第一章-复数与复变函数-复变函数论-教学课件

第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数；复变函数论为数学中分析学的一个分支，所以也称为复分析；研究的主要对象为可导的复变函数，即解析函数；为建立复变函数的理论基础，首先讨论函数的定义域——

引入复数域和复平面；引入复平面上的点集、区域、Jordan曲线；再引入复变函数的概念、极限与连续等；最后扩展复数域，引入无穷远点及其邻域的概念。第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数；内容：第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点目标或要求：1.理解复数定义及其几何意义；2.熟练掌握复数的运算；3.理解点集、Jordan曲线、单连通区域与多连通区域；4.理解复变函数，及其极限与连续；5.了解无穷远点及其邻域。内容：第一节复数第一节复数1复数域2复平面3复数的模与辐角4复数的三种表示5复数的乘幂与方根6共轭复数第一节复数1复数域⑴复数的基本概念具有z=

x

+iy

的形状的数z，称为复数。

其中：x和y是实数，分别称为z的实部和虚部，记作：

i是虚数单位(-1的平方根，i2=-1)。

两复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。即z1=x1+iy1、z2=x2+iy2

则z1=z2定义为：x1=x2、y1=y2

如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么称z为一个虚数；如果Imz≠0等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数；实部、虚部均为0的复数称为0复数，记为0。⒈复数域⑴复数的基本概念⒈复数域复数四则运算的运算律：①加法交换律②加法结合律③乘法交换律④乘法结合律⑤乘法对加法的分配律加减、乘除互逆。⑵复数的四则运算复数的四则运算定义为：和(差)、加(减)法积、乘法商、除法①做除法时，分母不能为0；②无须记公式，按一般的代数运算，并按i合并，分母无i。复数四则运算的运算律：⑵复数的四则运算复数的四则运算定义为：⑶复数域复数在四则运算这个代数结构下，构成复数域，记为C。复数域=复数集合+四则运算复数域对加、减、乘、除运算封闭；复数域可以看成实数域的扩张，并有：复数域实数域在复数域中，复数没有大小关系；在实数域中成立的代数恒等式，基本在复数域中也成立CR⑶复数域复数在四则运算这个代数结构下，构成复数域，记为C。C⒉复平面:⑴基本概念一个复数z=

x

+iy本质上由一对有序实数(x

,y)唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面。x轴称为实轴，y轴称为虚轴。⑵复数、点、向量在复平面上，从原点到点(x

,y)所引的向量与复数z=

x

+iy也构成一一对应关系。向量在平移关系下，即自由向量。构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。三者等价，不区分。⒉复平面:⑴基本概念⑶加减运算复数的相加、减与向量相加、减的法则是一致的。即满足三角形和平行四边形法则。例如：⑶加减运算复数的相加、减与向量相加、减的法则是一致的。⒊复数的模与辐角⑴复数的模(绝对值)复数z=x+iy的模(绝对值)，为向量的长度，定义为：为实数绝对值、长度概念的推广。单位复数：模为1的复数。0复数的等价条件：模为0。即：z=0|z|=0两复数z1=x1+iy1、z2=x2+iy2的距离：⒊复数的模与辐角⑴复数的模(绝对值)复数的模是有大小关系的。|z|≥0z=x

+iy

则

max{x,y}≤max{|x|,|y|}≤|z|≤|x|+|y|三角不等式三角形两边和大于第三边三角形两边差小于第三边⑵复数模的基本不等式复数的模是有大小关系的。⑵复数模的基本不等式⑶复数的辐角从实轴正向到非零复数z=x

+iy的向量间的夹角θ，并满足称为复数z的辐角。记为：Argz

任一非零复数有无穷多个辐角。以argz表示满足条件

-π<θ≤π的辐角θ，并称为Argz的主值，或称为复数z的主辐角。

-π<argz

≤π辐角和主辐角有下述关系：Argz=argz+2kπ

(k=0,1,2,...)当z=0时辐角无意义，但为了方便起见，常将零复数的辐角记为0。θ⑶复数的辐角从实轴正向到非零复数z=x+iy的向量⑷复数的主辐角的求法z=x

+iy≠0，由

①辐角是多值,主辐角是单值。这是核心,有时也用主辐角记一特定的辐角；②两复数的辐角相等是两个辐角的集合相等，即相等是可差2π的整数倍；③求辐角是求多值，求辐角集合；④辐角的多值性，是一些复变函数为周期或多值函数的原因；⑤由反正切求主辐角时，必须用上式，且要先确定复数的位置——5个集合中的一个，再求；⑥在可差2π整数倍的意义下，复数与其模和辐角一唯一确定的，即两复数相等的充分必要条件为两复数的模相等，且两复数的辐角可相差2π整数倍。⑷复数的主辐角的求法z=x+iy≠0，由①辐角是多值,例(P9例1.2)求Arg(2-2i)、Arg(-3+4i)解:2-2i在第四象限arg(2-2i)=arctan(-2/2)=-π/4Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ

=-π/4+2kπ

-3+4i在第二象限arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π

=-arctan(4/3)+πArg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ

=-arctan(4/3)+π+2kπ=-arctan(4/3)+(2k+1)π(k=0,1,2,...)(k=0,1,2,...)例(P9例1.2)求Arg(2-2i)、Arg(-3+⒋复数的三角形式和指数形式θrxy⑴代数形式复数记为z=x

+iy称为复数z的代数形式。⑵三角形式记复数z的幅角为θ、模为r，则：x=rcosθ,y=rsinθz=r(cosθ+isinθ)

或称为复数的三角形式。单位复数的三角形式:z=cosθ+isinθ⑶指数形式由Euler公式(后面证明)：eiθ=cosθ+isinθ得复数的指数形式：z=reiθ

