人教版高中数学选修2-1 练习综合水平测试

一、选择题：本大题共

小题，每小题

分，共

分．．

湖北省黄冈市质检命题“∀∈，－≤0”为真命题的一个充分不必要条件是

A.

≥4C.

≥5

B.

≤4

≤5解析：本题考查全称量词的意义与充分必要条件的应用．∵∀∈，≤≤，∴要使

－≤

为真，则

≥，则

≥，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有

符合，故选

C.答案：

已知空间向量

＝，，b＝－，，则－b的最小值为 A. C.

B.

解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及简单的二次函数求最值．－b＝

－

＋≥，故选

C.答案：

广东高考若实数

满足

0<<9，则曲线－－＝

与

曲线－－＝

的

A.

离心率相等C.

实半轴长相等

B.

虚半轴长相等

焦距相等解析：本题主要考查双曲线基本量之间的关系．由0<<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在

轴上，由

＋－＝

－＋，得两双曲线的焦距相等，选答案：．

湖南高考已知命题

p：若>，则－<－；命题q：若>，则

>.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧綈

q；④綈

p∨q

中，真命题是 A.

①③C.

②③

B.

①④

②④解析：断．注意綈

p，綈

q

只对命题的结论进行否定，复合命题

p∧q

要两个命题全为真才为真，p∨q

只要两个命题有一个为真就为真．由不等式的性质可知，命题

p

是真命题，命题

q

为假命题，故①p∧q

为假命题，②p∨q

为真命题，③綈

q

为真命题，则p∧綈

q为真命题，④綈

p

为假命题，则綈

p∨q

为假命题，所以选

C.答案： ．

大纲全国卷已知椭圆

：＋b＝>b的左、右焦点为

F、F，离心率为

，过

F的直线

l

交

于

、

两点．若△

的周长为

，则

的方程为 A.

＋＝ C.

＋＝

B.

＋＝

＋＝解析：

本题主要考查椭圆的定义及几何性质．由椭圆的性质知＋＝，BF＋BF＝，∴△

的周长＝

＋＋BF＋BF＝

，∴＝

又

e＝

，∴＝∴b＝－＝， ∴椭圆的方程为＋＝，故选

A.答案：A．

江西高考下列叙述中正确的是 A.

若

，b，∈R，则“＋＋≥0”的充分条件是“b－≤0”B.

若

，b，∈R，则“>”的充要条件是“>”C.

命题“对任意

∈R，有

≥0”的否定是“存在

∈R，有

≥0”

l

是一条直线，α，β

是两个不同的平面，若

l⊥α，l⊥β，则

α∥β解析：由

b－≤

推不出

＋＋≥，这是因为

的符号不确定，所以

A

不正确；当

b＝

时，由

>

推不出

>，所以

B不正确；“对任意

∈R，有

≥”的否定是“存在

∈R，有

<0”，所以

不正确．选

答案： ．

天津高考已知双曲线－b＝>0，b的一条渐近线平行于直线

l：＝＋，双曲线的一个焦点在直线l

上，则双曲线的方程为 A.

－＝ C.

－＝

B.

－＝

－＝ 解析：由题意知，双曲线－b＝>0，b的一条渐近线为

b＝＝

b＝l

与

轴的交点，所以该焦点的坐标为－，所以＝，即＋b＝，联立解得

＝，b＝－＝解得

＝，b＝－＝，得＋b＝，故选

A.答案：A

已知四面体

中，、、

两两垂直，给出下列命题：→

→ →

→ →

→①·

＝·

＝·

；→ → → → → →②＋＋＝＋＋.则下列关于以上两个命题真假性的判断正确的是 A.

①真、②真 B.

①真、②假C.

①假、②假

①假、②真解析：由

⊥、⊥，得

⊥平面

，→

→ →

→ →

→故

⊥，即有·

＝，同理，·

＝·

＝于是，命题①为真命题．由于

、、

为同一顶点出发的三条棱，可→ → →＋＋为以

为起点的长方体的体对角线→ → →所对应的向量，从而＋＋为长方体的体对角线的长，而→ → →＋＋亦表示体对角线的长，故命题②亦真．答案：A

银川高二质检直线

－－＝

与抛物线

＝

交于、

两点，若＝，则弦

的中点到直线

＋＝

的距离等于

B．．解析：直线

－－＝，即

＝－，即直线

－－＝

过抛物线

＝

的焦点，．设

，，，则＝ ＋＋＝，故＋＝，则弦

的中点的横坐标是，所以弦 的中点到直线

＋＝

的距离是＋＝答案：

课标全国卷Ⅱ直三棱柱

－

中，∠

＝，M，N

分别是

，的中点，＝＝，则

与

所成角的余弦值为 A.

