高一数学 《1.4.1正余弦函数的图像和性质》（二）

正余弦函数的图像和性质编辑ppt

正弦、余弦函数的图象和性质

x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)

定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2编辑ppt周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T

，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

知：函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

2π。

由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)编辑ppt周期性注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。编辑ppt的最小正周期编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt奇偶性

一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。

一般的，如果对于一个定义域对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称

正弦、余弦函数的奇偶性编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)

x

cosx-……0…

…-1010-1增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，

其值从1减至-1[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31编辑ppt单调性

y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.

y=sinx在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.编辑ppt当cosx=1即x=2kπ（k∈Z)时，y取到最大值3.解：由cosx≥0得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z)∴函数定义域为[-+2kπ，+2kπ]

由0≤cosx≤1∴

1≤2

+1≤3∴函数值域为[1，3]例：求函数y=2

+1的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例1

不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：又y=sinx在上是增函数sin()<sin()即：sin()–sin()>0解：cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是减函数cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

从而cos()-cos()

<0编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例2

求下列函数的单调区间：

(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx函数在上单调递减[

+2k,

+2k],kZ函数在上单调递增[

+2k,

+2k],kZ

(2)y=3sin(2x-)

单调增区间为所以：解：单调减区间为编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

解：

(4)解：定义域(3)y=(tan)sin2x单调减区间为单调增区间为当即为减区间。当即为增区间。编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

(5)y=-|sin(x+)|解：令x+=u,则y=-|sinu|大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=-|sinu|uO1y-1减区间为增区间为即：y为增函数y为减函数编辑ppt

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

奇偶性

单调性（单调区间）奇函数偶函数[

+2k,

+2k],kZ单调递增[

+2k,

+2k],kZ单调递减[

+2k,

2k],kZ单调递增[2k,

2k+],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间编辑ppt编辑ppt

余弦函数y=cosx正弦函