或z=|z|eiArgz单位复数的指数形式:z=eiθ

满足实数中指数的代数运算规律。⒋复数的三角形式和指数形式θrxy⑴代数形式满足实数中指数的⑷复数三种形式的互化所用公式：

x=rcosθ,y=rsinθ

求主幅角的公式由三角的基本周期为2π，在做转换时，只求主幅角就可以。例(P11例1.5)将复数化成三角表示式和指数表示式。解：

由x=1-cosx≥0，得则

1-cosj+isinj书中有一解法，不很好！三角和指数表示式为互写！⑷复数三种形式的互化所用公式：书中有一解法，不很好！三角和指⑸由指数表示、三角表示复数的运算复数的加减法运算时，用复数的代数表示；其它情况,一般易用指数表示(三角表示)，能简化运算。设①相等

z1=z2r1=r2、Argz1=Argz2②乘法、除法运算公式：模：

Arg(z1·z2)=Argz1+Argz2

Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2

或arg(z1·z2)=Argz1+Argz2+2kπ

arg(z1/z2)=Argz1-Argz2+2kπ

乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)(k=0,1,2,...)为集合相等！幅角：r1=r2、θ1-θ2=2kπ

(k=0,1,2,...)⑸由指数表示、三角表示复数的运算复数的加减法运算时，用复数的⑹复数乘(除)的几何意义设已知z1，z1·z2z1/z2模幅角θ1|z1|z1|z2|·z1θ2z1·z2伸缩(扩大)|z2|增加(正向旋转)θ2伸缩(扩大)1/|z2|减少(反向旋转)θ2特别当z2为单位复数时，z1·z2为z1绕原点正向旋转θ2，z2为旋转乘数。如z2=i，θ2=π/2，z1·z2为z1绕原点正向旋转π/2；

z2=-1，θ2=π，z1·z2为z1绕原点正向旋转π。与向量乘积不同！⑹复数乘(除)的几何意义设z1·z2z1/z2模幅角θ1|z⑺有向角θ

+在本课程中，所有的角都有方向，规定：逆时针为正向，顺时针为负θ

-例(P9例1.2)对复数α、β有：αβ=0α、β中至少一个为0证明：αβ=0|αβ|=0|α|·|β|=0|α|、|β|中至少一个为0

α、β中至少一个为0⑺有向角θ+在本课程中，所有的角都有方向，规定：θ-利用复数的指数(三角)表示解决！⑴整数次幂设：z=reiθ

或z=|z|eiArgz

、n为正整数公式：正整数次幂指数表示——zn=rneinθ

或zn=|z|neinArgz三角表示——负整数次幂指数表示——z-n=r-ne-inθ

或z-n=|z|-ne-inArgz三角表示——DeMoiver公式：通过比较实虚部,可求解高次三角函数与倍角三角函数的关系。⒌复数的乘幂与方根当|z|=1时n为整数利用复数的指数(三角)表示解决！⒌复数的乘幂与方根当|z例(P15例1.7)用cosθ与sinθ表示cos3θ与sin3θ解:由DeMoiver公式cos3θ+isin3θ=(cosθ+isinθ)3=cos3θ+3cos2θisinθ+3cosθ(isinθ)2+(isinθ)3=cos3θ-3cosθsin2θ+i(3cos2θsinθ-sin3θ)比较实虚部得：cos3θ=cos3θ-3cosθsin2θ=4cos3θ-3cosθsin3θ=3cos2θsinθ-sin3θ=3sinθ-4sin3θ例(P15例1.7)用cosθ与sinθ表示cos3θ与s⑵复数的正整数方根问题：已知z=reiθ求满足：wn=z的w。(其中：n为正整数)①公式推导设w=ρeiψ

则有等式：比较幅角和模得：(k=0,1,2,...)由eiθ以为2π基本周期，得k可只取：得：k=0,1,2,...,n-1复数域中,任非0复数有n个n次方根。实数域中不能保证。记n个n次方根：k=1,2,...,n-1k=0,1,2,...,n-1ρneinψ=reiθρn=r、nψ=θ+2kπ

(k=0,1,2,...)⑵复数的正整数方根问题：已知z=reiθ求满足：wn=特点：z的n个不同值的n次方根，其模相同，辐角相差一个常数——2π/n。n个n次方根均匀分布于一个圆周上。此圆的圆心在原点，半径为n个n次方根为圆内截正n边形的n个顶点。作图：先作w0，每次正向旋转(幅角增加)2π/n

，

n-1次得wk。连接wk得圆内截正n边形。此结论可以推广到有理数的情形。②复数正整数方根的几何意义θ/n2π/nw0w1wn-1特点：z的n个不同值的n次方根，其模相同，辐角相差一个常数—例(P15例1.8)求z380的所有根.解

(k012)实数中只一解例(增加)求

解：由于所以有例(P15例1.8)求z380的所有根.实数中只一解例⒍共轭复数⑴定义复数z=x

+iy的共轭定义为：互为共轭复数⑵几何意义关于实轴对称⑶重要关系和常用公式z为实数有关模的问题常用此式处理⒍共轭复数⑴定义z为实数有关模的问题常用此式处理求复数的实部、虚部和模(用z表示)。解：所以例(P17例1.9)（复数）21Im2|-|+zzi2211|-|||-=zz211|-|-+-=zzzzz()()()()1111---+=zzzz11-+=zzw分母实数化时常用的方法——分子、分母同乘分母的共轭！|-|||-=2211Rezzw求复数例(P17例1.9)（复数）21Im2|-|+设、是两个复数，求证：例(P17例1.10)设、是两个复数，求证：例(P17例1.10)例(P18例1.11)若试证：解：即0|||1|22>---Ûbaba|1|||22-<-Ûbaba11<--baba0>()()||1||122--=ba例(P18例1.11)若即0|||1|22>---ÛbabaR⑴说明①一些对应关系：角、幅角、复数；直线、向量、复数；点、复数；②应用复数关于角度、长度等的特有运算；③将几何问题转化为关于复数的运算、方程或不等式。⒎复数在几何上的应用

