多属性决策教材课件

9多属性决策9.7确定权的常用方法(AHP法)9.8权的灵敏度分析9.9TOPSIS法9.10基于估计相对位置的方案排队法9.11ELECTRE法9.12PROMETHEE法9.13关于多属性决策方法的若干问题讨论9多属性决策9.7确定权的常用方法(AHP法)19.7确定权的常用方法1)最小二乘法2)本征向量法3)层次分析法(AHP)9.7确定权的常用方法1)最小二乘法21)最小二乘法1)最小二乘法3目标重要性判断矩阵A中元素的取值

相对重要程度定义说明1同等重要两个目标同样重要3略微重要由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要些5相当重要由经验或判断，认为一个目标比另一个重要7明显重要深感一个目标比另一个重要,且这种重要性已有实践证明9绝对重要强烈的感到一个目标比另一个重要的多2,4,6,8两个相邻判断的中间值需要折衷时采用目标重要性判断矩阵A中元素的取值相对重定义说41)最小二乘法1)最小二乘法51)最小二乘法1)最小二乘法62)本征向量法2)本征向量法7一致性检验一致性检验83)层次分析法(AHP)3)层次分析法(AHP)9第四步方案排序第四步方案排序10Saaty求最大本征值的近似算法Saaty求最大本征值的近似算法11例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)y1油耗(升/百公里)y2舒适度y3x1402510x215183x325106x435158例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)油耗(升/12步骤1:构造矩阵A价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71步骤1:构造矩阵A价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒13步骤2:求权重(1)A中每行元素连乘并开n次方:(2)wi*规范化:步骤2:求权重(1)A中每行元素连乘并开n次方:(2)14步骤2:求权重价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71规范化:w1*+w2*+w3*=4.39w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05步骤2:求权重价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度115步骤3:一致性检验(1)A中每列元素求和:(2)计算λmax的值(3)与临界值λ’max比较:步骤3:一致性检验(1)A中每列元素求和:(2)计算λ16步骤3:一致性检验价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71S1=1+1/2+1/9=1.61S2=2+1+1/7=3.14S3=9+7+1=17W1=0.6W2=0.35W3=0.05λmax=0.61.61+0.353.14+0.0517=2.9150<3.116步骤3:一致性检验价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适17步骤4:方案排序备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158步骤4:方案排序备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适18步骤4:方案排序(属性值0-1处理)备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)综合评价值(Ci)x1001.00000.0500x21.00.466700.7633x30.61.00000.42860.7314x40.20.66670.71430.3890方案排序：x2>x3>x4>x1步骤4:方案排序(属性值0-1处理)备选车价格(万元)油耗19例2:层次分析法例9.3设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是①健康状况②业务知识③书面表达能力④口才⑤道德水平和⑥工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A为：①②③④⑤⑥①111411/2②112411/2③11/21531/2④1/41/41/511/31/3⑤111/3311⑥222311例2:层次分析法例9.3设某高校拟从三个候选人中选一人担20权重的本征向量权重的本征向量21属性值的AHP法三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。属性值的AHP法三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下22属性的最大本征值属性的最大本征值23属性值的调整调整前调整后属性值的调整调整前调整后24结果结果259.8权的灵敏度分析灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会影响决策结果。例子：买车。为了简化分析，我们做了如下假设：w1=w2，有：w1+w2+w3=1，则：w1+w2=1-w3，其中w3[0,1]；由于w1=w2，则：w1=w2=(1-w3

)/2。9.8权的灵敏度分析灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会26综合评价值备选车价格(万元)y1w1=(1-w3

