由B供应商生产，但部件上没有标识出是哪家供应商供应的。每次发货或每一批的所有零件都是由一个供应商生产的。平均来看，A供应商生产的产品中有2.5%的不合格品，B供应商生产的产品中有5.0%的不合格品。仓库声称70%的部件是A供应商生产的，30%的部件是B供应商生产的。如果经销商随机地从一批产品中抽取4个部件并发现有一个部件是不合格品，问：这批产品是A供应商生产的概率是多少？问题：对于给定的批，随机抽取4个部件包含一个不合格件时，该批来自A供应商的概率是多少？A.0.4422；B.0.5580；C.0.6915；D.0.3085转载请注明出自(六西格玛品质网6sq),本贴地址:6sq/thread-244147-1-1.html一个部件经销商从仓库购买部件。这些部件要么由A供应商生产，要61谢谢谢谢62引例1:掷一个骰子，已知掷出了偶数点，求掷出的是2的概率.引例2:在52张扑克中任取一张,已知是草花的条件下,求是5的概率.引例1:掷一个骰子，已知掷出了偶数点，求掷出的是2的概率.63显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的任意两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

一般地，设A、B是中的两个事件，则显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的任意两个事件，其64

例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.在不了解案情细节(事件B)前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为甲、乙、丙分别为P(A1)、P(A2)、P(A3)，但在知道案情细（知道B发生后）这个估计就有了变化.比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.

即P(A1|B)变大，P(A2|B)，P(A3|B)变小例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙65条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若一般地条件概率无条件概率条件概率与无条件概率若一般地条件概率无条件概率66概率

P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都发生了区别：（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。因而有概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：事件A，B都67条件概率也是概率,故具有概率的性质：3)可列可加性

1)非负性

2)规范性

条件概率也是概率,故具有概率的性质：3)可列可加性683).

设B1，B2,…两两不相容，则有3).设B1，B2,…两两不相容，则有69乘法法则

推广乘法法则推广70

某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解令A

灯泡能用到1000小时

B

灯泡能用到1500小时所求概率为例1

例1某厂生产的灯泡能用1000小时的概率解令71练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”则所求概率为练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的722例下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？要求的概率为条件概率解设“乌龟活到x岁”

由于活到100岁的乌龟一定活到60岁，所以有于是2例下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：（73例1

掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法(定义）1:解法（缩小样本空间）2:解:设A={第一颗掷出6点}B={掷出点数之和不小于10}应用定义在A发生后的缩减样本空间中计算例1掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件下“掷出点数74例2

从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张,已知其中1张是假钞.求2张都是假钞的概率.解一令A

表示“其中1张是假钞”.B表示“2张都是假钞”由缩减样本空间法得下面两种解法哪个正确？例2例2从混有5张假钞的20张百元钞票中任解一令A表75解二令A

表示“抽到2张都是假钞”.B表示“2张中至少有1张假钞”则所求概率是（而不是！）.所以解二令A表示“抽到2张都是假钞”.B表示“2张中76例3设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件产品,已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为多少?解:设A=“两件产品中至少有一件是不合格品”

B=“两件产品都不合格品”4又因为故所求的概为:例3设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件产品,已知77

例：一个学生欲到图书馆借一本参考书．图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2．问该学生在该图书馆能够借到书的概率是多少？例：一个学生欲到图书馆借一本参考书．图书馆购进这种书的概率78例：

盒中有3个红球，2个白球。每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球3次,试求第1、2次取得白球、第3次取得红球的概率。例：盒中有3个红球，2个白球。每次从盒中任取一只，观察其颜79例4

为了防止意外,矿井内同时装有A与B两两种报警设备,已知设备A

单独使用时有效的概率为0.92,设备B

单独使用时有效的概率为0.93,在设备A失效的条件下,设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.设事件A,B

分别表示设备A,B有效

已知求解例4例4为了防止意外,矿井内同时装有A与B两设事件A,80解由即故解法二解由即故解法二81例3

盒中装有50个产品,其中30个一等品，20个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解

令Ai

为第

i次取到一等品（1）例3例3盒中装有50个产品,其中30个一等品，20个解82(3)提问：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更简单（2）(3)提问：第三次才取得一等品的概率,是（2）直接解更简单83(4)(4)84练一练

甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。解设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”则练一练甲，乙，丙3人参加面试抽85三、全概率公式与贝叶斯公式例:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B三、全概率公式与贝叶斯公式例:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产86

样本空间的划分样本空间的划分87称该式为全概率公式。称该式为全概率公式。88

例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．解

设Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品．显然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

构成完备事件组．依题意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产89例4：一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.