⑵曲线的复数方程

①过z1、z2的线段方程：z=z1+t(z2-

z1)(0≤t≤1)②过z1、z2的直线方程：z=z1+t(z2-

z1)(t:任意实数)③实轴方程：Imz=0④虚轴方程：Rez=0⑤圆心在z0

，半径为R圆的方程：|z

-

z0|=R,z=

z0+Reiθ特别圆心在原点，半径为R圆的方程：|z|=R,z=Reiθ⑶应用复数证明几何问题(略)

z1z2z0R⑴说明⒎复数在几何上的应用⑵曲线的复数方程z1z2z0第二节复平面上的点集1平面点集的几个基本概念2区域与Jordan曲线第二节复平面上的点集1平面点集的几个基本概念

⑴邻域定义1.1点z0的ρ邻域为复数集合(平面点集——简称为点集)：记为：点z0的去心邻域为点集：记为：

以z0

为圆心，ρ

为半径的闭圆盘为：一般情况对于邻域，不关注半径，而只关注点。z0的邻域、去心邻域记为：⒈基本概念对照实数定义！⑴邻域⒈基本概念对照实数定义！⑵点定义1.2

给定点集E，及点z0。聚点(极限点)：z0的任一邻域内都有E的无穷多个点，z0为E的聚点(极限点)；孤立点：若z0E，但非E的聚点，则称z0为E的孤立点;外点：若z0

E，又非E的聚点，则称z0为E的外点；内点：若有z0一邻域全含于E内，则称z0为E的内点;边界点：若z0的任一邻域内，同时有属于和不属于E的点，则称z0为E的边界点；边界：边界点的全体称为E的边界。记作。E中点：孤立点、内点。不是E中点：外点。是否为E中点不定：聚点、边界点。讨论点间关系！N(z0)，使N(z0)E⑵点定义1.2给定点集E，及点z0。N(z0)，使N(E⑶集定义1.3

开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它。定义1.3

有界集：如果存在r>0

，使得（即使得zE有|z|≤r）则称E是有界集；无界集：不是有界集的集合。有界集E的直径：⑷z0为E聚点的等价条件：①z0的任一邻域内都有E的无穷多个点；②ε>0,z1≠z0,有z1Nε(z0)E；③ε>0,z1≠z2,有{z1,z2}Nε(z0)E；④可从E中取出以z0为极限的点列{

zn}，即：{zn}E且ε>0,N(正整数),使n>N有：|zn-z0|<ε。边界为闭集；(P23)平面上的曲线为闭集。可取到的！d(E)E⑶集定义1.3边界为闭集；(P23)可取到的！d(E)⑴区域定义1.5

如果非空点集D，满足：①(开性)D是开集；②(连通性)D中任意两点可以用完全属于D的折线连起来。则称D为区域。区域是连通的开集；折线连起来的条件是比较宽松的条件；区域为开集，是不含边界的。D⒉区域、Jordan曲线z1z2⑴区域D⒉区域、Jordan曲线z1z2定义1.6

区域D内加其边界C上全部点所组成的集称为闭区域(闭域)。记为：闭区域不是区域！——不满足开性的条件。结合前面的定义，可以定义有界区域、无界区域、有界闭区域、无界闭区域。复平面上的区域往往用不等式表示。例(P23例1.17)

以原点为心，R为半径的圆：|z|<R是有界区域(圆形区域)；|z|≤R是闭圆(圆形闭域)，有界闭域；其边界均为圆周：|z|=R单位圆：|z|<1单位圆周：|z|=1一般圆：|z-a|<r、|z-a|≤r、|z-a|=r定义1.6区域D内加其边界C上全部点所组成的集称为闭区域(y=y1y=y2例(P23例1.18)

以实轴Imz=0为边界:无界区域——上半平面：Imz>0

，下半平面：Imz<0;无界闭域——上半平面：Imz≥0，下半平面：Imz≤0

。以实轴Imz=0为边界:无界区域——左半平面：Rez<0

，右半平面：Rez>0;无界闭域——左半平面：Rez≤0

，右半平面：Rez≥0

。例(P23例1.19)

上半平面中单位圆的外部|z|>1、Imz>0

例(P24例1.20)

带形区域：y1<Imz<y2例(P24例1.21)

同心圆环：r<|z|<Ryx0rRy=y1y=y2例(P23例1.18)以实轴Imz=0为⑵曲线定义1.7设x=x(t)、y=y(t)是实变数t的两个实函数，在闭区间上[α,β]连续，则由方程或：所决定的点集c，称为复平面上的一条连续曲线上式称为曲线c的参数方程z(α)、z(β)分别称为曲线c的起点和终点若有t1≠t2，t1(α,β)

、t2[α,β]使得z(t1)=z(t2)，则称点z(t1)或z(t2)为曲线c的重点凡无重点的连续曲线称为简单曲线或Jordan曲线满足z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲线简单闭曲线为有界闭集。z=z(t)=x(t)+iy(t)

α≤t≤β

x=x(t)、y=y(t)

α≤t≤β本课程的重要基础概念！yx0cz(α)z(β)z(t1)=z(t2)简单曲线简单闭曲线⑵曲线定义1.7z=z(t)=x(t)+iy(t)α定义1.8

如曲线c：z=z(t)