)/2油耗(升/百公里)y2w2=(1-w3

)/2舒适度y3w3综合评价值(Ci)x1001.0000w3x21.00.466700.73-0.73*w3x30.61.00000.42860.8-1.23*w3x40.20.66670.71430.43-1.14*w3综合评价值备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适度综合27权的灵敏度分析结果C1C2C3C4权的灵敏度分析结果C1C2C3C4289.9TOPSIS法TOPSIS是逼近理想解的排序方法（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）的英文缩略。它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。9.9TOPSIS法TOPSIS是逼近理想解的排序方法（T292．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤302．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤312．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤322．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤33例1:用TOPSIS法解”买车”问题效益指标成本指标备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158成本指标例1:用TOPSIS法解”买车”问题效益指标成本指标备选车价34步骤1:规范化备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.65980.70040.6917x20.24740.50430.2075x30.41240.28020.4150x40.57740.42020.5534步骤1:规范化备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适度35步骤2:加权规范阵备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.39590.24510.0346x20.14850.17650.0104x30.24740.09810.0208x40.34640.14710.0277步骤2:加权规范阵备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒36步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1485,0.0981,0.0346]x0=[0.3959,0.2451,0.0104]步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1485,0.098137步骤4:距离计算与排序方案排序:x2>x3>x4>x1

d*d0C*10.28790.02420.077620.08210.25680.757730.09990.20920.676840.20400.11120.3527步骤4:距离计算与排序方案排序:x2>x3>x4>x1

d*38例2:用TOPSIS法解例9.2设决策人设定的各属性权重分别为(0.2,0.3,0.4,0.1)效益指标效益指标成本指标区间指标例2:用TOPSIS法解例9.2设决策人设定的各属性权重分别39步骤1:数据预处理人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.11.00050004.720.20.833340002.230.60.333312603.040.30.666730003.952.80.00002841.2步骤1:数据预处理人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.1140步骤1:规范化

人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.03460.66670.69560.648220.06930.55550.55650.303430.20780.22220.17530.413740.10390.44450.41740.537850.96960.0000.03950.1655步骤1:规范化

人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.03441步骤2:加权规范阵

人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.00690.20000.27820.064820.01390.16670.22260.030330.04160.06670.07010.041440.02080.13330.16690.053850.19390.00000.01580.0165步骤2:加权规范阵

人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.042步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1939,0.2000,0.2782,0.0165]x0=[0.0069,0.0000,0.0158,0.0648]步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1939,0.200043步骤4:距离计算与排序

d*d0C*10.19310.33000.630820.19190.26790.582730.29140.09560.247040.21950.20230.479650.33000.19310.3692方案排序:x1>x2>x4>x5>x3步骤4:距离计算与排序

d*d0C*10.19310.330449.10基于估计相对位置的方案排队法前面几节介绍的求解多属性决策问题的方法，包括加权和法，字典序法，加权积法和逼近理想点的排队法(TOPSIS法)，以及后面要介绍的ELECTRE法等等，都需要有较多的初始信息，需要在事先给出决策矩阵，即需要给出每个备选方案的各属性的数值。但在很多实际问题中，总有一些属性无法或很难量化，这时就给不出决策矩阵，决策人只能给出每个目标下各方案的优劣次序。例如，选择干部问题，要给出每个候选人的德、才、体的属性值是令人伤脑筋的事，但要决策人按照德、才、体这几个方面分别排出候选人的优劣次序却并不困难。对这种可以给出序数信息，但给不出基数信息的问题，应当有适当的方法求解。Navarrete,1979提出的基于估计相对位置的方案排队法是求解这类问题的一种较好的方法。9.10基于估计相对位置的方案排队法前面几节介绍的求解多属451.方案优先关系的表述首先根据各方案对在各目标下的优先次序（即序数信息）及各目标的权重进行排序。各方案间的优先关系可以用语言说明，也可以用第三章介绍>和~等符号描述。但是它们都不如指向图直观，也不如0-1矩阵便于运算。1.方案优先关系的表述首先根据各方案对在各目标下46⑴指向图指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧表示优先关系，箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点。例如，若xi>xk，则有向弧从节点xi出发，指向节点xk；若xi~xk，则在xi和xk之间画两条有向弧，一条从从xi指向xk，另一条从从xk指向xi；若方案xi与xk不可比，则节点xk和xi之间不画有向弧。图9.6所示为某个方案集中各方案的指向图。其中方案x1优于方案x2和x3，方案x1与方案x4无差异，方案x1和方案x5不可比。⑴指向图指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧47(2)

表示优先关系的0-1矩阵优先关系还可以用0-1矩阵（或称优先关系表）P={pik}m×m来表示。与图9.6对应的优先关系表如表9.15所示。其中，若xi>xk，则pik＝1，pki＝0；若xi