5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？

解：用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.例4：一场精彩的足球赛将要举行，5张同样的卡片，只有一张上90显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.即则表示“第i个人未抽到入场券”由于因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，由乘法公式计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到91

这就是有关抽签顺序问题的正确解答.

同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，这就是有关抽签顺序问题的正确解答.92例2：n张奖券中有2张有奖的，求第k个人中奖的概率例2：n张奖券中有2张有奖的，求第k个人中奖的概率93

一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,（1）求第三次才取得合格品的概率.（2）求第三次取得合格品的概率.（3）已知第三次取得合格品，求前两次都取得合格品的概率.例3一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个94求三次内取得合格品的概率.

一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,（1）求第三次才取得合格品的概率.（2）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，例2-1-2“第i次取得合格品”,设解“第i

次取得次品”（i=1，2，3），则所求概率为所求事件为（1）求三次内取得合格品的概率.一批零件共100个,次品率为95⑵设A

表示事件“三次内取得合格品”,则A

有下列几种情况:①第一次取到合格品,②第二次才取到合格品,③第三次才取到合格品,⑵设A表示事件“三次内取得合格品”,则A有下列几种情况96例：设袋中有3个白球，2个红球。现用掷骰子的办法决定取球的数量。如果掷出的点数小于3，则从中取2个球；否则从中取3个球。用X表示取出的白球数，（1）求P{X=2}（2）如果已知取出2个白球，问掷出的点数不超过3的概率是多少？解：设A={掷出的点数不超过3}；B={取出2个白球}；例：设袋中有3个白球，2个红球。现用掷骰子的办法决定取球的数97称该式为贝叶斯公式。称该式为贝叶斯公式。98每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有

i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率(2)通过检验的产品中恰有i

件次品的概率例5例5每100件产品为一批,已知每批产品中i099解设一批产品中有

i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A

为一批产品通过检验则已知P(Bi)如表中所示，且由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与解设一批产品中有i件次品为事件Bi,i=0,100结果如下表所示i01234P(Bi)

0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080结果如下表所示i0101称为后验概率，它是得到了信息—A

发生,再对导致

A

发生的原因发生的可能性大小重新加以修正i较大时，

称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件

A

的原因

本例中，i较小时，称为后验概率，它是得到了信息—A发生,再对导致A102例6

由于随机干扰,在无线电通讯中发出信号“•”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”还是“—”的概率哪个大？解设原发信号为“•”为事件

B1

原发信号为“—”为事件

B2收到信号“不清”为事件A例6例6由于随机干扰,在无线电通讯中发出信解设原发信号103已知：可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”的可能性大已知：可见,当收到信号“不清”时,原发信号为104例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.

B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只105例8：(1)在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不浇水花凋谢的概率为0.8，浇水花仍会凋谢的概率为0.15，你有90%的把握确信邻居会记着帮你浇花，求(1)在你回来时，花活着的概率；(2)如果花凋谢了，你的邻居忘记帮你浇花的概率.例8：(1)在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不106例9:学生在考试中做一道有四个选项的单项选择题,如果他不知道正确答案,就做随机猜测,假设学生知道正确答案的概率为0.2.现从卷面看题答对了,求该学生确实知道正确答案的概率例9:学生在考试中做一道有四个选项的单项选择题,如果他不知道107例10:

：数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号，问发射端发的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：设A={发射端发射信号“0”}，

B={接收端接收到信号“1”}．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)例10:：数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中108例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；