α≤t≤β的长度是可求的，则称c为可求长的(曲线)。定义1.9

设简单曲线(简单闭曲线)c的参数方程:z=z(t)=x(t)+iy(t)

α≤t≤β满足：即存在、连续、不为0，则称c为光滑(闭)曲线。定义1.10由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。光滑曲线、逐段光滑曲线的要点为保证曲线可求长度，连续曲线不能保证此点；光滑曲线的切线唯一确定，可平行与坐标轴；光滑曲线起、终点切线斜率是单边导数，但对闭曲线，两单边导数要相等。曲线长度的定义同数学分析中的定义！存在、连续、不全为0，分析中的弧微分和求弧长！定义1.8如曲线c：z=z(t)α≤t≤β曲线长定理1.1（Jordan）定理:任一简单闭曲线c将z平面唯一地分成c及I(c)、E(c)三个点集，它们具有如下性质：①彼此不交②I(c)是一个有界区域（称为c的内部）；③E(c)是一个无界区域（称为c的外部）；④若简单折线的P一个端点属于I(c)

，另一个端点属于E(c)

，则P必与c有交点。定理的直观意义十分清楚，但其证明并非易事，因此略去证明。简单闭曲线的条件不能改！I(c)不是区域不连通！cI(c)E(c)P1P2两个有界区域，此点不在它们中！定理1.1（Jordan）定理:任一简单闭曲线c将z平面唯一⑶曲线的方向本课程的曲线均为有向曲线，即曲线是有方向的，曲线的方向规定为：①非闭曲线，起点到终点为正向，否则为负向；②闭曲线，“逆时针”方向为正向，“顺时针”方向为负向。在区域边界上的行走方向：保持区域在行走方向的左侧！但曲线的方向还是按上规定！cyx0正向负向行走方向正向行走方向负向⑶曲线的方向本课程的曲线均为有向曲线，即曲线是有方向的，曲线D⑷区域的连通性定义1.11

对于区域D，若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D

，则称D为单连通区域。不是单连通区域的区域称为多连通区域(复连通区域)。单连通多连通重要特征内任意一条简单闭曲线可经连续的变形而缩成一点不具有这个特征边界一条简单曲线多条简单曲线,可为一点洞

无有，可为一点D单连通区域多连通区域如多连通区域的边界为n条简单闭曲线，则称为n连通区域D⑷区域的连通性定义1.11单连通多连通重要特征内任意一y=y1y=y2连通性例(P23例1.18)

例(P23例1.19)

上半平面中单位圆的外部|z|>1、Imz>0

单连通无界区域例(P24例1.20)

带形区域：y1<Imz<y2例(P24例1.21)

同心圆环：r<|z|<Ryx0rR单连通无界区域多连通有界区域单连通有界区域：简单闭曲线c的内部I(c)多连通有界区域：去心邻域y=y1y=y2连通性例(P23例1.18)例(P23例1第三节复变函数1复变函数的概念2复变函数的极限与连续第三节复变函数1复变函数的概念⒈

复变函数的概念定义方法与实数函数的定义方法类同,只是复变函数允许有多值;一些标准的记法和基本的代数性质(如四则运算、有界等)也可以推广到复变函数的情形;以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。⑴定义定义1.12设E为一复数集，若对E内每一复数z，有唯一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数w=f(z);如对内每一复数z

，有几个或无穷多个w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数w=f(z);E称为函数的定义域;对于E，w值的全体所成集称为函数的值域。Ez平面对应关系f一个多个单值多值函数w=f(z)则确定w，zEf(E)={w|w=f(z),zE}⒈复变函数的概念定义方法与实数函数的定义方法类同,只是复变例(P29例1.23)

单值：w=|z|、w=z2

、多值：w=Argz(z≠0)例(P30例1.24)

w=z2+2记z=x+iy记z=reiθ复变函数有三种表示形式——复变函数与实数函数的关系：w=f(z)

zE若记z=x+iy，若记z=reiθ，则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y)

，或P(r,θ)和iQ(r,θ)

。但两个二元实变函数不是独立的，是有紧密关系的！w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)(n:大于1的正整数)w=x2-y2+2+2xyiw=rcos2θ+2+(r2+sin2θ)iw=Ref(z)+iImf(z)=P(r,θ)+iQ(r,θ)例(P29例1.23)单值：w=|z|、w=z2、w=RFE⑵几何意义数学分析中，一元函数，1数对应1数，可用二维空间表示函数；

二元函数，2数对应1数，可用三维空间表示函数。复变函数中，函数关系，2数对应2数，要用四维空间表示函数。——难！复变函数中，几何表示函数关系：w=f(z)

zE是用两个平面，分别称为z平面(原像平面)与w平面(像平面)。有时也将两个平面叠起画。而把复变函数理解为两个复平面上的点集间的对应。z平面为定义域所在平面，w平面为值域所在平面。w=f(z)：z平面点集E，到w平面点集f(E)={w|w=f(z),zE}的映射。函数、变换、映射、对应、对应关系为5个等同概念。像(像点)：w=f(z)为z的像(像点)；原像：z为w=f(z)的原像。像的原像经常是不唯一的。如w=z2像w=1有两个原像w=1、-1yx0z平面vu0w平面w=f(z)wzFE⑵几何意义数学分析中，一元函数，1数对应1数，可用二维空⑶反函数