~xk，则pik＝pki＝1；若xi与xk不可比，则pik＝pki＝0。(2)表示优先关系的0-1矩阵优先关系还可以用048(2)

表示优先关系的0-1矩阵利用指向图或优先关系表可以方便地确定方案集X中各方案的排序。对指向图，可以设从xi发出的有向弧为ri条，指向xi的有向弧有qi条，则排队指示值:

vi＝ri－qi

vi的值越大，方案xi越优，根据vi的大小可以排定方案集中各方案的优劣。对0-1矩阵，xi所在行中元素为1的个数（不包括对角线上的元素）记为ri，元素为0的个数记为qi，仍用上式计算排队指示值。(2)表示优先关系的0-1矩阵利用指向图或优先关系表可以492．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤第一步由决策人设定各目标或属性j的权wj，j＝1,2,…n，且使。第二步对每一目标或属性j，进行方案的成对比较,给出优先关系矩阵或指向图。

xi的第j个属性值优于xk的第j个属性值记作(xi>xk)j，xk的第j个属性值优于xi的第j个属性值记作(xi<xk)j，xi与xk的第j个属性值无差异或不可比记作(xi

~xk)j

。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤第一步由决策人502．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤3.第三步确定各方案对(xi，xk)的总体优先关系①计算方案对(xi，xk)的总体优、劣的权重把(xi>xk)j的各目标j的权相加，记作w(xi>xk)，即:

w(xi>xk)＝

类似地，把xi～xk的各目标的权相加，记作w(xi~xk)，把xi<xk的各目标的权相加，记作w(xi<xk)。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤3.第三步确512．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤②计算方案对(xi，xk)的总体优劣指示值Aσ(xi，xk)

Aσ(xi，xk)＝

式中，1≥σ≥0，σ值的大小反映xi与xk无差异的目标在决策过程中的重要性。

2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤②计算方案对(xi522．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤③选定阀值A≥1，判定方案总体优劣若Aσ(xi，xk)≥A则xi>xk

若Aσ(xi，xk)≤1/A则xi<xk

若1/A＜Aσ(xi，xk)＜A则xi

~xk

④根据上面判定的方案总体优劣，画出方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤③选定阀值A≥1532．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤4.第四步计算方案xi的总体优劣的排队指标值根据方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表，可以计算方案xi的总体优劣的排队指标值

i＝1,2,…,m

5.第五步按vi的大小排定方案集X中各方案xi(i=1,2,…,m）的优劣次序。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤4.第四步计54例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.255例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.256例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.257例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.258例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.259评注①基于估计相对位置的方案排队法采用序数信息判断方案间的优劣，它所要求的信息较少，这是一大优点；与此同时，因为没有决策矩阵中的基数信息，所以不能反映方案集X中各方案在各自标下的优先程度，评价可靠性欠佳，这又是该方法的缺点。所以凡是属性值均能定量表示，能给出决策矩阵的，不宜采用这种方法。②基于估计相对位置的方案排序法的评价结果也是平局太多。在方案数较小时，方案之间出现平局的可能性较大。评注①基于估计相对位置的方案排队法采用序数信息判断方案609.11ELECTRE法9.11.1级别高于关系的定义与性质9.11.2ELECTRE-I法9.11.3ELECTRE-II法9.11.4其他ELECTRE法9.11.5讨论9.11ELECTRE法9.11.1级别高于关系的定义与619.11.1级别高于关系的定义与性质这种方法是法国人Roy(1971)首先提出的，它所构建的是一种较弱的次序关系，叫级别高于关系(OutrankingRelation)。定义9.1

级别高于关系

给定方案集X，xi，xk∈X，给定决策人的偏好次序和属性矩阵{yij}，当人们有理由相信xi≽xk，则称xi的级别高于xk，

记作xiOxk。需要注意的是，级别高于关系是建立在决策人愿望承担因承认xi≽xk所产生的风险的基础上的。9.11.1级别高于关系的定义与性质这种方法是法国629.11.1级别高于关系的定义与性质定义9.2

