差商与其性质

定义4为函数在的一阶差商（一阶均差）；称为y=在点的二阶差商（二阶均差）；（3）一般由函数y=的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。称为函数y=在点的n阶差商（n阶均差）。，称（1）对于的一阶差商表，再作一次差商，即（2）由函数y=即n－1阶差商第一页，共20页。2

基本性质定理5（2）k阶差商关于节点是对称的，或说均差与节点顺序无关，即例如：共6个的线性组合，即的k阶差商是函数值（1）第二页，共20页。分析：当k=1时,(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)证明：（1）当k

=1时,第三页，共20页。第四页，共20页。

(0阶差商)一阶差商二阶差商三阶差商k阶差商

表2.43

差商表

计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列上一行的差商再作差商。第五页，共20页。4.2

牛顿插值多项式已知函数表（4.1）,

由差商定义及对称性，得

1

牛顿插值多项式的推导第六页，共20页。将(b)式两边同乘以,抵消抵消抵消(d)式两边同乘以,把所有式子相加,得,(c)式两边同乘以第七页，共20页。记

---牛顿插值多项式---牛顿插值余项可以验证

，即满足插值条件,因此可得以下结论。

第八页，共20页。定理6

则满足插值条件的插值多项式为：（牛顿插值多项式）其中，---牛顿插值多项式---牛顿插值余项2

n+1阶差商函数与导数的关系由n次插值多项式的唯一性，则有,牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式都是次数小于或等于n的多项式,只是表达方式不同.?因为而的基函数可为:已知

函数表牛顿插值多项式系数牛顿插值多项式系数牛顿插值多项式系数第九页，共20页。阶导数存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式n+1阶差商函数导数其中且为包含区间.依赖于则n

阶差商与导数的关系为其中n+1阶差商函数与导数的关系定理7第十页，共20页。计算步骤:(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.3

牛顿插值多项式计算次数(当k=n时)(1)计算差商表(计算的系数)

(0阶差商)一阶差商二阶差商三阶差商k阶差商

除法次数(k=n):第十一页，共20页。(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.乘法次数:n优点:(1)计算量小,较L-插值法减少了3-4倍.(2)当需要增加一个插值节点时,只需再计算一项,即

---递推公式(适合计算机计算).乘除法次数大约为:第十二页，共20页。4

两函数相乘的差商定理8（两函数相乘的差商）

显然公式成立。

事实上，

一般情况，可用归纳法证明。#设证明：阶差商为第十三页，共20页。5

重节点差商（通过差商极限定义）定义5

(重节点差商)

若,的节点xi(i=0，1，…，n)定理7中互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。

说明：?则定义

类似的有第十四页，共20页。其中

---牛顿插值多项式---牛顿插值余项§4

差商与牛顿插值多项式牛顿插值公式5

重节点差商定义5

(重节点差商)若,?则定义

类似的有第十五页，共20页。证明：(2)首先,由定义泰勒展开式第十六页，共20页。第十七页，共20页。本课重点：

1、理解差商定义P.857作业:

3、会用牛顿插值多项式解简单题目。

2、掌握牛顿插值公式其中，---牛顿插值多项式---牛顿插值余项课本P.37例3编程:第十八页，共20页。一、

Lagrange插值多项式，

k=0,1,⋯,n

.

复习：过n+1个节点，满足插值条件：Lj(

xj)=yj(j=0,1,⋯,n

)的n次插值或插值基函数含义直观形式对称优点：计算量大缺点：