给定：w=f(z)zE、w平面上点集F若对E的任一点z,有F的点w,使得w=f(z),则称w=f(z)把E变(映)入F(简记为f(E)F,),或称w=f(z)是E到F的入变换。值域为F的子集若f(E)F,且对F任一点w,有E的点z,使得w=f(z),则称w=f(z)把E变(映)成F(简记为f(E)=F),或称w=f(z)是E到F的满变换。值域和F相等满变换保证F中每点都有原像——反函数！FEyx0z平面w=f(z)f(E)f(E)=Fvu0w平面定义1.13、定义1.14

⑶反函数给定：w=f(z)zE、w平面上点集FFEy定义1.15若w=f(z)是点集E到F的满变换,且对F中的每一点w,在E中有一个(或至少两个点)与之相对应,则在F上确定了一个单值(或多值)函数,记为z=f

-1

(w),称其为w=f(z)的反函数(逆变换)

；若z=f

-1

(w)是F到E的单值变换(函数)，则称w=f(z)是E到F的双方单值变换或(一一变换、双射)。f(E)=F满足w=f(z)一个多个单值多值函数反函数z=f

-1

(w)则确定z，wFf(E)=FEyx0z平面vu0w平面w=f(z)z=f

-1

(w)两个特殊的函数:f(E)=Fw=f(f

-1

(w))F→F的变换z=f

-1

(w)单值z=f

-1

(f(z))E→E的变换定义1.15若w=f(z)是点集E到F的满变换,且对F中的每例(P32例1.25)

确定函数图形的方法:选择复数的表示以表述原像,选择函数复数的表示,确定函数实虚部或模幅角及其关系以表述像。函数w＝z2把z平面上的下列曲线变为w

平面上的何种曲线？①以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；②倾角θ=π/3的直线；解：①、②复数z选择指数表示：z=reiψ

其中r=|z|、ψ=argz,则：w＝ρeiφ＝r2ei2ψ

其中ρ＝r2

、φ＝2ψ

①原像：r=2、0≤ψ≤π/2以原点为心，4为半径，在第1、2象限里的圆弧(半圆)②原像：ψ=π/3、ψ=π/3-π(直线为两条射线)

像:φ=2π/3、φ=2π/3-2π③双曲线x2－y2＝4。像：ρ＝4

、0≤φ≤π即φ=2π/3(倾角为=2π/3的射线)z平面w

平面w＝z224π/3π/3-π2π/3③复数z代数表示：z=x+iy,则：原像:x2－y2＝4像:w＝4+2xyi实部固定为4，虚部任意，为直线例(P32例1.25)确定函数图形的方法:选择复数的表示⒉复变函数的极限与连续性⑴极限①定义定义1.16

设w=f(z)于点集E上有定义，z

0为E的聚点。如果存在一复数w

0

，使>0,δ>0，当0<|z-z0|<δ,zE

,有|f(z)-w0|<则称函数f(z)沿E于z0有极限。并记为:当不会产生误解时，也称当z趋于z0时函数f(z)

有极限，并记为:定义方式和表述基本与一元实变量函数类同！⒉复变函数的极限与连续性⑴极限定义方式和表述基本与一元实变量f(

)②极限的几何意义w=f(z),z

Ez

0为E的聚点一复数w0w平面>0δ>0当0<|z-z0|<δ,zE

|f(z)-w0|<Eyx0z平面vu0w平面w=f(z)z0w0w平面N

(w0)，即圆盘|w-w0|<δz平面，即去心圆盘0<|z-z0|<δ∩EN

(w0)f()②极限的几何意义w=f③与实函数的异同同：定义、表述、应用、证明方法z

0为E的聚点是保证非空集：1元实函数也有此要求：函数在x

0的去心邻域有定义极限的唯一性、极限的和、差、积、商、复合函数等性质可限定、δ的变化范围异：与z趋于z

0的方式无关，要沿任意方向和任何路径趋于z

0

这是与1元实函数的极限的不同，而与多元实函数相同常用此说明极限的不存在由于复数无大小关系，所以不能直接引入“有界性”、“保号(保序)性”，但可通过模引入。∩E③与实函数的异同同：∩E④与实虚部重极限的关系定理1.2设函数在点集E上有定义；为E的聚点。则复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限用于将复变函数的极限问题转换为数学分析的的极限问题④与实虚部重极限的关系定理1.2复变函数的极限等价于两个实变定理1.2必要性的证明根据定义时，有：而：时，有：即：定理1.2必要性的证明根据定义时，有：而：时，有：即：定理1.2充分性的证明根据定义时，有：时，有：定理1.2充分性的证明根据定义时，有：时，有：⑵复变函数在一点的连续性①定义定义1.17设函数w=f(z)在集合上有定义，z

0为E的聚点，如果成立，则称函数w=f(z)沿E在z

0处连续。当不会产生误解时，记当时，称函数w=f(z)在z

0处连续。用—语言表述为：>0,δ>0，当|z-z0|<δ,zE

,有|f(z)-f(z0)|<⑵复变函数在一点的连续性①定义②复变函数在一点连续的性质Ⅰ保持四则运算——加、减乘除（分母不等于零）；Ⅱ保持复合运算——保证运算是可行的；Ⅲ极限和连续的(局部)有界性例

(P36例1.27)

则f(z)在z0某邻域N

(z0)去心邻域有界如证明：对一固定的0>0,δ>0，当0<|z-z0|<δ有|f(z)-A|<0

而|f(z)|-|A|<|f(z)-A|所以|f(z)|<0

+|A|连续则无“0<”含在定义域内的部分0

+|A|为f(z)的一个界②复变函数在一点连续的性质Ⅰ保持四则运算——加、减乘除（分母Ⅳ极限和连续的“保号性”例

(P37例1.28)