级别无差异

给定方案集X，xi，xk∈X，当且仅当X中存在u1,u2,…,ur；v1,v2,…,vs；r≥1，s≥1，使xiOxk（或者xiOu1，u1Ou2，…，urOxk）且xkOxi（或者xkOv1，v1Ov2，…，vsOxi），则称xi与xk级别无差异，记作xiIrxk。9.11.1级别高于关系的定义与性质定义9.2级别无差639.11.1级别高于关系的定义与性质级别高于关系的性质

1)弱传递性，即:

xiOx0且y(x0)≥y(xk)

xiOxk

或者:y(xi)≥y(x0)且x0Oxk

xiOxk

2)自反性。显然，xOx和xIr

x均成立。3)Ir是对称的。4)允许不可比。上面所定义的级别高于关系不要求连通性，它允许X中的方案对不可比。

9.11.1级别高于关系的定义与性质级别高于关系的性质649.11.2ELECTRE-Ⅰ法ELECTRE-Ⅰ法求解多属性决策主要问题包括两个部分，一是构造级别高于关系，二是利用所构造的级别高于关系对方案集中的方案进行排序。下面分别介绍。1.级别高于关系的构造

级别高于关系的构造以决策矩阵Y＝{yij}为基础，决策矩阵不作规范化。对于X中的每对方案xi与xk，为了判定是否存在级别高于关系O，需要进行和谐性检验(concordancetest)和非不和谐性检验(non-discordancetest)。9.11.2ELECTRE-Ⅰ法ELECTRE65ELECTRE-Ⅰ法步骤ELECTRE-Ⅰ法步骤669.11.2ELECTRE-Ⅰ法9.11.2ELECTRE-Ⅰ法679.11.2ELECTRE-Ⅰ法9.11.2ELECTRE-Ⅰ法689.11.2ELECTRE-Ⅰ法9.11.2ELECTRE-Ⅰ法699.11.2ELECTRE-Ⅰ法9.11.2ELECTRE-Ⅰ法709.11.2ELECTRE-Ⅰ法9.11.2ELECTRE-Ⅰ法719.12PROMETHEE法9.12.1优先函数9.12.2几种典型的优先函数9.12.3赋值的级别高于关系图9.12.4PROMETHEE-I法9.12.5PROMETHEE-II法9.12.6示例：研究生院综合评估9.12.7PROMETHEE法的特点9.12PROMETHEE法9.12.1优先函数729.12.1优先函数9.12.1优先函数739.12.1优先函数9.12.1优先函数749.12.2几种典型的优先函数1.常用准则(UsualCriterion)9.12.2几种典型的优先函数1.常用准则(Usual752.拟准则(Quasi-Criterion)2.拟准则(Quasi-Criterion)763.具有线性优先关系的准则(Criterionwithlinearpreference)3.具有线性优先关系的准则(Criterionwith774.分级准则(Level-criterion)4.分级准则(Level-criterion)785.具有无差异区间的线性优先关系准则(Criterionwithlinearpreferenceandindifferencearea)

5.具有无差异区间的线性优先关系准则(Criterion796.高斯准则(Gaussiancriterion)6.高斯准则(Gaussiancriterion)80优先指数的计算优先指数的计算81PROMETHEEⅠ法

PROMETHEEⅠ法82PROMETHEEⅠ法PROMETHEEⅠ法83PROMETHEEⅡ法

PROMETHEEⅡ法849.13关于多属性决策方法的若干问题讨论在对方案集X中备选方案的数据预处理方法的不同，将有可能影响方案排序的结果。在对方案集X中的备选方案排序过程中，为了使评价结果更可靠，可以根据问题的特点，在本章前面介绍的简单加权和法、层次分析法(AHP)、加权积法、TOPSIS法、ELECTRE法、基于估计相对位置的方案排队法、PROMETHEE等方法中同时选用几种适当的多属性决策方法求解，获得几种可能相同也可能不同。9.13关于多属性决策方法的若干问题讨论在对方案集X中备选859.13关于多属性决策方法的若干问题讨论如果上一步所获得的方案集X中各备选方案的几种排序相同，则问题求解到此为止。更一般的情况是不同方法的求解结果会有差别，这时需要对产生差别的原因进行分析，排除数据预处理不当和方法选用不当等情况。9.13关于多属性决策方法的若干问题讨论如果上一步所获得的869多属性决策9.7确定权的常用方法(AHP法)9.8权的灵敏度分析9.9TOPSIS法9.10基于估计相对位置的方案排队法9.11ELECTRE法9.12PROMETHEE法9.13关于多属性决策方法的若干问题讨论9多属性决策9.7确定权的常用方法(AHP法)879.7确定权的常用方法1)最小二乘法2)本征向量法3)层次分析法(AHP)9.7确定权的常用方法1)最小二乘法881)最小二乘法1)最小二乘法89目标重要性判断矩阵A中元素的取值