C.

B.

解析：θ

的余弦值

θ＝

→的面积为eq

\o\ac(△,”)；若

的面积为，则＝±1，所以eq

\o\ac(△,“)

的面积为”⇒/“θ

的余弦值

θ＝

→的面积为eq

\o\ac(△,”)；若

的面积为，则＝±1，所以eq

\o\ac(△,“)

的面积为”⇒/“＝”，所以“＝”是eq

\o\ac(△,“)

的面积为

”的充分而不必要条

，

两点，则“＝1”是eq

\o\ac(△,“)

的面积为”的 → →N，所以＝，－，＝－，故

与

所成角→

→·

→

＝

6×

＝

.答案：．

福建高考直线

l：＝＋

与圆

：＋＝

相交于A.

充分而不必要条件B.

必要而不充分条件C.

充分必要条件

既不充分又不必要条件 力和运算求解能力.

若

＝

l：＝＋

与圆相交于，

－

的面积

＝2×1×1＝，所以“＝”⇒eq

\o\ac(△,“) 件，故选

A.答案：A

已知一抛物线关于

轴对称，它的顶点在坐标原点

，并且 π它的焦点

F

是椭圆

＋＝

F

且倾斜角为的直线交抛物线于

，

两点，则弦

的长度为 A.

C.

B.

解析：式．依题意，抛物线的焦点为

F，则抛物线方程为

＝.直线π

的倾斜角为

，斜率为

，故方程为

＝

－

，联立方程＝＝

－

消去

，得

－＋＝可设

，，，，由根与系数的关系，得

＋＝

，所以由抛物线的焦点弦长公 式，得＝＋＋＝

＋＝

，故选

答案：二、填空题：本大题共

小题，每小题

分，共

分．．命题“∃∈R,－＋9<0”为假命题，则实数

的取值范围是________．解析：∵∃∈R,－＋

为假命题，∴∀∈R,－＋≥

为真命题，∴Δ＝－4×2×9≤，即

≤，∴－

≤≤

答案：－

，

．

北京高考设双曲线

经过点，且与－＝

具有相同渐近线，则

的方程为________；渐近线方程为________．解析：．若方程

＋

＝

所表示的曲线为

，给出下列四个命．若方程

＋

＝

所表示的曲线为

，给出下列四个命锥曲线的定义及性质的掌握情况．∵与双曲线－＝

有相同渐近线的双曲线方程为

－＝，将点代入，得＝－，∴双曲线 的方程为－＝，其渐近线方程为－＝，即

＝±2. 答案：－＝ ＝±2 － －题：①若

为椭圆，则

1<<4

且

≠；②若

为双曲线，则

>4

或

<1；③曲线

不可能是圆；④若

表示椭圆，且长轴在

轴上，则

1<其中正确的命题是

________(把所有正确命题的序号都填在横线上．－>0，解析：若为椭圆－，－≠－，

即

1<<4，且

≠；若为双曲线，则－－，即

>4

或

<1； 当

＝时，表示圆，若

表示长轴在

轴上的椭圆，则

1<<2，故①②正确．答案：①②

辽宁高二测试

⊥平面

ABEF

是正方形，四边形

ABEF

是矩形，且

＝＝，

是

EF的中点，则

与平面

所成角的正弦值为________．解析：如图，以

为原点建立空间直角坐标系，→→·

＝，则

，，，，，F，＝→ → →，，＝，＝，－，＝，设平面

的法向量为

＝，，由→·

＝→＝ .

＋＝ ＝－

θ＝

→ ＝ ＝ .