则f(z)在z0某邻域N

(z0)去心邻域不为0如证明：对一固定的0>0,δ>0，当0<|z-z0|<δ,zE

,有|f(z)-A|<0

而|A|-|f(z)|<|f(z)-A|所以|f(z)|>|A|-0由于A≠0取0=|A|/2>0则|f(z)|>|A|-0=|A|/2>0≠0含在定义域内的部分连续则无“0<”Ⅳ极限和连续的“保号性”例(P37例1.28)则f(z)定理1.3设函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点集E上有定义，z

0E

，则：③复变函数连续性与实值函数连续性的关系w=f(z)沿E在点z

0连续二元实变函数u(x,y)、v(x,y)沿E于点z

0连续由连续的定义和定理1.2，即可证明例

(P35例1.26)设试证f(z)在原点无极限，从而在原点不连续。证：令变点：则沿正实轴(θ=0)沿第一象限的平分角线(θ=π/4)故在原点无确定的极限，即无极限，更不连续。=reiθ定理1.3③复变函数连续性与实值函数连续性的关系w=f(z)⑶复变函数集合上的连续性①定义定义1.18如函数w=f(z)在点集E上各点均连续，则称w=f(z)在E上连续。②说明Ⅰ当E为实轴上一段[α,β]时，则[α,β]上的连续曲线就是[α,β]上的连续函数z=z(t)；Ⅱ闭区域的边界上点z

0的连续性，只考虑闭区域的z点趋于z

0的情况；Ⅲ连续函数w=f(z)将z

平面的连续曲线变换为w

平面的连续曲线。z0z⑶复变函数集合上的连续性①定义z0z定理1.4(Bolzano——Weierstress聚点定理)每一个有界无穷点集至少有一个聚点。定理1.5(闭集套定理)无穷闭集列{}:至少有一个为有界是的直径。则必有唯一的一点：定理1.6(Heine——Borel覆盖定理)设有界闭集E的每一点z都是圆Kz的圆心,则这些圆{Kz}中必有有限个圆把E盖住。⑷平面点集的基本定理已在数学分析中学习和证明过！定理1.4(Bolzano——Weierstress聚点由复变函数与实值函数连续性的关系——定理1.3、数学分析中连续函数的性质可得：关于实变连续的函数的基本性质——有界闭集上连续函数的基本性质（有界性、取到极大模和极小模、一致连续性等）等可以推广过来：定理1.7

设函数w=f(z)在有界闭集E上连续，则①在E上w=f(z)有界，即M>0，使|f(z)|≤M(zE)；②在E上|f(z)|可取到最大值与最小值；③在E上w=f(z)一致连续。即>0,δ>0，

z1、z2E,当|z1-z2|<δ,有|f(z1)-f(z2)|<⑸连续函数在有界闭集上的性质由复变函数与实值函数连续性的关系——定理1.3、数学分析中连第四节复球面与无穷远点1复球面2扩充复平面第四节复球面与无穷远点1复球面⒈复球面⑴复球面复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应。把一个球放在复平面上，球以南极S跟复数平面相切原点；通过O点作一垂直于z平面的直线与球面交于N点，N称为球的北极；在复平面上任取一点z；它与球的北极N的联线跟球面相交于P(z)，这样就建立起复平面上的点跟球面N以外的点的一一对应;这个球叫做复数球。P(z)z⑵无穷远点把北极N与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为∞。⒈复球面⑴复球面把一个球放在复平面上，球以南极S跟复数平面相无意义的运算：⑶无穷远点的规定模等于辐角、实部、虚部无意义复平面上的每一条直线都通过∞没有一个半平面包含∞a为有限复数则：通过的曲线(直线)为广义曲线！无意义的运算：⑶无穷远点的规定模等于通过的曲线(直线)为广义⑴扩充复平面复平面加上∞后，称为扩充平面，记为：⑵无穷远点的邻域以原点为圆心的圆外部。无穷远点的一个r邻域：由此可定义关于∞的聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。⑶边界扩充复平面是唯一无边界的区域,∞是复平面唯一的边界点。⑷区域在扩充复平面上，不含∞的区域的定义同前面；含∞的区域是C上的一区域与∞的一个邻域的交集。⑸广义极限和连续∞作为广义复数，可定义关于∞的极限和连续，其方法与数学分析中的相似。以后在提到的复平面均指不含∞，除非为扩充复平面！⒉扩充复平面加上无穷远点后，许多性质将有很多变化。yx0rr可以为0——只除原点!∞是扩充复平面的内点；⑴扩充复平面⒉扩充复平面加上无穷远点后，许多性质将有很多变化模、幅角：(一)1三种形式：(一)2幂，根：(一)3，(二)1，2，3共轭：(一)4，5，(二)4，5，6几何应用：(一)7，8，9，(二)7，8，9，10，11区域：(一)6，(二)曲线：(一)10，(二)函数：(一)11，(二)极限：(一)17，18，(二)连续：(一)12，13，14，15，16作业模、幅角：(一)1作业小结复数的表示：点、向量(代数)、三角、指数、复球面。复数的运算：相等、四则、模、幅角、幂、开方、共轭。(单、多连通)区域、逐段光滑曲线。复变函数：概念、极限、连续、与实变函数的关系。小结复数的表示：第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数；复变函数论为数学中分析学的一个分支，所以也称为复分析；研究的主要对象为可导的复变函数，即解析函数；为建立复变函数的理论基础，首先讨论函数的定义域——