相对重要程度定义说明1同等重要两个目标同样重要3略微重要由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要些5相当重要由经验或判断，认为一个目标比另一个重要7明显重要深感一个目标比另一个重要,且这种重要性已有实践证明9绝对重要强烈的感到一个目标比另一个重要的多2,4,6,8两个相邻判断的中间值需要折衷时采用目标重要性判断矩阵A中元素的取值相对重定义说901)最小二乘法1)最小二乘法911)最小二乘法1)最小二乘法922)本征向量法2)本征向量法93一致性检验一致性检验943)层次分析法(AHP)3)层次分析法(AHP)95第四步方案排序第四步方案排序96Saaty求最大本征值的近似算法Saaty求最大本征值的近似算法97例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)y1油耗(升/百公里)y2舒适度y3x1402510x215183x325106x435158例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)油耗(升/98步骤1:构造矩阵A价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71步骤1:构造矩阵A价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒99步骤2:求权重(1)A中每行元素连乘并开n次方:(2)wi*规范化:步骤2:求权重(1)A中每行元素连乘并开n次方:(2)100步骤2:求权重价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71规范化:w1*+w2*+w3*=4.39w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05步骤2:求权重价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1101步骤3:一致性检验(1)A中每列元素求和:(2)计算λmax的值(3)与临界值λ’max比较:步骤3:一致性检验(1)A中每列元素求和:(2)计算λ102步骤3:一致性检验价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71S1=1+1/2+1/9=1.61S2=2+1+1/7=3.14S3=9+7+1=17W1=0.6W2=0.35W3=0.05λmax=0.61.61+0.353.14+0.0517=2.9150<3.116步骤3:一致性检验价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适103步骤4:方案排序备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158步骤4:方案排序备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适104步骤4:方案排序(属性值0-1处理)备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)综合评价值(Ci)x1001.00000.0500x21.00.466700.7633x30.61.00000.42860.7314x40.20.66670.71430.3890方案排序：x2>x3>x4>x1步骤4:方案排序(属性值0-1处理)备选车价格(万元)油耗105例2:层次分析法例9.3设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是①健康状况②业务知识③书面表达能力④口才⑤道德水平和⑥工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A为：①②③④⑤⑥①111411/2②112411/2③11/21531/2④1/41/41/511/31/3⑤111/3311⑥222311例2:层次分析法例9.3设某高校拟从三个候选人中选一人担106权重的本征向量权重的本征向量107属性值的AHP法三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。属性值的AHP法三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下108属性的最大本征值属性的最大本征值109属性值的调整调整前调整后属性值的调整调整前调整后110结果结果1119.8权的灵敏度分析灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会影响决策结果。例子：买车。为了简化分析，我们做了如下假设：w1=w2，有：w1+w2+w3=1，则：w1+w2=1-w3，其中w3[0,1]；由于w1=w2，则：w1=w2=(1-w3

)/2。9.8权的灵敏度分析灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会112综合评价值备选车价格(万元)y1w1=(1-w3