＋＝ ＝－

θ＝

→ ＝ ⇒ ⇒＝，－．→·

×

答案：

三、解答题：本大题共

小题，共

分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．

分已知

＝，b＝－，，－，＝，－，，∥b，b⊥，求：，b，；＋

与

b＋

所成角的余弦值．

解：因为

∥b，所以－＝＝－，解得＝，＝－

＝，b＝－，－，－，又因为

b⊥，所以

b·

＝，即－＋－＝，解得

＝，于是

＝，－．由得

＋＝，b＋＝，－，因此

＋

与

b＋－＋

所成角的余弦值等于

θ＝

．

分已知命题

p：方程m－m－＝

表示焦点在

轴上的

椭圆， 命题

q－m＝

的离心率

e∈

p，q

只有一个为真，求实数

m

的取值范围． m－解：将方程m－ m－ －m改写为m＋ ＝－m只有当

－m>2m>0，即

0<m<3时，方程表示的曲线是焦点在

轴上的椭圆，所以，命题

p

等价于

0<m<3； ＋m因为双曲线－m＝的离心率e∈，所以m>0，且1<

<4，解得

0<m；所以命题

q

等价于

0<m；若

p

真

q

假，则

m∈

；若

p

假

q

真，则≤m综上，m

的取值范围为≤m．

分在长方体

－中，＝＝，E、F、E分别是棱

，，的中点．求证：CE∥平面

EF；求证：平面

EF⊥平面

CEF.解：

为原点，，，所在的直线为

轴，

轴，

轴建立空间直角坐标系，设＝，则

，E，，F，E，，．设平面

EF

的法向量

＝，，．→ →∵E＝，－，，FC＝－，··

E＝，∴→·

FC

＝，→

－＝，即

－＋＝取

＝．→ →∵CE＝，－，·

CE＝－＋＝，→∴CE⊥.又∵CE

平面

EF，∴CE∥平面

EF.设平面

EFC

的法向量为

m＝，b，，→ →由EF＝，FC＝－，－，→m·

EF＝，→∴→m·

FC＝，→

b＝，即－－＝＋＝ ②

＋＝ ②

的解．

＋

＝－

，所以＋ ＋

－

∵m·

＝－＋＋＝－＋＝，∴平面

EF⊥平面

CEF.

分设曲线方程为

＋＝，过点

M的直线

l

交曲线→

→ →于点

、，

是坐标原点，点

P

满足＝＋．当

l

绕点

M旋转时，求动点

P

的轨迹方程．解：直线

l

过点

M，设其斜率为

，则

l

的方程为

＝＋设

，，，，由题设可得点、

的坐标，、，＝＋， ①是方程组 将①代入②并化简得＋＋－＝， ＋

＋＝＋

→

→ →

＋于是＝＋＝ ， ＝＋

＋设点

P

的坐标设点

P

的坐标，，则 ＋

＝

－

，＝＋，

消去参数

得

＋－当

不存在时，

中点为坐标原点，即点

P，也满足方程③.所以点

P

的轨迹方程为

＋－＝．

分

课标全国卷Ⅰ如图，三棱柱

－中，侧面

为菱形，⊥.证明：＝；若

⊥，∠＝，＝，求二面角

－－的余弦值．解：连接

，交

于点

，连接

.因为侧面

为菱形，所以

⊥，且

为

及

的中点．又

⊥

⊥平面

.由于

平面

⊥.又

＝，故

＝.因为

⊥，且

为

的中点，所以

＝.又因为

＝eq

\o\ac(△,BC)，所以 ≌△.故

⊥，从而

，，两两互相垂直．

→ →

以

为坐标原点，的方向为

轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系－.因为∠＝，所以△为等边三角形．又＝，则 ，

，，，

，，，－

，．→ → → → →＝，

，－

，＝＝，－

，＝＝－，－

，．设

＝，，是平面

的法向量，则 →·

→·

＝，·

＝，

→

即

－

＝，－

＝设

m

是平面

的法向量，则设

m

是平面

的法向量，则m·

＝→m·

＝，→ 同理可取

m＝，－

，

．·

m

则

〈，m〉＝m＝.

所以二面角

－－的余弦值为 ．

分

天津高考设椭圆＋b＝>b的左、右焦点分别为

F，F，右顶点为

，上顶点为

.已知＝

FF求椭圆的离心率；设

P

为直径的圆经过点

F，经过原点

的直线

l

与该圆相切．求直线l

的斜率．解：设椭圆右焦点

F的坐标为．由＝

FF，可得

＋b＝，又

b＝－，则

＝又因为点

又因为点

P

在椭圆上，故＋＝ ②所以，