引入复数域和复平面；引入复平面上的点集、区域、Jordan曲线；再引入复变函数的概念、极限与连续等；最后扩展复数域，引入无穷远点及其邻域的概念。第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数；内容：第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点目标或要求：1.理解复数定义及其几何意义；2.熟练掌握复数的运算；3.理解点集、Jordan曲线、单连通区域与多连通区域；4.理解复变函数，及其极限与连续；5.了解无穷远点及其邻域。内容：第一节复数第一节复数1复数域2复平面3复数的模与辐角4复数的三种表示5复数的乘幂与方根6共轭复数第一节复数1复数域⑴复数的基本概念具有z=

x

+iy

的形状的数z，称为复数。

其中：x和y是实数，分别称为z的实部和虚部，记作：

i是虚数单位(-1的平方根，i2=-1)。

两复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。即z1=x1+iy1、z2=x2+iy2

则z1=z2定义为：x1=x2、y1=y2

如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么称z为一个虚数；如果Imz≠0等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数；实部、虚部均为0的复数称为0复数，记为0。⒈复数域⑴复数的基本概念⒈复数域复数四则运算的运算律：①加法交换律②加法结合律③乘法交换律④乘法结合律⑤乘法对加法的分配律加减、乘除互逆。⑵复数的四则运算复数的四则运算定义为：和(差)、加(减)法积、乘法商、除法①做除法时，分母不能为0；②无须记公式，按一般的代数运算，并按i合并，分母无i。复数四则运算的运算律：⑵复数的四则运算复数的四则运算定义为：⑶复数域复数在四则运算这个代数结构下，构成复数域，记为C。复数域=复数集合+四则运算复数域对加、减、乘、除运算封闭；复数域可以看成实数域的扩张，并有：复数域实数域在复数域中，复数没有大小关系；在实数域中成立的代数恒等式，基本在复数域中也成立CR⑶复数域复数在四则运算这个代数结构下，构成复数域，记为C。C⒉复平面:⑴基本概念一个复数z=

x

+iy本质上由一对有序实数(x

,y)唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面。x轴称为实轴，y轴称为虚轴。⑵复数、点、向量在复平面上，从原点到点(x

,y)所引的向量与复数z=

x

+iy也构成一一对应关系。向量在平移关系下，即自由向量。构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系。三者等价，不区分。⒉复平面:⑴基本概念⑶加减运算复数的相加、减与向量相加、减的法则是一致的。即满足三角形和平行四边形法则。例如：⑶加减运算复数的相加、减与向量相加、减的法则是一致的。⒊复数的模与辐角⑴复数的模(绝对值)复数z=x+iy的模(绝对值)，为向量的长度，定义为：为实数绝对值、长度概念的推广。单位复数：模为1的复数。0复数的等价条件：模为0。即：z=0|z|=0两复数z1=x1+iy1、z2=x2+iy2的距离：⒊复数的模与辐角⑴复数的模(绝对值)复数的模是有大小关系的。|z|≥0z=x

+iy

则

max{x,y}≤max{|x|,|y|}≤|z|≤|x|+|y|三角不等式三角形两边和大于第三边三角形两边差小于第三边⑵复数模的基本不等式复数的模是有大小关系的。⑵复数模的基本不等式⑶复数的辐角从实轴正向到非零复数z=x

+iy的向量间的夹角θ，并满足称为复数z的辐角。记为：Argz

任一非零复数有无穷多个辐角。以argz表示满足条件

-π<θ≤π的辐角θ，并称为Argz的主值，或称为复数z的主辐角。

-π<argz

≤π辐角和主辐角有下述关系：Argz=argz+2kπ

(k=0,1,2,...)当z=0时辐角无意义，但为了方便起见，常将零复数的辐角记为0。θ⑶复数的辐角从实轴正向到非零复数z=x+iy的向量⑷复数的主辐角的求法z=x

+iy≠0，由

①辐角是多值,主辐角是单值。这是核心,有时也用主辐角记一特定的辐角；②两复数的辐角相等是两个辐角的集合相等，即相等是可差2π的整数倍；③求辐角是求多值，求辐角集合；④辐角的多值性，是一些复变函数为周期或多值函数的原因；⑤由反正切求主辐角时，必须用上式，且要先确定复数的位置——5个集合中的一个，再求；⑥在可差2π整数倍的意义下，复数与其模和辐角一唯一确定的，即两复数相等的充分必要条件为两复数的模相等，且两复数的辐角可相差2π整数倍。⑷复数的主辐角的求法z=x+iy≠0，由①辐角是多值,例(P9例1.2)求Arg(2-2i)、Arg(-3+4i)解:2-2i在第四象限arg(2-2i)=arctan(-2/2)=-π/4Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ

=-π/4+2kπ

-3+4i在第二象限arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π

=-arctan(4/3)+πArg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ

=-arctan(4/3)+π+2kπ=-arctan(4/3)+(2k+1)π(k=0,1,2,...)(k=0,1,2,...)例(P9例1.2)求Arg(2-2i)、Arg(-3+⒋复数的三角形式和指数形式θrxy⑴代数形式复数记为z=x

+iy称为复数z的代数形式。⑵三角形式记复数z的幅角为θ、模为r，则：x=rcosθ,y=rsinθz=r(cosθ+isinθ)

或称为复数的三角形式。单位复数的三角形式:z=cosθ+isinθ⑶指数形式由Euler公式(后面证明)：eiθ=cosθ+isinθ得复数的指数形式：z=reiθ