)/2油耗(升/百公里)y2w2=(1-w3

)/2舒适度y3w3综合评价值(Ci)x1001.0000w3x21.00.466700.73-0.73*w3x30.61.00000.42860.8-1.23*w3x40.20.66670.71430.43-1.14*w3综合评价值备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适度综合113权的灵敏度分析结果C1C2C3C4权的灵敏度分析结果C1C2C3C41149.9TOPSIS法TOPSIS是逼近理想解的排序方法（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）的英文缩略。它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。9.9TOPSIS法TOPSIS是逼近理想解的排序方法（T1152．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤1162．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤1172．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤1182．TOPSIS法的算法步骤2．TOPSIS法的算法步骤119例1:用TOPSIS法解”买车”问题效益指标成本指标备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158成本指标例1:用TOPSIS法解”买车”问题效益指标成本指标备选车价120步骤1:规范化备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.65980.70040.6917x20.24740.50430.2075x30.41240.28020.4150x40.57740.42020.5534步骤1:规范化备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒适度121步骤2:加权规范阵备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.39590.24510.0346x20.14850.17650.0104x30.24740.09810.0208x40.34640.14710.0277步骤2:加权规范阵备选车价格(万元)油耗(升/百公里)舒122步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1485,0.0981,0.0346]x0=[0.3959,0.2451,0.0104]步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1485,0.0981123步骤4:距离计算与排序方案排序:x2>x3>x4>x1

d*d0C*10.28790.02420.077620.08210.25680.757730.09990.20920.676840.20400.11120.3527步骤4:距离计算与排序方案排序:x2>x3>x4>x1

d*124例2:用TOPSIS法解例9.2设决策人设定的各属性权重分别为(0.2,0.3,0.4,0.1)效益指标效益指标成本指标区间指标例2:用TOPSIS法解例9.2设决策人设定的各属性权重分别125步骤1:数据预处理人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.11.00050004.720.20.833340002.230.60.333312603.040.30.666730003.952.80.00002841.2步骤1:数据预处理人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.11126步骤1:规范化

人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.03460.66670.69560.648220.06930.55550.55650.303430.20780.22220.17530.413740.10390.44450.41740.537850.96960.0000.03950.1655步骤1:规范化

人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.034127步骤2:加权规范阵

人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.00690.20000.27820.064820.01390.16670.22260.030330.04160.06670.07010.041440.02080.13330.16690.053850.19390.00000.01580.0165步骤2:加权规范阵

人均专著生师比科研经费逾期毕业率10.0128步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1939,0.2000,0.2782,0.0165]x0=[0.0069,0.0000,0.0158,0.0648]步骤3:理想解与负理想解x*=[0.1939,0.2000129步骤4:距离计算与排序

d*d0C*10.19310.33000.630820.19190.26790.582730.29140.09560.247040.21950.20230.479650.33000.19310.3692方案排序:x1>x2>x4>x5>x3步骤4:距离计算与排序

d*d0C*10.19310.3301309.10基于估计相对位置的方案排队法前面几节介绍的求解多属性决策问题的方法，包括加权和法，字典序法，加权积法和逼近理想点的排队法(TOPSIS法)，以及后面要介绍的ELECTRE法等等，都需要有较多的初始信息，需要在事先给出决策矩阵，即需要给出每个备选方案的各属性的数值。但在很多实际问题中，总有一些属性无法或很难量化，这时就给不出决策矩阵，决策人只能给出每个目标下各方案的优劣次序。例如，选择干部问题，要给出每个候选人的德、才、体的属性值是令人伤脑筋的事，但要决策人按照德、才、体这几个方面分别排出候选人的优劣次序却并不困难。对这种可以给出序数信息，但给不出基数信息的问题，应当有适当的方法求解。Navarrete,1979提出的基于估计相对位置的方案排队法是求解这类问题的一种较好的方法。9.10基于估计相对位置的方案排队法前面几节介绍的求解多属1311.方案优先关系的表述首先根据各方案对在各目标下的优先次序（即序数信息）及各目标的权重进行排序。各方案间的优先关系可以用语言说明，也可以用第三章介绍>和~等符号描述。但是它们都不如指向图直观，也不如0-1矩阵便于运算。1.方案优先关系的表述首先根据各方案对在各目标下132⑴指向图指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧表示优先关系，箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点。例如，若xi>xk，则有向弧从节点xi出发，指向节点xk；若xi~xk，则在xi和xk之间画两条有向弧，一条从从xi指向xk，另一条从从xk指向xi；若方案xi与xk不可比，则节点xk和xi之间不画有向弧。图9.6所示为某个方案集中各方案的指向图。其中方案x1优于方案x2和x3，方案x1与方案x4无差异，方案x1和方案x5不可比。⑴指向图指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧133(2)

表示优先关系的0-1矩阵优先关系还可以用0-1矩阵（或称优先关系表）P={pik}m×m来表示。与图9.6对应的优先关系表如表9.15所示。其中，若xi>xk，则pik＝1，pki＝0；若xi

~xk，则pik＝pki＝1；若xi与xk不可比，则pik＝pki＝0。(2)表示优先关系的0-1矩阵优先关系还可以用0134(2)

表示优先关系的0-1矩阵利用指向图或优先关系表可以方便地确定方案集X中各方案的排序。对指向图，可以设从xi发出的有向弧为ri条，指向xi的有向弧有qi条，则排队指示值:

vi＝ri－qi

vi的值越大，方案xi越优，根据vi的大小可以排定方案集中各方案的优劣。对0-1矩阵，xi所在行中元素为1的个数（不包括对角线上的元素）记为ri，元素为0的个数记为qi，仍用上式计算排队指示值。(2)表示优先关系的0-1矩阵利用指向图或优先关系表可以1352．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤第一步由决策人设定各目标或属性j的权wj，j＝1,2,…n，且使。第二步对每一目标或属性j，进行方案的成对比较,给出优先关系矩阵或指向图。

xi的第j个属性值优于xk的第j个属性值记作(xi>xk)j，xk的第j个属性值优于xi的第j个属性值记作(xi<xk)j，xi与xk的第j个属性值无差异或不可比记作(xi

~xk)j

。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤第一步由决策人1362．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤3.第三步确定各方案对(xi，xk)的总体优先关系①计算方案对(xi，xk)的总体优、劣的权重把(xi>xk)j的各目标j的权相加，记作w(xi>xk)，即:

w(xi>xk)＝

类似地，把xi～xk的各目标的权相加，记作w(xi~xk)，把xi<xk的各目标的权相加，记作w(xi<xk)。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤3.第三步确1372．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤②计算方案对(xi，xk)的总体优劣指示值Aσ(xi，xk)

Aσ(xi，xk)＝

式中，1≥σ≥0，σ值的大小反映xi与xk无差异的目标在决策过程中的重要性。

2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤②计算方案对(xi1382．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤③选定阀值A≥1，判定方案总体优劣若Aσ(xi，xk)≥A则xi>xk

若Aσ(xi，xk)≤1/A则xi<xk

若1/A＜Aσ(xi，xk)＜A则xi

~xk

④根据上面判定的方案总体优劣，画出方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤③选定阀值A≥11392．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤4.第四步计算方案xi的总体优劣的排队指标值根据方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表，可以计算方案xi的总体优劣的排队指标值

i＝1,2,…,m

5.第五步按vi的大小排定方案集X中各方案xi(i=1,2,…,m）的优劣次序。2．基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤4.第四步计140例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2141例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2142例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2143例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2144例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2145评注①基于估计相对位置的方案排队法采用序数信息判断方案间的优劣，它所要求的信息较少，这是一大优点；与此同时，因为没有决策矩阵中的基数信息，所以不能反映方案集X中各方案在各自标下的优先程度，评价可靠性欠佳，这又是该方法的缺点。所以凡是属性值均能定量表示，能给出决策矩阵的，不宜采用这种方法。②基于估计相对位置的方案排序法的评价结果也是平局太多。在方案数较小时，方案之间出现平局的可能性较大。评注①基于估计相对位置的方案排队法采用序数信息判断方案1469.11ELECTRE法9.11.1级别高于关系的定义与性质9.11.2ELECTRE-I法9.11.3ELECTRE-II法9.11.4其他ELECTRE法9.11.5讨论9.11ELECTRE法9.11.1级别高于关系的定义与1479.11.1级别高于关系的定义与性质这种方法是法国人Roy(1971)首先提出的，它所构建的是一种较弱的次序关系，叫级别高于关系(OutrankingRelation)。定义9.1

级别高于关系

给定方案集X，xi，xk∈X，给定决策人的偏好次序和属性矩阵{yij}，当人们有理由相信xi≽xk，则称xi的级别高于xk，

记作xiOxk。需要注意的是，级别高于关系是建立在决策人愿望承担因承认xi≽xk所产生的风险的基础上的。9.11.1级别高于关系的定义与性质这种方法是法国1489.11.1级别高于关系的定义与性质定义9.2

级别无差异

给定方案集X，xi，xk∈X，当