或z=|z|eiArgz单位复数的指数形式:z=eiθ

满足实数中指数的代数运算规律。⒋复数的三角形式和指数形式θrxy⑴代数形式满足实数中指数的⑷复数三种形式的互化所用公式：

x=rcosθ,y=rsinθ

求主幅角的公式由三角的基本周期为2π，在做转换时，只求主幅角就可以。例(P11例1.5)将复数化成三角表示式和指数表示式。解：

由x=1-cosx≥0，得则

1-cosj+isinj书中有一解法，不很好！三角和指数表示式为互写！⑷复数三种形式的互化所用公式：书中有一解法，不很好！三角和指⑸由指数表示、三角表示复数的运算复数的加减法运算时，用复数的代数表示；其它情况,一般易用指数表示(三角表示)，能简化运算。设①相等

z1=z2r1=r2、Argz1=Argz2②乘法、除法运算公式：模：

Arg(z1·z2)=Argz1+Argz2

Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2

或arg(z1·z2)=Argz1+Argz2+2kπ

arg(z1/z2)=Argz1-Argz2+2kπ

乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)(k=0,1,2,...)为集合相等！幅角：r1=r2、θ1-θ2=2kπ

(k=0,1,2,...)⑸由指数表示、三角表示复数的运算复数的加减法运算时，用复数的⑹复数乘(除)的几何意义设已知z1，z1·z2z1/z2模幅角θ1|z1|z1|z2|·z1θ2z1·z2伸缩(扩大)|z2|增加(正向旋转)θ2伸缩(扩大)1/|z2|减少(反向旋转)θ2特别当z2为单位复数时，z1·z2为z1绕原点正向旋转θ2，z2为旋转乘数。如z2=i，θ2=π/2，z1·z2为z1绕原点正向旋转π/2；

z2=-1，θ2=π，z1·z2为z1绕原点正向旋转π。与向量乘积不同！⑹复数乘(除)的几何意义设z1·z2z1/z2模幅角θ1|z⑺有向角θ

+在本课程中，所有的角都有方向，规定：逆时针为正向，顺时针为负θ

-例(P9例1.2)对复数α、β有：αβ=0α、β中至少一个为0证明：αβ=0|αβ|=0|α|·|β|=0|α|、|β|中至少一个为0

α、β中至少一个为0⑺有向角θ+在本课程中，所有的角都有方向，规定：θ-利用复数的指数(三角)表示解决！⑴整数次幂设：z=reiθ

或z=|z|eiArgz

、n为正整数公式：正整数次幂指数表示——zn=rneinθ

或zn=|z|neinArgz三角表示——负整数次幂指数表示——z-n=r-ne-inθ

或z-n=|z|-ne-inArgz三角表示——DeMoiver公式：通过比较实虚部,可求解高次三角函数与倍角三角函数的关系。⒌复数的乘幂与方根当|z|=1时n为整数利用复数的指数(三角)表示解决！⒌复数的乘幂与方根当|z例(P15例1.7)用cosθ与sinθ表示cos3θ与sin3θ解:由DeMoiver公式cos3θ+isin3θ=(cosθ+isinθ)3=cos3θ+3cos2θisinθ+3cosθ(isinθ)2+(isinθ)3=cos3θ-3cosθsin2θ+i(3cos2θsinθ-sin3θ)比较实虚部得：cos3θ=cos3θ-3cosθsin2θ=4cos3θ-3cosθsin3θ=3cos2θsinθ-sin3θ=3sinθ-4sin3θ例(P15例1.7)用cosθ与sinθ表示cos3θ与s⑵复数的正整数方根问题：已知z=reiθ求满足：wn=z的w。(其中：n为正整数)①公式推导设w=ρeiψ

则有等式：比较幅角和模得：(k=0,1,2,...)由eiθ以为2π基本周期，得k可只取：得：k=0,1,2,...,n-1复数域中,任非0复数有n个n次方根。实数域中不能保证。记n个n次方根：k=1,2,...,n-1k=0,1,2,...,n-1ρneinψ=reiθρn=r、nψ=θ+2kπ

(k=0,1,2,...)⑵复数的正整数方根问题：已知z=reiθ求满足：wn=特点：z的n个不同值的n次方根，其模相同，辐角相差一个常数——2π/n。n个n次方根均匀分布于一个圆周上。此圆的圆心在原点，半径为n个n次方根为圆内截正n边形的n个顶点。作图：先作w0，每次正向旋转(幅角增加)2π/n

，

n-1次得wk。连接wk得圆内截正n边形。此结论可以推广到有理数的情形。②复数正整数方根的几何意义θ/n2π/nw0w1wn-1特点：z的n个不同值的n次方根，其模相同，辐角相差一个常数—例(P15例1.8)求z380的所有根.解

(k012)实数中只一解例(增加)求

解：由于所以有例(P15例1.8)求z380的所有根.实数中只一解例⒍共轭复数⑴定义复数z=x

+iy的共轭定义为：互为共轭复数⑵几何意义关于实轴对称⑶重要关系和常用公式z为实数有关模的问题常用此式处理⒍共轭复数⑴定义z为实数有关模的问题常用此式处理求复数的实部、虚部和模(用z表示)。解：所以例(P17例1.9)（复数）21Im2|-|+zzi2211|-|||-=zz211|-|-+-=zzzzz()()()()1111---+=zzzz11-+=zzw分母实数化时常用的方法——分子、分母同乘分母的共轭！|-|||-=2211Rezzw求复数例(P17例1.9)（复数）21Im2|-|+设、是两个复数，求证：例(P17例1.10)设、是两个复数，求证：例(P17例1.10)例(P18例1.11)若试证：解：即0|||1|22>---Ûbaba|1|||22-<-Ûbaba11<--baba0>()()||1||122--=ba例(P18例1.11)若即0|||1|22>---ÛbabaR⑴说明①一些对应关系：角、幅角、复数；直线、向量、复数；点、复数；②应用复数关于角度、长度等的特有运算；③将几何问题转化为关于复数的运算、方程或不等式。⒎复数在几何上的应用

⑵曲线的复数方程

①过z1、z2的线段方程：z=z1+t(z2-

z1)